材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论

应力分析的目的： z
z
zx zy
xz yz
x
x
பைடு நூலகம்
xy
yx
yy
2 3
1
单元体上切应力等于零的面称为主平面；主平面上的正
应力称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，该单元体称为
主单元体，并且规定 1 2 3
10
7-1 应力状态的概述
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间（三向）应力状态：三个主应力都不等于零
xy
tg 20
2 xy x
y
x
60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力 3 方向： 0 105.5
24
7-3 二向应力状态分析-解析法
（3）主应力单元体：
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
)2
2 xy
41
二.应力圆简介
(
x
2
y
)2
2
(x
y 2
)2
2xy
R
x y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
42
三.应力圆的画法
y
yx
D’
xy x
D
C
D’ (y ,yx)
D (x ,xy)
在 - 坐标系中，找出与单元体D、D’面上 的应力对
应的点D和D’ 连DD’交σ轴于C点，C即为圆心，CD为应力圆的半径
43
四.应力圆与单元体的对应关系
1.点面对应: 应力圆上某一点的坐标值
对应着单元体某一方向面上的正应力
和切应力。
y
yx
D’
xy x
C
D
D’
D
44
2.转向对应:单元体方向面的法线旋转方向与 应力圆半径旋转方向一致。
3.二倍角对应:应力圆半径转过的角度是单元 体方向面旋转角度的两倍。
ty n A
x
α
a
n
a
xy
dA
yx
t
y
Ft 0
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
16
7-3 二向应力状态分析-解析法
cos2 1 (1 cos 2 )
{ 利用三角函数公式
2
sin2 1 (1 cos 2 )
( x y )sin 20 2 xy cos 20 0
2(
σx
σy 2
) s
i
n
2
α0
τx
yc
o
s
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
19
7-3 二向应力状态分析-解析法
tan 2 0
2 xy x
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分 别为最大正应力和最小正应力——即主应力所在 平面。所以，最大和最小正应力分别为：
0
pl D sind
2
plD
FN 2 l
2 l plD 0 pD 2
13
§7-2 二向和三向应力状态的实例
三向应力状态 实例：滚珠轴承
与此相似，桥式起重机大梁两端的滚动轮与轨道的接触处， 火车轮与钢轨的接触处，均为三向应力状态。
14
7-3 二向应力状态分析-解析法
1.任意斜截面上的应力
过一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。 研究方法：用单元体法及截面法。
单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
b、平行面上，应力相等。
原始单元体： —各侧面上应力已知的单元体
7
7-1 应力状态的概述
xy
（2）主应力、主平面；
x
（3）绘出主应力单元体。
x
21
7-3 二向应力状态分析-解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
2
y
x
2
y
cos
2
xy
sin
2
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
x
9.02MPa
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
2
2 xy
最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45°。
37
38
39
§7.4 二向应力状态分析
——图解法
40
一.应力圆方程
x
y 2
x
y 2
cos 2
xy sin2
x
2
y
sin2
xy
cos 2
(
x
2
y
)
x
2
y
cos
2
xy
sin2
x
2
y
sin2
xy
cos
2
(
x
2
y
)2
2
(x
y 2
强度理论
32
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概述 7-2 二向和三向应力状态的实例 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-9 复杂应力状态的应变能密度 7-10 强度理论概述 7-11 四种常用强度理论
max
x
2
y
1 2
x
y
2
4
2 xy
min
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
20
7-3 二向应力状态分析-解析法
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa, 30。
y
试求（1） 斜面上的应力；
平面（二向）应力状态和空间（三向）应力状态统称 为复杂应力状态
单向
双向
三向
11
7-1 应力状态的概述 S面
F
S截面
l/2 l/2
F
5
2
4
3
Mz
Fl 4
2 1
1 1
2
2 2
3 3
12
§7-2 二向和三向应力状态的实例
二向应力状态 实例：圆筒形
压力容器
求
F p D2
4
p
D2 4
pD
D 4
FN
a' 2
A’
x
o
C
a
45
五.应力圆的应用
1.确定主平面和主应力
y
yx
D x
A
xy
A
o B1
D
2α0 C A1
主平面： 应力圆与横轴的交点对应的截面 主应力：OA1，OB1
46
2.确定最大切应力
对应应力圆上 最高点的切应力。
max
1
2
3
max a
B1
c
d
A1
最大切应力所在平面与主平面夹角为45°
试画出下列图中的A、B、C点的原始单元体。
P
y B C z
A
P
x
x
A
P
x B x
Mx
zx
xz
yx C xy
8
7-1 应力状态的概述
l
SF
a
y
试画出S截面中
S 截面
1
T
4
1、2、3、4点
的原始单元体。
z
x
2
3 Mz
T Fa
M
Fl
1
T Wt
σ
Mz Wz
3
T
Wt
σ
M W
z z
9
7-1 应力状态的概述
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
xy cos 2
35
主平面和主应力的确定：
tan
20
2 xy x
y
max
min
x
y
2
( x
y )2
2
2 xy
36
求切应力的极值
max
min
x
y
2
( x
y )2
2
2 xy
x
y
2
sin2
xy cos 2
d 0 d
1
min , max
结论：
min , max
1
0
4
( x
y )2
2
7-1 应力状态的概述
问题的提出
低碳钢拉伸实验
铸铁压缩
P
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 脆性材料压缩时为什么在斜截面上断裂？
3
7-1 应力状态的概述
纯扭转实验
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？二者断面不同 的原因是什么？
4
7-1 应力状态的概述
横力弯曲
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
即为应力）
40
D2
d2
D1 30 MPa
60 MPa
oc 2
d1
e 50
二.求主平面和主应力
找出应力圆上主平面的位置（量出其坐标和
对应角度）
40
D2
d2
D1 30 MPa
B
60 MPa
A
o c 20
d1
51
三.绘制主应力单元体
根据主平面角度αo和主应力大小绘图
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
47
图解法练习
一点处的应力状态如图，试求斜面上的应力，主应 力和主平面，并绘出主应力单元体。
40
x 60MPa,
30MPa
60MPa
y 40MPa, xy 30MPa.
30
48
选定比例尺，画应力圆
40
D2
d2
D1 30 MPa
60 MPa
oc
d1
49
一.求α斜面上的应力
找出应力圆上α斜面对应的点（量出其坐标
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力 3 方向： 0 105.5
y xy
3 1
x
15.5
25
7-3 二向应力状态分析-解析法
讨论圆轴扭转的应力状态 T
tg 20
2 xy x y
0 45 或 135
A T
3
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y )sin 2
xy
cos 2
17
7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y
yx
x
xy
x
y
x
α
a
αa
n
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；压为负
第七章 应力和应变分析
强度理论
1
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概述 7-2 二向和三向应力状态的实例 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-9 复杂应力状态的应变能密度 7-10 强度理论概述 7-11 四种常用强度理论
切应力：使微元顺时针方 向转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针
转到斜截面外法线时为正； 反之为负。
18
7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin 2
d d
( x y ) sin 2 2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
y
yx
x
xy
x
y
x
α
a
n
a
xy
dA
yx
t
y
在上面二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力
后，如何确定通过这一点的任意截面上的应力，并最终确定
主应力和主平面？
15
7-3 二向应力状态分析-解析法
列平衡方程
Fn 0
dA xy (dAcos)sin x (dAcos) cos yx (dAsin) cos y (dAsin)sin 0
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
33
内容回顾
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
30 x 60MPa xy 30MPa y 40MPa
试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30 MPa
60 MPa
34
任意截面的应力计算：
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin2
x
y
2
sin2
将面ABC的应力分解为px，py和pz
斜截面ABC上的总应力p
若将斜截面ABC上的总 应力p沿法向和切向分解：
σn等于三个分量在法向的投 影和
58
59
60
n
OC B
3 2
n
A nO3
1
2
D
1
思考：
当斜截
面与主
应力之
n
一平行 时，平
面上的
应力？61
62
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概述 7-2 二向和三向应力状态的实例 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-9 复杂应力状态的应变能密度 7-10 强度理论概述 7-11 四种常用强度理论 7-12 摩尔强度理论*** 7-13 构件含裂纹时的断裂准则***
45
1
能否解释：圆截面铸铁试样扭转时沿45°螺旋面断裂破坏。 26
7-3 二向应力状态分析-解析法
27
7-3 二向应力状态分析-解析法
28
7-3 二向应力状态分析-解析法
分析m-m横截面上 其他点的应力状态
（横截面即为主平面）
（45°为主平面）
（横截面即为主平面）
29
7-3 二向应力状态分析-解析法
3 0 1
52
注意事项：
1. 画应力圆时必须首先选定比例尺； 2. 根据对应关系找准α斜面和主平面对应的
位置。
53
课后题7.8，7.10
54
§7.5 三向应力状态
55
只讨论三个主应力已知时，任意斜截面上 应力的计算。
56
l, m, n为斜截面法线在三个坐标轴方向的余 弦值。 面ABC的面积为dA
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析