矩阵对策一

各人赛马的出场次序 有6 种策略
e.g.4 福尔摩斯侦探与莫里亚蒂教授争斗 对策论的创始人J. von. Neumann 改写柯南道尔《福 尔摩斯探案集》 “福尔摩斯之死”一节的内容． 福尔摩斯
多佛尔下车 莫 里 亚 蒂
多 坎 100 -50
坎特伯雷下车
0 100
0 100 D 50 100
4000
15吨 2250 2250
3500
20吨 3000 3000
3000
正常
较冷
1500 2250 3000 B 2500 2250 3000 4000 3500 3000
取暖购煤问题的支付矩阵
e. g. 3 田忌赛马 田忌 ：强、中、弱三种马， 齐王 ：强、中、弱三种 马，齐王每个同级马胜过田忌的马，但田忌的马胜 过齐王下一等级的马．三匹马各赛一次，共三 次．赢一次得1 分，反之失1 分．
1 10 100 10 10 10 50 B 100 50 A 2 公司I 的角度： 1优于 2 ，此时公司II 应选 1 1 优于 2 ，此时公司I 应选 1 公司II 的角度：
一个公司无论采取何种策略，与之对策 的公司的最佳策略总是按正常价格销售
莫里亚蒂的支 付矩阵
e.g.5
玩命 or 胆小鬼对策
两位驾车人驾车相向行驶，直到最后一秒才决定 是拐弯还是不拐弯 可能发生下列几种结果
◆ 谁也不急拐弯，最后Baidu Nhomakorabea车相撞 ◆ 两局中人均拐弯
给以0 值
给以值3
◆ 一位局中人急转弯，另一位未让步而作为赢家
I
局 =急转 3 1 中 人 2=不转 5 I I 的支付矩阵
最小最大准则 （min-max(max-min) criterion） 每个局中人总希望取得尽可能大的胜利，即期望的 “最小利益” 为 “最大”，“最大损失” 为 “最
小”．
零和对策 有限对策
对策
非零和对策 无限对策
连续对策
离散对策
两人有限零和对策
（two-person (finite) zero-sum game ） 局中人只有两人； 每人只有有限个对策； 局中人支付之和为零（赢为正；输为负 ）
两人零和对策
对抗对策（antagonistic game）
矩阵对策（matrix game）
二．实际问题中的矩阵对策模型
e. g. 1 扩大销售模型
公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办 法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味 另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告； ③降价．公司I 的三种策略表示为 1 , 2 , 3 ，公司II 的三种策略为 1 , 2 , 3 ，在不同策略下销售量增长百 分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即 为相反数
e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温 情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温 较冷气温 较暖气温 需求量15 吨 需求量20 吨 需求量10 吨 200元／吨 250元／吨 150元／吨
问题： 如何在秋末时采购？（即采购计划）
较暖
10吨 1500 2500
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 （强中弱） 1 1 3 1 1 1 （强弱中） 齐王为行方 C （中强弱） 田忌为列方 1 1 1 3 1 1 （中弱强） 1 1 1 1 3 1 齐王的支 （弱强中） 付矩阵 （弱中强） 1 1 1 1 1 3
公司II
1
1
公 司 I
2
1 0 -2
3
2 -3 0
2 3 -1
2
3
矩阵表示为
A
1 2 2 3 0 3 1 2 0
A 中行的编号为公司I 的编号，称“行方”的策略编 号 A 中列的编号为公司II 的编号，称“列方”的策略编 号 矩阵 A 称为甲方或行方的支付矩阵
第3节 矩阵对策
一．何为对策
(game theory)
对策现象 对策论
带有竞争或斗争性质的现象 用数学方法研究对策现象的 分支学科
对策现象的三要素
局中人（player）: 一局对策中的决策者或不相容利 益的参与者或竞争者 策略（strategy）： 局中人在整个决策过程中一系列行 动的一个方案 支付: 一局对策中最终结局获得的收益或损失
1=急转 2 =不转
1
给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II 局中人I 局 =急转 1 中 人 2=不转 II
3 5
1 =急转 2=不转
1 0
0
II 的支付矩阵
此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸， 全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车 或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是 2 人有限零和对策问题（因为在 每个对局中，双方支付的代数和不为零）， 称为双矩阵对策．
1 100 20 A 2 150 10
1 2
公司I 的占优策略 2 ，公司II 的占优策略 2 Nash 均衡 占优策略组合 ( 2 , 2 )
1 200 150 B 2 30 10
1 2
若两家公司合谋，都采取抬价：(1 , 1 )
e.g.6 双头垄断的价格战略分析
双头垄断
市场上某商品的供给主要由两个公司提供 不完全竞争
1 公司 {1I,的 2 }＝｛正常价格，低价格｝ 公司II 的 支付矩阵 支付矩阵 公司II 的策略 1 {1 , 2 }＝｛正常价格，低价格｝ 1 2 1 2
公司I 的策略
1 2
占优策略
一个局中人的策略不取决于其他局中 人的策略而认为是最好和唯一的策略
在双头垄断的价格竞争中，正常价格对两个公 司而言均为占优策略
对抗性对策
—— 抬高价格， 2 —— 正常价格 公司I 的策略： 1 公司I 的 公司II 的 1 —— 抬高价格， 2 —— 正常价格 公司II 的策略： 支付矩阵 支付矩阵