模糊数学课件(清晰易懂).
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（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A( x ) A x xU
10
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
* A 制约着 A 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。 *
18
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
11
例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
14
并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
1
模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想
用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度 为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度 为0.1。
1
0
50
U
13
模糊集合的运算
二、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等： A B A( x ) B( x ), x U
包含：A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
A A, A , A U U , A U A
c c ( A ) A, 7. 还原律
c c c c c c ( A B ) A B , ( A B ) B A , 8. 对偶律
17
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素： （1）论域U；
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
U 100
12
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C 4. 吸收律 A ( A B) A, A ( A B) A
16
5. 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
2
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
3
4
下面我们正式走进 模糊的世界
5
模糊集合
一、经典集合与模糊集合
.u .u A
u A
A
u A
非此及彼
6
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
7
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
wenku.baidu.com
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的 工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。 模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装 锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时， 每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊 理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松 软可口。
~ ~ ~
8
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
9
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0对A的隶属频率 n （2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A( x ) A x xU
10
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
* A 制约着 A 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。 *
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u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
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例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
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并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
1
模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想
用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度 为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度 为0.1。
1
0
50
U
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模糊集合的运算
二、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等： A B A( x ) B( x ), x U
包含：A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
A A, A , A U U , A U A
c c ( A ) A, 7. 还原律
c c c c c c ( A B ) A B , ( A B ) B A , 8. 对偶律
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三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素： （1）论域U；
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
U 100
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再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C 4. 吸收律 A ( A B) A, A ( A B) A
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5. 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
2
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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下面我们正式走进 模糊的世界
5
模糊集合
一、经典集合与模糊集合
.u .u A
u A
A
u A
非此及彼
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亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
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定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
wenku.baidu.com
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
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A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的 工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。 模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装 锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时， 每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊 理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松 软可口。
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模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
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（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0对A的隶属频率 n （2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为