第六章 期权定价理论

定理1 若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个 投资组合 1 和 2 ，如果
VT (1 ) VT ( 2 )
且
Pr T (1 ) VT ( 2 ) 0 V
那么，对于任意的 t [0, T ] ，必有
Vt (1 ) Vt ( 2 )
证明：反证法。 （略）
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3
⑵ 时间价值
是期权价格中超过内在价值的那部分价格，是指在期权有效期内标的 资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。 通常，期权 合约的剩余有效时间越长，其时间价值也就越大。
看涨期权：
c ( S K ) P c
p (K S ) P p
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11
VT((11)) VtT( 2 2 ) V ( ) t
推论 若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个
投资组合 和 ，如果其到期时组合的价值相等，则其任意 1 2 时刻的价值均相等。
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12
S
t
Xe r (T t )
Vt (2 ) Vt (3 )
所以
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S t ct 。看涨期权的上下界证毕。
（看跌期权的上下界的证明由学生自己完成）
15
定理4 对于有效期内有已知收益标的资产的欧式期权，以 下的估计式成立（考虑复利率）：
S
t
D Xe
r (T t )
r (T t )
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（三）标的资产价格的波动率
（四）无风险利率
（五）标的资产的现金收益
标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未
进行调整，因此在期权的有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期 权的价格下降，并使看跌期权价格上涨。
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三、期权价格的上、下限 1、无套利定价法

cT 35 40 0 ，即期权一文不值。

基本思想：无套利定价法 在开始时刻，构造一个投资组合
S 2c
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1 B
35 34.65 1 0.01
在到期日，该组合的价值也有两种可能性：若股票价格上扬，
VT () 45 2 5 35
权，出售方必然面临风险，为了回避这个风险，出售方要采取适
当的策略对风险进行控制，即买进股票与它对冲，使得组合为无 风险的。记这个份额为 ，这就是 —对冲的思想。
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构成投资组合 ：
购买一份股票，卖掉 份看涨期权，使得该组合无风险的 方法：利用 —对冲技巧 假定 存在，使得 是无风险的，即在 t T 时刻， 的价值
2、B—S微分方程
构造组合：
c S
选取适当的 ，使得在 (t , t dt ) 时段内， 是无风险的。 利用无套利理论和ITO引理，即可得到著名的B——S微分方程
c c 1 2 2 2c rS S rc 2 t S 2 S
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简单的模型——单时段—双状态模型开始。以此为基础，我们讨论
如何利用无套利原理，求出它的衍生物——期权的价格。
单时段（one period）：是指交易只在时刻的初始时刻以及终止
时刻进行。 双状态（two state）：是指风险资产的价格在未来时刻只有两
u d 种可能性： ST 和ST
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VT () ST cT
是确定的，即无风险的。 既然 是无风险的，那么 的投资 增长率为无风险利率(不计复利)，即
VT () V0 () (1 r )V0 ()
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由此得：
ST cT 0
（3.1)
由于在到期时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有 两种可能性，但由于构造的是无风险组合，那么我们有
由定理1知：
Vt (1 ) Vt ( 2 )
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VT(( 2)) Vt T 2 ) ) V( ( 3 t 1
那么
ct Ke r (T t ) St
又由于
ct 0
至此我们证得了期权的下界。 再构造一组合 3 c 通过同样的分析，我们有
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因此有
VT () VT (1 ) ，由无套利假设，知：
Vt () Vt (1 )
即
S 2c B
由此得：
40 34 .65 c 2.695 2
这表明投资者为了购买这张期权，在开始时刻应该支付期权金2.695元
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2、一期模型
关于风险资产（股票、外汇等）的价格变化规律的研究，从最
第六章 期权定价理论
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1
一、期权价格的确定
（一）期权价格的构成
１. 概念
是指买方期权为获取远期选择权而支付给卖方期权的代价，或
是卖方期权因让渡远期选择权而向买方期权收取的报酬。
２. 构成
期权价格＝内在价值＋时间价值 如图3-32。
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⑴ 内在价值
有时也称为”货币性“（moneyness），是指期权的买方马上执 行合约时其可能获得的现金流与零之间的最大值。
若股票价格下跌，
VT () 35 2 0 35
即在到期日，该组合具有确定的值 VT () 35（元） 另外构造一个投资组合
1 B 35 34.65 1 0.01
那么在到期日（即一个月后），该组合的收益也等于
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1 VT (1 ) B 1 12% 35 （元） 12
( S K时) ( S K时)
( S K时) ( S K时)
看跌期权：
（其中P为期权的时间价值）
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S Xe r (T t )
显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨 期权为例，当 S Ke r (T t ) 时，期权的时间价值最大，当 S Ke r (T t ) 的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。它们的关系见下图。
u u d d ST cT ST cT
（3.2）
由（3.1）和（3.2），我们知：
S (u d ) u d cT cT
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1 d u u d c cT cT ud ud
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注意：
由无套利假设知：
d u
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5
图3-32 无收益资产看涨期权的时间价值与内在价值的关系
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二、期权价格的影响因素 期权价格的影响因素有六个，他们通过影响期权的内在
价值和时间价值来影响期权的价格。
（一）标的资产的市场价格与期权协议价格 由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时
的价格与协议价格之差，因此，标的资产的价格越高，协议
易知：
0 qu , qd 1
由此定义新的概率测度Q：
qu qd 1
qu
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d Pr S T S Tu ud
qd
u Pr ST STd ud


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从而期权价格可以改写为
1 1 Q u d c qu cT qd cT E (cT )

ct S t pt Xe r (T t )
Xe
D St


其中D是期权有效期内资产收益的现值。
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四、期权价格曲线的形状（以无收益资产的情况为例）
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五、欧式看涨、看跌期权的平价公式
定理4 看涨——看跌平价公式（无收益资产）：
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我们的问题是：假如在开始时刻，风险资产的价格为S，预期在T 时，它的价格可能是：
u ST uS0
d ST dS0
（ ud ）
现投资者在购买一张到期日为T，敲定价格为X的看涨期权，如果在 [0，T]时段无风险利率为r(实际利率)，那么该看涨期权的价格为多 少？ 我们的思想是：构造无风险的投资组合。试想卖出几份看涨期


ct S t
2、期权价格的上、下限 基本假设：1、市场不存在套利机会；
2、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）；
3、无风险利率r是常数（复利）
定理２ 以下的估计式成立 对于有效期内无收益标的资产的欧式期权，
S
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t
Xe r (T t )
r (T t )


ct S t
Xe
St


pt Xe r (wk.baidu.com t )
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证明：在t时刻，构造两个投资组合：
1 c Ker (T t )
因此
2 S
VT (1 ) cT K ST K K maxST , K

VT ( 2 ) ST
个月到期，敲定价格为40元的平价看涨期权，问应该支付多少期权
金？（假定一年期的存款利率为12%）。
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cT 45 40 5

根据期权到期时的收益
cT ST 40

由题设，在到期日，期权的价值亦有两种可能性：若股票价格上
扬，期权的收益为 cT 45 40 5；若股票价格下跌，则
价格越低，看涨期权的价格就越高；对看跌期权面而言，其 收益等于协议价格与标的资产当时的价格之差，标的资产的
价格越低，协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
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（二）期权的有效期 对于美式期权而言，期限越长获利机会就越多，因此期权的价 格会越高。 对于欧式期权，由于其只能在期末执行，有效期长的期权不一 定包含有效期短的期权的所有执行机会，如标的资产在期限长的有效期 内有红利支付（在知短的期限内没有），那么期限长的期权的价格就会 低于期限短的期权。这就使欧式期权的有效期与期权的价格之间的关系 显得较为复杂。 如果剔除了标的资产支付大量收益这一特殊情况，由于有效期 长，标的资产的风险就越大，空头的亏损风险就大，因此有效期长，其 期权的价格就越高。
其中
是股票的期望收益率，
2）股票市场允许卖空；
是股票价格的波动率。
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3）没有交易费用或税收；
4）所有证券都是无限可分的； 5）证券在有效期内没有红利支付； 6）不存在无风险套利机会； 7）交易是连续进行的； 8）无风险利率是常数。
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(t , t dt )
套利就是在某些金融资产的交易过程中，交易者可以在不需
要期初投资支出的条件下期末获取无风险报酬。如果定量描述的话，就 是指：一个投资组合，如果在投资的时刻不需要支出，即：
V0 () 0
而存在一个时刻t，使得：
Vt () 0
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且
Pr t () 0 0 V
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VT((11)) VtT( 2 2 ) V ( ) t
c Xer (T t ) S p
定理5 看涨——看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益
的现值为D）：
c Xer (T t ) D S p
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六、期权定价方法
（一）二叉树方法 1、一个例子 假定原生资产——股票在时刻的价格为40元，一个月后，有两 种可能性：上扬到45元或下跌到35元。那么在时刻购买一张一
3、B——S期权定价公式
1973年，Black和Scholes成功求解了他们的微分方程，从而 获得了看涨期权的定价公式。 定理（B—S公式）欧式看涨期权的价格为
ct St N (d1 ) Xer (T t ) N (d 2 )
其中
1 2 ln( S t / X ) (r )(T t ) 2 d1 T t


通常也将测度Q称为风险中性测度，上式告诉我们，看涨期权的价 格也可以解释为在风险中性概率条件下，其价格等于期权到期价值 的期望值的折现值。
3、期权定价的二期模型（略）
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（二）B—S期权定价公式
1、基本假设 1）股票价格满足随机微分方程：
dS (t ) dt dW (t ), S (0) S0 S (t )