Mathematica基础数学实验13

例1 比较A, B两种灯泡的寿命, 并假设服从正态分 布. 抽取样本A种80支, 均值为2000, 标准差为80; B种 100支, 均值为1900, 标准差为100. 当两总体相互独立 且方差相等时, 求两总体均值差的置信区间(=0.05). 首先确定使用的命令为StudenTCI[], 其第一部分 为: 均值差mean, 第二部分为:两样本均值差的标准差 的估计se(方差相等), 第三部分为:自由度dof=m+n-2.
VarianceMLE[data]:求data方差2(极大似然估计); StandardDeviationMLE[data]:求data标准差(极大似然估计); StandardErrorOfSampleMean[data]:求se=s/Sqrt[n]; Covariance[xliat,ylist]:求x,y的协方差(无偏估计); CovarianceMLE[xliat,ylist]:求x,y的协方差(极大似然估计); Correlation[xliat,ylist]:求x,y的相关系数.
1) s 2 y
1 m
m n2

1 n
~ t (m+n–2),
其中12=22但未知.
se
2 sx
m

s2 y n
,
dof 1
m n
2 sx
s2 y
2
2 1 sx m 1 m n
2
T
( x y ) ( 1 2 ) se
m p=NormalPValue[(75-70)/15*Sqrt[25]] ResultOfTest[p[[2]],SignificanceLevel->0.05,FullReport->True] OneSidedPValue->0.0477904 {OneSidedPValue->0.0477904, Reject null hypothesis at significance level->0.05}
m n2 m n se=Sqrt[(79*80^2+99*100^2)/(80+100-2)]*Sqrt[1/80+1/100]; StudentTCI[2000-1900,se,80+100-2] se
2 ( m 1) s x ( n 1) s 2 y

1

1
置信区间:{72.8669,127.133}, 即[72.8669,127.133].
①单总体sd = ②双总体sd =
12
m
m;

2 2
n
;
③单总体se = s
m , 自由度dof=m–1;
④双总体12=22已知, se =
2 ( m 1) s x ( n 1) s 2 y
1 m
m n2

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 n
, dof=m+n–2;
2 s2 2
⑤双总体12=22未知, se =
蓝色字体是 调入假设检验软件包: 原假设H0中 <<Statistics`HypothesisTests` 给出的数据! 给出具体数据data时: 1)单总体数学期望的假设检验: MeanTest[data, , 选项①②③④] 2)两总体数学期望之差的假设检验: MeanDifferenceTest[data1,data2,diff=1-2, 选项①②③⑤⑥] 3)单总体方差的假设检验: VarianceTest[data,var, 选项①②③] 4)两总体方差比的假设检验: VarianceRatioTest[data1,data2,ratio, 选项①②③] 选项: ① SignificanceLevel->0.05: 单侧显著水平; ② TwoSided->True(false): 双(单)侧; ③ FullReport->True(false): 输出详细报告; ④ KnownVariance->var(None): 方差已知(未知); ⑤ KnownVariance->{12,22}(None):方差已知(未知); ⑥ EqualVariances->True(false):方差相等(未知).
3. 假设检验:
在以上假设检验中总是给出P(概率)值, 依据所给 显著水平比较作出判断.
给出概括数据时 由检验统计量taststat计算P值由以下函数给出, 代替查表: NormalPValue[taststat]:由taststat按标准正态分布给出P值; StudentTPValue[taststat,dof]:略; ChiSquarePValue[taststat,dof]:略; FRatioPValue[taststat,mundof,dendof]:略. 由以上计算的P值依据所给显著水平比较作出判断 ResultOfTest[p, 选项] 选项: 前面所列选项的①②③项.
x 1 n k 1 1
xk
n
n
s
2
1
n 1 k 1
( xk x )
1
n
n
2
s
1
n 1 k 1
bq 1
n
( x k x )2
( x k x )q
n

2
n k 1
( x k x )2
1
n

n k 1
( x k x )2
n k 1
置信区间: {0.453924,2.79111}.
例3 某次考试的学生成绩服从正态分布, 标准差 为15分. 随机抽取25名学生成绩, 其平均成绩75分, 问 在显著水平为=0.05下, 是否认为此次考试的平均成绩 高于70分? 这是正态总体方差已知(2=152)时, 对均值的单侧 检验. 需要检验假设: (原假设)H0: =70, (备选假设)H1: >70,
拒绝原假设!, 即可以认为此次考试的平均成绩高于70分.
检验统计量:
z
x
~ N(0,1),
如果此例中的总体方差未知, 而152是样本的方差, 则统计量为
t x s m
~ t (m–1), 其中2未知
p=StudentTPValue[(75 - 70)/15*Sqrt[25],24] ResultOfTest[p[[2]],SignificanceLevel->0.05,FullReport->True] OneSidedPValue -> 0.0542901 {OneSidedPValue -> 0.0542901, Fail to reject null hypothesis at significance level -> 0.05} 不拒绝原假设! 即可以认为此次考试的平均成绩不高于70分.
实验十三 区间估计与假设检验
一、实验目的
掌握用mathematica软件包解决数据处理, 区间估 计, 假设检验等问题. 二、学习mathematica命令 1. 数据处理:
调入数据处理软件包: <<Statistics`DescriptiveStatistics` SampleRange[data]:求data的极差; Median[data]:求data的中位数; Nean[data]:求data平均值 x ; Variance[data]:求data方差s2(无偏估计); StandardDeviation[data]:求data标准差s(无偏估计); CentralMoment[data,q]:求q阶中心矩bq;
置信区间: {73.5243,126.476}, 即[73.5243,126.476].
此时的自由度dof极大可能不是整数, 如果查表, 则只好取一个近似整数, 否则无表可查.
例2 研究A,B两种机床生产的某种零件的尺寸. 抽 取A生产的18支, 测得方差为:0.34mm2; 抽取B生产的 13支, 测得方差为:0.29mm2. 两机床的生产相互独立, 但它们的均值, 方差均未知, 求两总体的方差比的置信 度为0.9的置信区间. FRatioCI[0.34/0.29,17,12,ConfidenceLevel->0.9]
或调入统计软件包: <<Statistics`
常见数理统计量及其服从的分布: 假设随机变量X~N(1, 12), Y~N(2, 22), x1, x2, ·, · · xm; y1, y2, ·, yn,分别为总体X, Y的一个容量为m, n的 · · 样本观测值, 则
z
t
Z
x
1
sx
m
~ N(0,1), 其中12已知.
x m
~ t (m–1), 其中12未知.

( x y ) (1 2 )

2 1
T
m n ( x y ) ( 1 2 )

2 2
~ N(0,1), 其中12, 22已知.
(m
2 1) s x
(n
2 s1
m

2 s2
n
, dof
n m
2 s1
2 2 1 s2 s1 m 1 m n 1 n
1
2
2
.
当数据量较大(m,n50)时, 依④和⑤作出的区间估计偏差不大.
4)单总体方差的区间估计 给出具体数据data时: VarianceCI[data, 选项] 5)两总体方差比的区间估计 给出具体数据data1, data2时: VarianceRatioCI[data1,data2, 选项]. 6) 给出概括数据时: 2统计量: ChiSquareCI[variance,dof, 选项]; F统计量: FRatioCI[ratio,mundof,fendof, 选项]. dof=m-1, mundof=m-1, fendof=n-1. 4),5),6)三者仅有选项: ConfidenceLevel->0.95.
例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法 的建议是否会增加钢的产量. 试验在同一平炉上进行. 每炼一炉钢除操作方法外, 其它条件尽可能相同. 用标 准方法和改进方法交替进行, 各炼10炉, 其钢的产量分 别为: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1. 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体N(1, 2) 和N(2, 2), 1, 2, 2均未知. 问改进方法能否提高产 量(显著水平取=0.05)? 需要检验假设, H0: 1–2=0, H1: 1–2<0.
如果去掉方差相等的假设, 则
se
2 sx
m

s2 y n
,
dof 1
m n
2 sx
s2 y
2
2 1 sx m 1 m n
2
s2 y 1 n
2
,
se1=Sqrt[80^2/80+100^2/100]; dof=se1^4/((80^2/80)^2/(80-1)+(100^2/100)^2/(100-1)); StudentTCI[2000-1900,se1,dof]
2 ( m 1) s x
n 1 s2 y
2
,
~ t (dof ), 其中12,22, 12=22均未知时.
2
12
2 sx
~ 2 (m–1), 其中1未知.
F
s2 y
~ F (m–1, n–1), 其中1, 2未知, 12=22时.
无论是作区间估计还是作假设检验, 以上统计量 所服从的分布是理论依据.
协方差
n 1 k 1
n
( x k x )( y k y )
相关系数
k 1
( x k x )( y k y )
k 1
( x k x )2 ( yk y )2
k 1
n
n
2. 区间估计:
调入区间估计软件包: <<Statistics`ConfidenceIntervals` 1)单总体均值的区间估计 给出具体数据data时: MeanCI[data, 选项], 选项: ConfidenceLevel->0.95, KnownVariance->var(None). 2)两总体均值差的区间估计 给出具体数据data1,data2时: MeandifferenceCI[data1,data2, 选项], 选项: ConfidenceLevel->0.95, EqualVariance->True(False), KnownVariance->{12,22}. 3)*给出概括数据时均值(差)的区间估计: 正态统计量时: NormalCI[mean,sd, 选项](总体方差已知); t统计量时: StudentTCI[mean,se,dof,选项](总体方差未知). 选项: ConfidenceLevel->0.95. (sd, ed见后面介绍)