空间曲线的曲率挠率

则上式表示为
xx(s0) x(s0) x(s0)
yy(s0) y(s0) y(s0)
zz(s0) z(s0) 0 z(s0)
如果曲线用一般参数t 表示，则将上式中的撇改成点。
平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。
例 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}在任一
点的密切平面 xacost yasint zbt
asint acost acost asint
b 0
0
a c t b x o y a s 2 c 2 t z o b 0 s ---精t 品---
P
3.空间曲线的曲率，挠率
(s)
P
设空间曲线(C)为 1)曲率
C
3
的，且以
பைடு நூலகம்
s
为参数。(ss)P1
(ss)
定义（C）在 P 点的曲率为 (s) lim
lim 1
s0 s
R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
---精品---
(s)lim r
s 0 s
(s)
P
M
P1
M
(ss)
lim lim 1 lim MM MM
s0 s s0 s
s0 s MM
(s s) (s)
有
PrQ (s0r)( ss0 1 2(sr) (sr0()s 0))s2
r(t0)
P:r(t0)
Q:r(t0t)
R
因为向量 r(s0)和 PQ 都在平面 上，所以它们的
O
线性组合 2 s2[P Q r(s0 ) s] r(s0 )也在平面 上。
两边取极限得 r(s0) 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此
所以该曲线是直线.
---精品---
2)挠率
rr与曲 率类 似k有(s)
例：圆的参数化为 r(t) (a cost , a sint ) , tR ，其中 常数 a > 0 , 试将参数化为自然参数。
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
a2(sint)2 a2co2st d t
adt
t
s 0 adt at r (t) r (t(s) )(aco s,a ssisn ) (s)
3、弧长作参数是可以做到d的t ：由于
ds r(t) 0 dt
则s(t)是t 的严格 单调函数， 存在反函数t=t(s),
代入有 r ( t ) r ( t ( s ) )( s )
4、对于
r ( s )r , ( s ) r ( s )
1 r ( s ) 2 x ( s ) 2 y ( s ) 2 z ( s ) 2 0 2 x x 2 y y 2 z z ---精品---
分别叫做:
r(s)
密切平面： (Rr)0 (Rr,,)0密切平面
法平面： (Rr)0
α(s)
从切平面： (Rr)0
从切平面
C β(s)
O
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
---精品---
关于密切平面
r(t0)
P(t0 )
定义 过空间曲线上 P 点的切线
和 P 点邻近一点 Q 可作一平
aa
---精品---
2.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1)
给出
称
Cr2类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs
，
ds
称
r
r
为曲线在 P 点的主法向量,
它垂直于单位切向量。
称
为曲线在 P
点 的次法向量。
法平面
γ(s)
把两两正交的单位向量 , , 称为
r(s)
曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。
密切平面
C β(s)
α(s)
从切平面
---精品---
O
2) 对于曲线（C）的一般参数表示 rr(t),有
r r , r r r r , r 2 r r r (r r r )r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
γ(s) 法平面
面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，
平面 的极限位置 称为曲线
在 P 点的密切平面。
Q(t0 t)
O
γ(s) 法平面
对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
C r(s)
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
密切平面以 为法向。
密切平面
α(s)
β(s)
从切平面
O
---精品---
密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线（C）：rr(s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s)
(s) (s) r r r
---精品---
例： 空间曲线，rr(s)为直线的充要条件是曲率
证明：并若且为直a线(rs1，)则sa0b其(s中)ar和 b 都a 是常0向量，
反之, 于是
若 (s)0
rsab
,
则
(s)r 0
由于 r(s)r(s),这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。
密切平面方程为
( R r ( s 0 )r ) ( s 0 ) r ( s 0 ) 0
---精品---
( R r ( s 0 )r ) ( s 0 ) r ( s 0 ) 0
R(x,y,z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能
否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就是以弧长s为参 数（自然参数）
12、 、r弧对(t长)于参的光数参滑优数曲越是线性自：然r ( t 参由 ) 数于( dx 的( st 充) ry 要(( t)t 条) ,,当 z 件( tt ) 是,s时 t r) (A tr ) (， s, )1R r (t)1
s0 s
s 越小
s
就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令s 0
则
s
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
---精品---
例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
sR
第五章 多元函数微分学
§12 曲率、挠率
---精品---
x x (t)
定义：如果曲线的参数表示式
y
y (t)
或 r r(t) at b
z z ( t )
at b
是 阶k 连续可微的函数，则把这类曲线称
为C k 类曲线。当 k 时1 , C类1 曲线又称为光滑
曲线。
---精品---
1.曲线的自然参数