罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】

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其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
C1 2t 1
1
,
0,
1
（2.43）
令 P1 和 P2 分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其
预算约束是：P1C1＋P2C2＝W。
（a）已知 P1、P2 和 W，则使此人效用最大化的 C1 和 C2 是多少？
（b）两期消费之间的替代弹性为： P1 / P2 / C1 / C2 C1 / C2 / P1 / P2 ，
劳动，以成本 r 租赁资本，并且所有厂商的 A 值都相同。
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定
并且独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同的生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述 N
个厂商的总和，证明其产出也等于上述 N 个成本最小化厂商的总产出。
U
C1
C1
1 1
C2 (
P1
P2 ) 0
C1
1 1
( P1
P2 )C2
再简化为：
C1 1 1/ P2 / P1 1/ C2
将方程（5）代入（3），则有：
C2 W / P2 1 1/ P2 / P1 1/ C2 P1 / P2
化简得：
C2
1
1
1/
P2
/
P1 1
W
/
P2
再简化为：
或 ln C1 / C2 / ln P1 / P2 。证明若效用函数为（2.43）式，则 C1 与 C2 之间的替代
弹性为
1
。
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解：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
max
U
C11 1
1 1
求一阶条件：
L r ALf (K AL)(1 AL) 0 r f (k)
K
L ( AL)
w

f
(K
AL) AL f (K
AL) (K )
(AL)2
0 w f (k ) kf (k)
用第一个结果除以第二个结果：
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 r f (k ) w f (k ) kf (k )
P1 ) C2 )
ln (C1 ln(P2
C2 ) P1 )
1
因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。 那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻 t0 前后消 费之间的关系。）
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本
最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，下面是 N 个成本最小化厂商的总产量关系式：
N
N
N
Yi ALi f (k) Af (k) Li ALf (k)
C21 1
（1）
s.t. P1C1 P2C2 W
（2）
求解约束条件：
C2 W / P2 C1P1 / P2
（3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
U
C11 1
1 1
W
P2 C1P1 1
P2 1
（4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对 C1 求一
阶条件可得：
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本 rK＋wAL，同
时厂商受到生产函数 Y＝ALf（k）的约束。这是一个典型的最优化问题。
minwAL rK
s.t. Y ALf k
本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：
L wAL rK Y ALf (K AL)
（7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
C1 / C2 1 1/ P2 / P1 1/
（8）
对方程（8）两边取对数可得：
ln C1 / C2 1/ ln 1 1/ ln P2 / P1
（9）
则消费的跨期替代弹性为：
(C1 (P2
C2 ) (P2 P1) (C1
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罗默《高级宏观经济学》第 4 版课后习题详解 第 2 章 无限期模型与世代交叠模型
2.1 考虑 N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数 Y＝F（K，AL），或者采
用紧凑形式 Y＝ALf（k）。假设 f (g) 0 ， f (g) 0 。假设所有厂商都能以工资 wA 雇用