力矩 转动定律 转动惯量
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2
转动惯量
用 ri 乘以上式左右两端：
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri
N N
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：
F r sin f r sin (m r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
R
解：由转动定律 M=J α 得 α = M/J 而 at = α R a n = ω 2R ω= α t
第四章 刚体的转动
B
10
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
三
转动惯量
dm dV
2 j j
J m r
j
J r dm V r dV
2
2
转动惯量的单位：kg· 2 m J 的意义：转动惯性的量度 . 决定转动惯量的要素：
.
对m2： m2 g T2 m2 a ' ' T 对m： 2 R T1 R M f J
第四章
T1
T2
21 m2 g
刚体的转动
m1 g
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
1 2 ' ' a R, J mR , T1 T1 , T2 T2 2
a 联立求得：
第四章
( m 2 m1 ) a g m1 m 2 2m1m2 T1 T2 g m1 m2
Mf 0
这便是质点动力学中 所熟知的结果
刚体的转动
22
物理学
第五版
例：已知 ：R，m 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系。
解：圆盘和物体受力分析如图：
合力矩等于各个 力矩的代数和.
ω
r2 r1
2
1
F 2 F1
O
第四章
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
合内力矩
设质点1和质点2间相互作用力 在垂直转轴平面的分力各为F12 和F21,它们大小相等、方向相 反且在同一直线上, 如图.它们的合力矩
转动定律
转动惯量
F21
ω
r2 r1
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
第四章
刚体的转动
27
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
如令 mC 0 ，可得
mA mB g FT1 FT2 mA mB
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
1 2 2 J P mR mR 2
1 2 J c mL 12
O1
O1’
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3
第四章 刚体的转动
d=L/2
O2 O2’
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物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
转动定律应用 说明 (1) M J ,
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
2、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力 矩可能为零。 3、当这两个力合力为零时，它们对轴的合力矩一 定也为零。 4、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一 定也为零。
第四章 刚体的转动
5
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律 O’
转动惯量
二. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
Fi -外力
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
第四章 刚体的转动
N
物理学
第五版
4-2
N i i i
力矩
N
转动定律
2 i i
转动惯量
得到：
F r sin (m r
i 1 i 1
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为 刚体转动惯量，以J 表示。于是得到
第四章 刚体的转动
24
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
FT1
PC
FC
mA
FN FT1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
25
O
mB B
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
注 （1）在定轴转动 问题中，如不加说明， 所指的力矩是指力在 转动平面内的分力对 转轴的力矩。
第四章
F Fi 0, M i 0 i i F F1
转动 平面
F
r
F2
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
合力矩
M r1F1 sin1 r2 F2 sin 2
(1)体密度; 两个相同的圆盘,铁质与木质 (2)几何形状; 质量分布离轴越远, J 越大 (3)转轴位置. 同一刚体,转轴位置不同,J 就不相同
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J m r m r m r m r
刚体的转动
16
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
四 平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
第四章
2
刚体的转动
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物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
J J c md
o'
L
0
=L3/3 =mL2/3 x dx
2
L/2
=L3/12 =mL2/12 同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。
第四章 刚体的转动
13
- L/2
=x3/3 x dx
2
L/2 L/2
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例题
求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的
转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例题、质量为m半径为R的薄圆盘从静止开始在恒力矩M 的作用下绕通过直径的光滑轴转动， （J=mR2/4），t秒后点B的切向加速度 4 M ( mR) at=____________，
16 M 2 t 2 ( m 2 R 3 ) 法向加速度an=__________________.
M J
与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同．
第四章
刚体的转动
19
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
20
物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量 例1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 m R 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 <m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 已知： m1，m2 ，m， R ，Mf m1 m2 求： a , T1 , T2 Mf 解: 研究对象 m1 ，m2 ，m ' m T1 建立坐标，受力分析 如图 T2' 对m1 ： 1 m1 g m1a T
下述情况中,力F 对转 10 F 的方向与转轴平行. 轴的力矩为零. 20 F 的作用线通过转轴.
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
F F Fi 0, M i 0 i i
力不在转动平面内 把力分解为平行和垂直于 转轴方向的两个分量
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
设 F 在转动平面内
一. 力矩 用来描述力对刚体的转动作用．
M F 对z 轴的力矩： 大小： rF sin M
或
r F
Z
MZ
转 动 平 面
M Fd
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 注意:
Od
r
A
F
2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
质量连续分布
J m r r dm
2 j j 2 j
dm：质量元 d V ：体积元
r dV
2 V
第四章 刚体的转动
12
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例.求长L,质量m均匀细棒的转动惯量. (1)O轴通过棒一 端且与棒垂直;(2)O'轴通过棒中点且与棒垂直. 解： O O' dx 取轴为坐标原点, 取长度微元如图 x dm=dx, =m/L dJ=r2dm =x2dx (1)过棒的一端O J o (2)过棒的中点O' J 结果表明：
2
M F21r2 sin 2 F12r1 sin 1
( r1 sin1 r2 sin 2 )
刚体的合内力矩为零
第四章
0
O
1 F12
质点系的 合内力矩=?0
4
wk.baidu.com
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例：有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：
1、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力 矩一定为零。
f i -内力
ω
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得：
Fi f i mi ai
O
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
L
L
m
1 2 J mL 3
m m
1 2 J mL 12
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体
J mR 2
1 2 J mR 2
15
R
m
第四章
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
质点与刚体组合的转动惯量
L
r m1
R
m1
m
m
1 2 2 J mL m1 L 3
第四章
1 J mR2 m1 r 2 2
d M J J dt
第四章 刚体的转动
刚体定轴 转动定律
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
讨论：
d M J J dt
α
（1） M 一定，J
惯性大小的量度； 对比
F ma
转动惯量是转动
（2）J 与总质量、质量分布以及转轴的位置有关; （3）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正.
( m 2 m1 ) g
Mf R
注意：当不计滑轮的质 量及摩擦阻力时：
1 m1 m 2 m 2
m 0,
M 1 m1 [( 2 m2 m ) g f ] R 2 T1 1 m1 m 2 m 2 Mf 1 m2 [( 2 m1 m ) g ] R 2 T2 1 m1 m 2 m 2
m
1 对圆盘： TR ( mR 2 ) (1) 2 R 0 对物体： mg T ma ( 2) ' T a R( 3) 2g T 联立（1）、（2）、（3）得： 3R m d , t 0 时 0 a dt d ， 0时 0 t t 2g dt mg 0 d 0 3R dt d t 2 g tdt 0 0 3R 2g g 2 t t 2013-7-17 23 3R 3R
r dr
R
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得
J r dm
2
2r dr
3 0
R
R
2
4
1 mR 2 2
14
第四章
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
几种常见刚体的转动惯量： 细棒 细棒
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
FT1 mA a mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN mA FT1 O x PA
第四章 刚体的转动
FT1
PC
FC
FT2
FT2
mB PB y
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O
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4-2
力矩
转动定律
转动惯量
转动惯量
用 ri 乘以上式左右两端：
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri
N N
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：
F r sin f r sin (m r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
R
解：由转动定律 M=J α 得 α = M/J 而 at = α R a n = ω 2R ω= α t
第四章 刚体的转动
B
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力矩
转动定律
转动惯量
三
转动惯量
dm dV
2 j j
J m r
j
J r dm V r dV
2
2
转动惯量的单位：kg· 2 m J 的意义：转动惯性的量度 . 决定转动惯量的要素：
.
对m2： m2 g T2 m2 a ' ' T 对m： 2 R T1 R M f J
第四章
T1
T2
21 m2 g
刚体的转动
m1 g
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力矩
转动定律
转动惯量
1 2 ' ' a R, J mR , T1 T1 , T2 T2 2
a 联立求得：
第四章
( m 2 m1 ) a g m1 m 2 2m1m2 T1 T2 g m1 m2
Mf 0
这便是质点动力学中 所熟知的结果
刚体的转动
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例：已知 ：R，m 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系。
解：圆盘和物体受力分析如图：
合力矩等于各个 力矩的代数和.
ω
r2 r1
2
1
F 2 F1
O
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刚体的转动
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力矩
合内力矩
设质点1和质点2间相互作用力 在垂直转轴平面的分力各为F12 和F21,它们大小相等、方向相 反且在同一直线上, 如图.它们的合力矩
转动定律
转动惯量
F21
ω
r2 r1
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
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刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
如令 mC 0 ，可得
mA mB g FT1 FT2 mA mB
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
1 2 2 J P mR mR 2
1 2 J c mL 12
O1
O1’
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3
第四章 刚体的转动
d=L/2
O2 O2’
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力矩
转动定律
转动惯量
转动定律应用 说明 (1) M J ,
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力矩
转动定律
转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
2、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力 矩可能为零。 3、当这两个力合力为零时，它们对轴的合力矩一 定也为零。 4、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一 定也为零。
第四章 刚体的转动
5
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4-2
力矩
转动定律 O’
转动惯量
二. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
Fi -外力
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
第四章 刚体的转动
N
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4-2
N i i i
力矩
N
转动定律
2 i i
转动惯量
得到：
F r sin (m r
i 1 i 1
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为 刚体转动惯量，以J 表示。于是得到
第四章 刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
FT1
PC
FC
mA
FN FT1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
25
O
mB B
第四章 刚体的转动
物理学
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注 （1）在定轴转动 问题中，如不加说明， 所指的力矩是指力在 转动平面内的分力对 转轴的力矩。
第四章
F Fi 0, M i 0 i i F F1
转动 平面
F
r
F2
刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
合力矩
M r1F1 sin1 r2 F2 sin 2
(1)体密度; 两个相同的圆盘,铁质与木质 (2)几何形状; 质量分布离轴越远, J 越大 (3)转轴位置. 同一刚体,转轴位置不同,J 就不相同
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11
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力矩
转动定律
转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J m r m r m r m r
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力矩
转动定律
转动惯量
四 平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
第四章
2
刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
J J c md
o'
L
0
=L3/3 =mL2/3 x dx
2
L/2
=L3/12 =mL2/12 同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。
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- L/2
=x3/3 x dx
2
L/2 L/2
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力矩
转动定律
转动惯量
例题
求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的
转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
第四章 刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
例题、质量为m半径为R的薄圆盘从静止开始在恒力矩M 的作用下绕通过直径的光滑轴转动， （J=mR2/4），t秒后点B的切向加速度 4 M ( mR) at=____________，
16 M 2 t 2 ( m 2 R 3 ) 法向加速度an=__________________.
M J
与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同．
第四章
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力矩
转动定律
转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
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竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量 例1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 m R 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 <m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 已知： m1，m2 ，m， R ，Mf m1 m2 求： a , T1 , T2 Mf 解: 研究对象 m1 ，m2 ，m ' m T1 建立坐标，受力分析 如图 T2' 对m1 ： 1 m1 g m1a T
下述情况中,力F 对转 10 F 的方向与转轴平行. 轴的力矩为零. 20 F 的作用线通过转轴.
第四章 刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
F F Fi 0, M i 0 i i
力不在转动平面内 把力分解为平行和垂直于 转轴方向的两个分量
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力矩
转动定律
转动惯量
设 F 在转动平面内
一. 力矩 用来描述力对刚体的转动作用．
M F 对z 轴的力矩： 大小： rF sin M
或
r F
Z
MZ
转 动 平 面
M Fd
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 注意:
Od
r
A
F
2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
质量连续分布
J m r r dm
2 j j 2 j
dm：质量元 d V ：体积元
r dV
2 V
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力矩
转动定律
转动惯量
例.求长L,质量m均匀细棒的转动惯量. (1)O轴通过棒一 端且与棒垂直;(2)O'轴通过棒中点且与棒垂直. 解： O O' dx 取轴为坐标原点, 取长度微元如图 x dm=dx, =m/L dJ=r2dm =x2dx (1)过棒的一端O J o (2)过棒的中点O' J 结果表明：
2
M F21r2 sin 2 F12r1 sin 1
( r1 sin1 r2 sin 2 )
刚体的合内力矩为零
第四章
0
O
1 F12
质点系的 合内力矩=?0
4
wk.baidu.com
刚体的转动
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力矩
转动定律
转动惯量
例：有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：
1、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力 矩一定为零。
f i -内力
ω
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得：
Fi f i mi ai
O
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
第四章 刚体的转动
物理学
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力矩
转动定律
L
L
m
1 2 J mL 3
m m
1 2 J mL 12
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体
J mR 2
1 2 J mR 2
15
R
m
第四章
刚体的转动
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4-2
力矩
转动定律
转动惯量
质点与刚体组合的转动惯量
L
r m1
R
m1
m
m
1 2 2 J mL m1 L 3
第四章
1 J mR2 m1 r 2 2
d M J J dt
第四章 刚体的转动
刚体定轴 转动定律
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
讨论：
d M J J dt
α
（1） M 一定，J
惯性大小的量度； 对比
F ma
转动惯量是转动
（2）J 与总质量、质量分布以及转轴的位置有关; （3）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正.
( m 2 m1 ) g
Mf R
注意：当不计滑轮的质 量及摩擦阻力时：
1 m1 m 2 m 2
m 0,
M 1 m1 [( 2 m2 m ) g f ] R 2 T1 1 m1 m 2 m 2 Mf 1 m2 [( 2 m1 m ) g ] R 2 T2 1 m1 m 2 m 2
m
1 对圆盘： TR ( mR 2 ) (1) 2 R 0 对物体： mg T ma ( 2) ' T a R( 3) 2g T 联立（1）、（2）、（3）得： 3R m d , t 0 时 0 a dt d ， 0时 0 t t 2g dt mg 0 d 0 3R dt d t 2 g tdt 0 0 3R 2g g 2 t t 2013-7-17 23 3R 3R
r dr
R
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得
J r dm
2
2r dr
3 0
R
R
2
4
1 mR 2 2
14
第四章
刚体的转动
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
几种常见刚体的转动惯量： 细棒 细棒
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
FT1 mA a mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN mA FT1 O x PA
第四章 刚体的转动
FT1
PC
FC
FT2
FT2
mB PB y
26
O
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4-2
力矩
转动定律
转动惯量