您的位置：360文档中心› 高等数学第三章要求与练习(含答案

高等数学第三章要求与练习(含答案

合集下载

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。

高等数学李伟版课后习题答案第三章

高等数学李伟版课后习题答案第三章

⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。

高等数学课后习题及答案(共11单元)03导数的应用

高等数学课后习题及答案(共11单元)03导数的应用

习题3-11．验证下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理： （1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x ； （2）x x f ln )(=，],1[e x ∈； （3）32)(x x f =，]2,1[-∈x ； （4）22)(xxx f -=，]1,1[-∈x . 答案：（1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x解 函数25)(23-+-=x x x x f 在闭区间]1，0[上连续，在开区间()10，内可导，并且312501)0()1(-=---=--）（）（f f .由于1103)(2+-='x x x f ，所以令311032-=+-x x ，解此方程得3135±=x ，这说明在)1,0(内有3135-=ξ，使得3)(-='ξf .（2）x x f ln )(=，],1[e x ∈解函数x x f ln )(=在闭区间]1[e ，上连续，在开区间()e ，1内可导，并且111011)1()(-=--=--e e e f e f .由于x x f 1)(='，所以令111-=e x ，解此方程得1-=e x ，这说明在),1(e 内有1-=e ξ，使得11)(-='e f ξ.（3）32)(x x f =，]2,1[-∈x解 函数32)(x x f =在闭区间]2，1[-上连续，在开区间()21，-内可导，并且314)1(2)1()2(3-=----f f .由于332)(x x f ='，所以令3143233-=x ，解此方程得33)142(-=x ，这说明在)2,1(-内有33)142(-=x ，使得314)(3-='ξf .（4）22)(x xx f -=，]1,1[-∈x 解 函数22)(x x x f -=在闭区间]1，1[-上不连续，所以22)(x xx f -=在]1，1[-不满足拉格朗日中值定理.2．用洛必达法则求下列极限：（1）bx axx sin tan lim 0→； （2）x e e x x x sin lim 0-→；（3）ax ax a x --→sin sin lim ； （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x ；（5）x x x ln 1lim1-→； （6）x x x 3cos sin 21lim 6-→π；（7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π； （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π；（9）x x x ln lim+∞→； （10）xxx cot ln lim 0→；（11）xx x sin ln ln lim 0+→； （12）ax b x e x ∞→lim （a ，0>b ）.答案：（1）bx axx sin tan lim0→解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得ba bxb ax a bx ax x x ==→→cos sec lim sin tan lim 200. （2）xe e x x x sin lim 0-→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 2111cos lim sin lim 00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . （3）a x ax a x --→sin sin lim解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得a x x a x a x a x a x a x cos cos lim 010cos lim sin sin lim ==--=--→→→. （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 41122)32)(3(2lim 23)3ln(lim 22222=⨯⨯=--=+--→→x x x x x x x x . （5）x x x ln 1lim 1-→解 这是00型未定式，所以应用洛必达法则得1lim 11lim ln 1lim 111===-→→→x xx x x x x . （6）x xx 3cos sin 21lim6-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 33132323sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 66=⨯-⨯-=--=-→→xx x x x x ππ. （7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 limx→∞π2−arctan x sin1x=limx→∞−11+x 2−1x 2cos1x=lim x→∞x 21+x 2∙lim x→∞1cos 1x=1×1=1 （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 111lim 1)1()1(11lim 1arctan 2lim 202200=+=-⋅+-=-+++→→→x x x x x x x x π （9）x xx ln lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01lim 11lim ln lim ===+∞→+∞→+∞→xx x x x x x . （10）x xx cot ln lim 0→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01cos sin 2lim sin lim csc 1lim cot ln lim 020200=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x . （11）x xx sin ln ln lim 0+→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得1sec lim tan lim sin cos 1lim sin ln ln lim 20000====++++→→→→x xx xx x x x x x x x . （12）ax bx ex ∞→lim （a ，0>b ）解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 0!lim )1(lim lim lim 221===-==∞→-∞→-∞→∞→ax b x axb x ax b x ax b x e a b e a x b b ae bx e x . 3．用洛必达法则求下列极限：（1）)11ln 1(lim 1--→x x x ； （2）)1(cot lim 0xx x -→；（3）)111(lim 0--→x x e x ； （4）x x x 2cot lim 0→；（5）2120lim x x e x →； （6）xx x sin 0lim →；（7）xx x-→111lim ； （8）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（9）xx x ln 10)(cot lim +→.答案： （1）)11ln 1(lim 1--→x x x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 xxx x x x x x x x x x x ln 111lim )1(ln ln 1lim )11ln 1(lim 111+--=---=--→→→ =limx→1x−1x−1+x ln x=limx→111+1+ln x=12.（2）)1(cot lim 0xx x -→解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 2000sin cos limsin sin cos lim )1(cot lim x xx x x x x x x x x x x x -=-=-→→→ 02sin lim 2cos sin cos lim 00=-=--=→→x x x x x x x x . （3）)111(lim 0--→x x e x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得xx x x x x x x x xe e e e x x e e x +--=---=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21021lim 0=+=++=→x x x x x xe e e e . （4）x x x 2cot lim 0→解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得212cos 21lim 2sec 21lim 2tan lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x .（5）212lim x x e x →解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为∞∞型的未定式，再应用洛必达法则得 ∞==--==→→→→222210313021012lim 1212lim 1lim lim x x xx x x x x e x e x x e ex .（6）xx xsin 0lim →解 这是00型未定式，利用对数恒等式有x x x e e xln sin ln sinx sin x ==，而0)(lim 11lim 1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===→→→→→x xx x xx x x x x x x x x ， 所以1lim 0sin 0==→e xxx .（7）xx x-→111lim解 这是∞1型未定式，利用对数恒等式有x xx ee xln 11ln x-1111x-==-，而11lim 11lim 1ln lim 111-=-=-=-→→→xx x x x x x 所以ee xxx 1lim 1111==--→.（8）xx x 2tan 4)(tan lim π→解 这是∞1型未定式，有)ln(tan 2tan )ln(tan tan2x2tan tanx)x x x e e x==（，而x xx x x x x x x x 2csc 2sec tan 1lim 2cot )ln(tan lim )ln(tan 2tan lim 22444-==→→→πππ 1)2sin (lim 4-=-=→x x π所以ee x xx 1)(tan lim 12tan 4==-→π.（9）xx x ln 10)(cot lim +→解 这是0∞型未定式，有xxx xee co xln cot ln )ln(cot ln 1ln 1tx )==（，而x x x x x xx x xx x x x x 2sin 2lim sin cos lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 00200-=-=-=++++→→→→12cos 1lim 0-=-=+→x x所以e e x xx 1)(cot lim 1ln 10==-→+.4．求下列函数的极限： （1）x x xx x cos sin 2lim-+∞→； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （4）x x x x x e e e e --+∞→-+lim .答案： （1）xx xx x cos sin 2lim-+∞→解 20102cos 1sin 2lim cos sin 2lim =-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . （2）xx x x sin 1sinlim20→ 解 x xx x x x x x x x x x x x x sin lim 1sinlim sin 1sin lim sin 1sin lim00020→→→→== 0101sin 1lim ===∞→xxx .（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→解 xx x x x x x x x x x x x x 1lim ln lim )1ln (lim ln ln lim2+∞→+∞→+∞→+∞→+=+=+ +∞==+=+∞→+∞→x xx x lim 011lim.（4）xx xx x e e e e --+∞→-+lim解101011111limlim 22=-+=-+=-++∞→--+∞→x x x xxxx x ee e e e e . 习题3-21．判定下列函数在指定区间内的单调性： （1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x ； （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x ； （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x . 答案：（1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x解 因为2221111)(x x x x f +-=-+='在指定区间),(+∞-∞内恒为负值， 所以x x x f -=arctan )(在),(+∞-∞内是单调减少的. （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x解 因为x x f sin 1)(-='在指定区间]2,0[π内恒为正值， 所以x x x f cos )(+=在]2,0[π内是单调增加的. （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x解 因为x x f 2sec )(='在指定区间)2,2(ππ-内恒为正值， 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是单调增加的. 2．求下列函数的单调区间：（1）x x f ln )(=； （2）24)(+-=x x f ；（3）71862)(23---=x x x x f ； （4）x x x f ln 2)(2-=；（5）xe x xf -=)(； （6）22)(x x x f -=.答案：（1）x x f ln )(=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx f 1)(='，在定义区间内0)(>'x f ， 所以函数)(x f 的单调增加区间是),0(+∞. （2）24)(+-=x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，4)(-='x f ，在定义区间内0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调减少区间是),(+∞-∞.（3）71862)(23---=x x x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，18126)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得11-=x ，32=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是]3,1[-. （4）x x x f ln 2)(2-=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x .所以函数)(x f 的单调增加区间是),21[+∞，单调减少区间是]21,0(. （5）xe x xf -=)(解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，xe xf -='1)(，令0)(='x f ，得0=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是]0,(-∞，单调减少区间是),0[+∞. （6）22)(x x x f -=解 函数)(x f 的定义域为]2,0[，22212222)(xx x xx x x f --=--='，令0)(='x f ，得所以函数)(x f 的单调增加区间是]1,0[，单调减少区间是]2,1[. 3．求下列函数的极值点和极值：（1）263423+--=x x x y ； （2）1)1(22--=x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）213xxy +=； （5）xxe e y --=2； （6）x x y tan +=.答案：（1）263423+--=x x x y 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1)(12(66612)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点211-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；因此，函数)(x f 的极大值点为2-=x ，极大值为4)1(=-f ；极小值点为1=x ，极小值为3)3(-=f .（2）1)1(22--=x y解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1(444)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、02=x 、13=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x 、1=x ，极小值为1)1(-=-f 、1)1(-=f ；极大值点为0=x ，极大值为0)0(=f .（3）)1ln(x x y +-=解 函数)(x f 的定义域为),1(+∞-； xxx x f +=+-='1111)(，令0)(='x f ，解得驻点01=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为0=x ，极小值为0)0(=f . （4）213xxy +=解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；2222222)1()1(3)1(6)1(3)(x x x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x ，极小值为2)1(-=-f ；极大值点为1=x ，极大值为23)1(=f . （5）xxee y --=2解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；xx xx ee ee xf 122)(2+=+='-，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加； 因此，函数)(x f 无极值点. （6）x x y tan +=解 函数)(x f 的定义域为)(2Z k k x ∈+≠ππ；x x f 2sec 1)(+='，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；因此，函数)(x f 无极值点.习题3-31．求下列函数在给定区间上的最值： （1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x ； （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x ； （3）x x y +=，]4,0[∈x ；（4）12+=x xy ，],0[+∞∈x ；（5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x ； （6）xxy +-=11arctan ，]1,0[∈x . 答案：（1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x 解 )1(161616)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]2,2[-上得驻点11-=x 、02=x 、13=x ； 驻点处的函数值为4)1(-=-f 、0)0(=f 、4)1(-=f ， 端点处的函数值为32)2(=-f 、32)2(=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为32)2()2(==-f f ，最小值为4)1()1(-==-f f . （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x 解 )3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]4,1[上得驻点3=x ； 驻点处的函数值为61)3(-=f ，端点处的函数值为29)1(-=f 、47)4(-=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为29)1(-=f ，最小值为61)3(-=f . （3）x x y +=，]4,0[∈x 解 0211)(>+='xx f ，因此函数)(x f 在区间]4,0[上单调增加； 所以，函数在]4,0[上的最大值为6)4(=f ，最小值为0)0(=f . （4）12+=x xy ，],0[+∞∈x 解 2222222)1(1)1(21)(+-=+-+='x x x x x x f ， 令0)(='x f ，在）,0[+∞上得驻点1=x ；驻点处的函数值为21)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f ；所以，函数在）,0[+∞上的最大值为21)1(=f ，最小值为0)0(=f . （5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x 解 323223)1(4)22(232)(xx x x xx x f --=-⨯-='，令0)(='x f ，在]3,0[上得驻点1=x ；驻点处的函数值为1)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f 、39)3(=f ； 所以，函数在]3,0[上的最大值为39)3(=f ，最小值为0)0(=f .（6）x xy +-=11arctan，]1,0[∈x 解 0)1()1(2)1(2)11(11)(2222<-++-=+-⨯+-+='x x x xx x f ，因此函数)(x f 在区间]1,0[上单调减少；所以，函数在]4,0[上的最大值为4)0(π=f ，最小值为0)1(=f .2.证明：（1）面积一定的矩形中，正方形周长最短；（2）周长一定的矩形中，正方形面积最大. （1）证明：设面积为S 的矩形长为x ，则其宽为x S ，矩形周长)(2xS x A +=； 因22222)(2224xS x x S x x A -=--='，令0='A ，得S x =； 所以长S x =的矩形周长A 最小，即：面积一定的矩形中，正方形周长最短.（2）证明：设周长为A 的矩形长为x ，则其宽为22x A -，矩形面积2)2(x A x S -=； 因24x A S -='，令0='S ，得4Ax =； 所以长4Ax =的矩形面积S 最大，即：周长一定的矩形中，正方形面积最大.3．设22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= ，问x 取多大时，S 最小？ 解 由22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= 知)(22)22()22()22(121n n a a nx a x a x a x S ++-=-++-+-=' ，令0='S ，得na a a x n+++=21；所以当na a a x n+++= 21时，S 最小.4．某企业生产每批产品x 单位的总成本x x C +=3)(（万元），得到的总收入26)(x x x R -=（万元），为了提高经济效益，每批生产产品多少单位，才能使总利润最大？解 总利润35)3()6()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x F ，52)(+-='x x F ，令0)(='x F ，得25=x ； 所以每批生产产品25单位，才能使总利润最大.5．某厂生产一种自行车，每月固定成本3万元.而每生产1千辆，要增加成本5万元，大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产x 千辆时，可以节约成本326001407x x -万元.问x 为多大时，其成本最低？（6030<<x ）解 总成本32600140753)(x x x x F +-+=， 52072001)(2+-='x x x F ； 令0)(='x F ，得函数0)(=x F 在)60,30(内唯一驻点50=x ；所以50=x 千辆时，其成本最低.6．甲船以6千米/小时的速度向东航行，乙船在甲船北16千米处，以8千米/小时的速度向南航行，问何时两船距离最近？解 设x 小时后，两船距离y 千米256256100)816()6(222=-=-+=x x x x y ，256200-='x y ，令0='y ，得28.1=x ；所以1.28小时后两船距离最近.习题3-41．求下列曲线的凹凸性和拐点：（1）24x x y -=； （2）1323+-=x x y ；（3）5224-+=x x y ； （4）xx y 12+=； （5）32x x y =； （6）)1ln(2x y +=； （7）xey arctan =； （8）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）24x x y -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，42+-='x y ，02<-=''y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凸的，无拐点. （2）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)1,1(-. （3）5224-+=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 443+='，04122>+=''x y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凹的，无拐点. （4）xx y 12+= 解 函数的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，212xx y -='，3322x x y +=''；令0=''y ，解得定义区间内的实根1-=x ；所以列表讨论如下：因此函数在区间)1,(--∞和),0(+∞内是凹的、在区间)0,1(-内是凸的，拐点为)0,1(-. （5）32x x y =解 函数的定义域为),(+∞-∞，3235x y ='，331910910xx y ==''-； 0=''y 无解，y ''不存在的点0=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)0,(-∞内是凸的、在区间),0(+∞内是凹的，拐点为)0,0(.（6）)1ln(2x y +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，212xx y +='，222)1()1(2x x y +-=''. 令0=''y ，解得定义区间内的实根1±=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(--∞和),1(+∞内是凸的、在区间)1,1(-内是凹的，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(.（7）xey arctan =解 函数的定义域为),(+∞-∞，2arctan 1xe y x +='，22arctan )1)21(x x e y x +-=''（； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间),21(+∞内是凸的、在区间)21,(-∞内是凹的，拐点为),21(21arctan e .（8）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，3316ln 48x x x y -='，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)7,1(-. 2．已知曲线4923+-+=x ax x y 在1=x 处有拐点，试确定系数a ，并求出曲线的凹凸区间和拐点.解 由4923+-+=x ax x y 知9232-+='ax x y ，a x y 26+=''； 因为曲线在1=x 处有拐点，所以0216=+⨯a ，得3-=a ；可知曲线方程为49323+--=x x x y ，9632--='x x y ，66-=''x y ；因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 3．a 、b 为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解 由曲线方程23bx ax y +=知bx ax y 232+='，b ax y 26+=''； 令0=''y ，解得ab x 3-=； 又因为点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，所以3=+b a 、13=-ab； 联立方程组，求解得：23-=a ，29=b 4．试证明曲线112+-=x x y 有位于同一直线上的三个拐点（提示：证明任意两个拐点的连线斜率相等）.证明 因为曲线方程为112+-=x x y ，定义域为),(+∞-∞；222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(12++-+=''x x x x y （； 令0=''y ，解得11-=x 、322-=x 、323+=x ；所以曲线拐点为)1,1(--A 、）34831,32(---B 、）34831,32(+++C ； 因为9624132134831=+-+--=--=A B A B ABx x y y k 、9624=--=A C A C AC x x y y k ； AC AB k k =，所以曲线三个拐点位于同一直线上.习题3-51．求下列曲线的渐近线： （1）211x y -=； （2）2)3(361++=x y ；（3）11-=xe y ； （4）xx y 12+=. 答案： （1）211xy -=解 由于函数211x y -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞ ， 且011lim 2=-∞→x x ，∞=--→2111lim x x 、∞=-→2111lim x x ； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线1-=x 、1=x 为曲线的垂直渐近线. （2）2)3(361++=x y 解 由于函数2)3(361++=x y 的定义域为),3()3,(+∞---∞ ， 且lim x→∞[1+36(x+3)2]=1，lim x→−3[1+36(x+3)2]=∞； 因此直线y =1为曲线的水平渐近线，直线3-=x 为曲线的垂直渐近线. （3）11-=xe y解 由于函数11-=xe y 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且0)1(lim 1=-∞→xx e ，lim x→0+(e 1x −1)=+∞； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线0=x 为曲线的垂直渐近线. （4）xx y 12+= 解 由于函数xx y 12+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且)1(lim 2x x x +∞→不存在，∞=+→)1lim 20xx x （； 因此直线0=x 为曲线的垂直渐近线，曲线无水平渐近线.2．作出下列函数的图像：（1）3210710x x x y -++=； （2）2)2)(1(-+=x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x ； （5）xxe y -=； （6）x x y arctan +=答案：（1）3210710x x x y -++= 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)7)(13(+-+='x x y ，令0='y 得311-=x 、72=x ；206+-=''x y ，令0=''y 得3103=x ；取辅助点)12,1(-，)10,0(，)26,1(，)134,4(，)194,8(；根据以上讨论，做出函数3210710x x x y -++=的图像如图所示图3-1（2）2)2)(1(-+=x x y 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)2(3-='x x y ，令0='y 得01=x 、22=x ； 66-=''x y ，令0=''y 得13=x ；x)0,(-∞)1,0(1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － 0 ＋ y ''－ － － 0 ＋ ＋ ＋ y╭极大值4 ╮拐点）2，1（ ╰极小值╯取辅助点)0,1(-，)827,21(，)85,23(，)4,3(； 根据以上讨论，做出函数2)2)(1(-+=x x y 的图像如图所示图3-2（3）)1ln(+-=x x y 解 函数的定义域为),1(+∞-，1+='x xy ，令0='y 得01=x ； 2)11+=''x y （，令0=''y ，无解； 列表讨论如下：x)0,1(-),0(+∞y '－ 0 ＋ y ''＋ ＋ ＋ y╰极小值0╯取辅助点)2ln 21,21(+--，)2ln 1,1(-； 根据以上讨论，做出函数)1ln(+-=x x y 的图像如图所示图3-3（4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x 解 函数的定义域为]2,0[π， x y 2sin 211-='，令0='y ，无解；x y 2cos -=''，令0=''y 得41π=x 、432π=x 、453π=x 、474π=x ； 列表讨论如下：x )4,0(π4π)43,4(ππ 43π )45,43(ππ 45π)47,45(ππ47π )2,47(ππ y '＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ y ''－ 0 ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y╭拐点╯拐点╭拐点╯拐点╭拐点）41，4（+ππ、拐点）413，43（+ππ、拐点）415，45（+ππ、拐点）417，47（+ππ 取辅助点)21,0(，)2,2(ππ，)21,(+ππ，)23,23(ππ，)212,2(+ππ； 根据以上讨论，做出函数x x y 2cos 21+=的图像如图所示图3-4（5）xxey -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，)1(x e y x -='-，令0='y 得11=x ； )2(x e y x +-=''-，令0=''y 得22=x ；x)1,(-∞1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － y ''－－－0 ＋y╭ 极大值e1╮拐点)2，2(2e╰0=y 为水平渐近线；取辅助点)0,0(，)3,3(3e；根据以上讨论，做出函数xxey -=的图像如图所示图3-5（6）x x y arctan +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，奇函数， 2212x x y ++='，令0='y ，无解；22)12+-=''x x y （，令0=''y 得01=x ； x)0,(-∞),0(+∞y '＋ ＋ ＋ y ''＋ 0－ y╯拐点)0，0( ╭取辅助点)41,1(π---，)41,1(π+；根据以上讨论，做出函数x x y arctan +=的图像如图所示图3-6习题3-61．求下列曲线在指定点处的曲率：（1）24x x y -=在其顶点处； （2）x x y cos =在原点处； （3）32x y =在点)8,4(处； （4）x y sin =在点)1,2(π处.答案：（1）24x x y -=在其顶点处解 由24x x y -=得42+-='x y ，2-=''y ； 代入计算公式得：曲线曲率为232)17164(2+-=x x K ；曲线顶点为2=x ，所以顶点处曲率为22==x K .（2）x x y cos =在原点处解 由x x y cos =得x x x y sin cos -='，x x x y cos sin 2--=''， 代入计算公式得：曲线曲率为23222)1sin 2sin (cos cos sin 2++---=x x x x x xx x K ；所以原点处曲率为00==x K.（3）32x y =在点)8,4(处解 由32x y =得23x y =，知2123x y ='，2143-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2321)491(43x x K +=-；所以点)8,4(处曲率为8001034==x K . （4）x y sin =在点)1,2(π处解 由x y sin =得x y cos ='，x y sin -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)cos 1(sin x x K +-=；所以点)1,2(π处曲率为14==x K.2．求下列曲线在指定点处的曲率半径：（1）4=xy 在点)2,2(处； （2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处； （3）x y ln =在点21=x 处； （4）x y cos =在点0=x 处；（5）x y tan =在点)1,4(π处； （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处.答案：（1）4=xy 在点)2,2(处解 由4=xy 得14-=x y ，知24--='x y ，38-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2343)161(8--+=x x K ；所以点)2,2(处曲率半径为22122====x X K R .（2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处解 由)0(42>=p px y 得212x p y =（所讨论的点为)2,(p p ）， 知21-='x p y ，2321--=''xp y ；代入计算公式得：曲线曲率为23123)1(21--+=px xp K ；所以点)2,(p p 处曲率半径为R |X=p =1K |x=p=252p =4√2p .（3）x y ln =在点21=x 处解 由x y ln =得xy 1='，21x y -=''；代入计算公式得：曲线曲率为2322)11(1xx K +=； 所以点21=x 处曲率半径为23312121====x x KR . （4）x y cos =在点0=x 处解 由x y cos =得x y sin -='，x y cos -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)sin 1(cos x x K +=；所以点0=x 处曲率半径为1111====x x K R . （5）x y tan =在点)1,4(π处解 由x y tan =得x y 2sec ='，x x y tan sec 22=''；代入计算公式得：曲线曲率为2342)sec 1(tan sec 2x x x K +=；所以点)1,4(π处曲率半径为545144====ππx x KR . （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处解 由x x y 44cos sin -=得x x x y 2sin 2cos sin 4=='，x x x y 2cos 4sin 4cos 422=-=''；代入计算公式得：曲线曲率为232)2sin 41(2cos 4x x K +=；所以点)1,0(-处曲率半径为41100====x x K R .复习题三1．填空题：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少尊在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________.（4）曲线xxe y =在区间______________内是凹的，在区间_______________内是凸的. （5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.（6）函数xxy ln =的极值点是_______________，拐点是_______________，渐近线为____________________.（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为_______________，最小值为_______________.答案：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.解ab a f b f --)()(；（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.解 单调增加，单调减少，是常数；（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________. 解 减少；（提示：01cos )(<-='x x f ）（4）曲线xxe y =在区间____________内是凹的，在区间___________内是凸的.解 ),2(+∞-，)2,(--∞；（提示：)2x e y x+=''（，拐点为2-=x ）（5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.解 ),0(e ，),(+∞e ，),(23+∞e ，),0(23e ；（提示：2ln 1x x y -='，驻点为e x =；3ln 23xxy +-=''，拐点为23e x =） （6）函数xxy ln =的极值点是________，拐点是_________，渐近线为__________. 解 e x =，)23,(2323-e e ，直线0=x ，直线0=y ；（提示：∞==→→x x x x x 1lim ln lim00，01lim ln lim ==∞→∞→xx x x x ）（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为________，最小值为_________. 解 5ln )2(=f ，0)0(=f . （提示：212x xy +='，驻点为0=x ；0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ） 2．选择题：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（ ） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减；C ．单调递减，单调递增；D ．单调递减，单调递减. （2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（ ） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.（3）设函数232+-=x x y ，则（ ）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（ ） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（ ）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 答案：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减； C ．单调递减，单调递增； D ．单调递减，单调递减. 解A ；（提示：)4(42-='x x y ）（2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.解B ；（提示：定义域为),1(+∞-，xxy +='1） （3）设函数232+-=x x y ，则（）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.解C ；（提示：由图像分析可知）（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. 解D ；（提示：)112-=''x x y （） （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 解A （提示：)2(x xe y x-='-，)42(2x x e y x+-=''-） 3．求下列极限：（1）2233lim a x a x a x --→； （2）30arctan lim xxx x -→； （3）x x x 4sin 1tan lim 4-→π； （4）x x e x 3lim +∞→；（5）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （5）)1(lim 1-+∞→x x e x .答案：（1）2233lim a x a x a x --→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 a x x x a x a x a x a x a x 2323lim 23lim lim 22233===--→→→. （2）3arctan lim xxx x -→ 解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 31)1(31lim 3111lim arctan lim202203=+=+-=-→→→x x x x xx x x x .（3）xx x 4sin 1tan lim4-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 21424cos 4sec lim 4sin 1tan lim 244-=-==-→→xx x x x x ππ. （4）x x ex 3lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得06lim 6lim 3lim lim 23====+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x ee x e x e x . （5）xx x x x ln ln lim 2++∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 xx x x x xx x x x x x 112lim ln 112lim ln ln lim 22-=++=++∞→+∞→+∞→ ∞==-=+∞→+∞→x xx x x 4lim 12lim 2. （6）)1(lim 1-+∞→xx e x解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为00型的未定式，再应用洛必达法则得11lim 1lim )1(lim 001==-=-→→+∞→xx x x xx e xe e x . 4．求下列函数的单调区间： （1）149323+--=x x x y ； （2）x ex y -=2；（3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x . 答案：（1）149323+--=x x x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，9632--='x x y ， 令0='y ，得11-=x ，32=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,1(-. （2）xex y -=2解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，)2(x xe y x-='-， 令0='y ，得01=x ，22=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)0,(-∞和),2(+∞，单调增加区间是)2,0(. （3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x 解x y cos 21-='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得1π=x ，52π=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)3,0(π和)2,35(ππ，单调增加区间是)35,3(ππ. 5．求下列函数的极值：（1）43+=x xy ； （2）x x y 2ln =；（3）221xx y +=； （4）x x y 33cos sin +=； （5）32)1(23+-=x y ； （6）)1ln(21arctan 2x x y +-=.答案： （1）43+=x xy 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，233)4()2(2+--='x x y ；令0='y ，解得驻点32=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数43+=x x y 的极大值为62323==x y .（2）xxy ln =解 函数y 的定义域为),0(+∞，2ln 1x xy -='； 令0='y ，解得驻点e x =，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数x y =的极大值为e y e x ==. （3）221xx y +=解 函数y 的定义域为),0()0,+∞∞- （，34)12x x y -='（； 令0='y ，解得驻点1±=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数22x x y +=的极小值为21=±=x y . （4）x x y 33cos sin +=解 )cos (sin cos sin 3x x x x y -='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得01=x 、42π=x 、23π=x 、234π=x 、455π=x ；列表讨论如下：因此，函数x x y 33cos sin +=的极小值为224==πx y 和123-====ππx x y y ， 极大值为120====πx x y y 和2245-==πx y . （5）32)1(23+-=x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，3134+-='x y ；令0='y ，无解，另y '不存在的点为1-=x ；列表讨论如下：因此，函数32)1(23+-=x y 的极大值为31=-=x y . （6）)1ln(21arctan 2x x y +-= 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，211xxy +-='； 令0='y ，解得驻点1=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数y 的极大值为2ln 241-==x y .6．求下列函数在指定区间上的最值：（1）2211x x x x y -++-=，]1,0[∈x ； （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x . 答案：（1）2211xx x x y -++-=，]1,0[∈x 解 221)122）（（x x x y -+-='，令0='y ，在]1,0[上得驻点21=x ； 驻点处的函数值为5321==x y ，端点处的函数值为110====x x y y ； 所以，函数在]1,0[上的最大值为110====x x y y ，最小值为5321==x y . （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x解 )tan 1(sec 22x x y -='，令0='y ，在]3,0[π上得驻点4π=x ；驻点处的函数值为14==πx y ，端点处的函数值为00==x y ，3323-==πx y ；所以，函数在]3,0[π上的最大值为14==πx y ，最小值为00==x y .7．求下列函数的凹凸区间和拐点：（1）1323+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)1,1(-. （2）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，)1ln 3(163-='x x y ，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 8．作出下列函数的图像： （1）23x x y -=； （2）115-+=x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）32)1(x x y -=.答案： （1）23x xy -=解 函数的定义域为），3（）3，3（)3,(∞+---∞ ，222)3(3x x y -+='，令0='y ，无解；322)3)92x x x y -+=''（（，令0=''y 得0=x ；0=y 为水平渐近线，3±=x 为垂直渐近线；取辅助点)21,3(-，)2,2(-，)21,1(--，)21,1(，)4,2(-，)21,3(-；。

高等代数第三章答案

高等代数第三章答案

第三章 线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，， 线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。

高等数学课后习题答案第三章

高等数学课后习题答案第三章

习题三1(1)解：所给函数在定义域(,)−∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x ′=−−=+−可得函数的两个驻点：121,3x x =−=,在(,1),(1,3),(3,)−∞−−+∞内，y ′分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)−∞−+∞内单调增加，在[1,3]−内单调减少.(2)解:函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x ′=−，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y ′<；在[2,)+∞内y ′>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)解:函数定义域为(,)−∞+∞，0y ′=>,故函数在(,)−∞+∞上单调增加.(4)解:函数定义域为(,)−∞+∞,22(1)(21)y x x ′=+−，则函数有驻点:11,2x x =−=,在1(,]2−∞内，0y ′<，函数单调减少；在1[,)2+∞内，0y ′>，函数单调增加.(5)解:函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x −−−−−′=−=−函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y ′>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y ′<，函数单调减少.(6)解:函数定义域为(,)−∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪−∈−∈⎪⎩Z Z 1)当π[π,π]2x n n ∈+时，12cos 2y x ′=+，则1π0cos 2[π,π23y x x n n ′≥⇔≥−⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n ′≤⇔≤−⇔∈++.2)当π[π,π]2x n n ∈−时，12cos 2y x ′=−，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n ′≥⇔≤⇔∈−−1π0cos 2[π,π]26y x x n n ′≤⇔≥⇔∈−.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,)223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,)2322k k k z ++∈.(7)解:函数定义域为(,)−∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x ′=−++−+⋅=+−−函数驻点为123111,,2218x x x =−==,在1(,]2+∞−内，0y ′>,函数单调增加，在111[,]218−上，0y ′<,函数单调减少，在11[,2]18上，0y ′>,函数单调增加，在[2,)+∞内，0y ′>,函数单调增加.故函数的单调区间为:1(,]2−∞−，111[,218−，11[,)18+∞.2.(1)证明:令()sin tan 2,f x x x x =−−则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x −++′=,当π02x <<时，()0,()f x f x ′>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x −>(2)证明:令2()=e sin 12xx f x x −+−−,则()=e cos xf x x x −′−+−,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x −−′′−−=−+<,则()f x ′为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ′′<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x −+<+3.证明:设()sin f x x x =−，则()cos 10,f x x =−≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4.(1)解:22y x ′=−,令0y ′=，得驻点1x =.又因20y ′′=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2)解:266y x x ′=−,令0y ′=，得驻点120,1x x ==,126y x ′′=−,010,0x x y y ==′′′′<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =−.(3)解:2612186(3)(1)y x x x x ′=−−=−+,令0y ′=，得驻点121,3x x =−=.1212y x ′′=−,130,0x x y y =−=′′′′<>,故极大值为(1)17y −=，极小值为(3)47y =−.(4)解:1101y x ′=−=+，令0y ′=，得驻点0x =.201,0(1)x y y x =′′′′=>+,故(0)0y =为极大值.(5)解:32444(1)y x x x x ′=−+=−，令0y ′=，得驻点1231,0,1x x x =−==.210124, 0,0,x x y x y y =±=′′′′′′=−+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6)解:1y ′=,令0y ′=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]−∞内有一不可导点21x =，当34x >时，0y ′<;当34x <时，0y ′>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =.因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)解:y ′=,令0y ′=，得驻点125x =.当125x >时，0y ′<；当125x <，0y ′>,故极大值为12()5y =.(8)解:2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x −+′=++,令0y ′=，得驻点122,0x x =−=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x −−+++++′′=++200,0x x y y =−=′′′′><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y −=.(9)解:e (cos sin )x y x x ′=−,令0y ′=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±⋯.2e sin x y x ′′=−，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++′′′′<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=.(10)解:11211ln (ln )xxxy x x x x x −′′==,令0y ′=，得驻点e x =.当e x >时，0y ′<，当e x <时，0y ′>,故极大值为1e(e)e y =.(11)解:2e e x xy −′=−,令0y ′=，得驻点ln 22x =−.ln 222e e ,0x x x y y −=−′′′′=+>,故极小值为ln 2()2y −=.(12)解:y ′=，无驻点.y 的定义域为(,)−∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y ′<，当x <1时，0y ′>，故有极大值为(1)2y =.(13)解:y ′=无驻点.y 在1x =−处不可导，但y ′恒小于0，故y 无极值.(14)解:21sec 0y x ′=+>,y 为严格单调增加函数，无极值点.5.证明：232y ax bx c ′=++，令0y ′=，得方程2320ax bx c ++=，由于22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=−=−<，那么0y ′=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6.解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x =′==+，得a =2.又π3π0((2sin 3sin 3)3x f x x =′′=<=−−，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7.（1）解：y 的定义域为(,0)−∞，322(27)0x y x +′==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈−∞−时，0y ′<，y 单调递减；当[3,0)x ∈−时，0y ′>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27.又lim ()x f x →−∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)解：10y ′==，在(5,1)−上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545−.(3).解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而y (－1)=－5，y (0)=2，y (2)=－14，y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8.解：20y ax b ′=+=得2b x a =−不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而22(0)0,b b y y a a ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.9.解：令y =,y ′===令0y ′=得x =1000.因为在(0，1000)上0y ′>，在(1000,)+∞上0y ′<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.10.证明：11,01111(),01111,11x x x a f x x ax x a x a x x a ⎧+<⎪−−+⎪⎪=+≤≤⎨+−+⎪⎪+>⎪++−⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a ′=+>−−+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a ′=−++−+;此时令()0f x ′=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，当x >a 时，()()2211()011f x x x a ′=−−<++−,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1a f f a a +==+.而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故{}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.11.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=−令0V ′=,得.h =即圆柱体的高为3r 时，其体积为最大.12.解：由题设知21π22x xy a⎛⎞+⋅=⎜⎟⎝⎠得21π18π8a x a y x x x −==−截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+−+=++′=+−令()0l x ′=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =.13.解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<′=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.14.解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a =−⋅=−+′=−+令0V ′=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a时方盒容积最大.15.(1)解：42,20y x y ′′′=−=−<，故知曲线在(,)−∞+∞内的图形是凸的.(2)解：cosh ,sinh .y x y x ′′′==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ′′>，当(,0)x ∈−∞时，0y ′′<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]−∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.(3)解：23121,0y y x x ′′′=−=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4)解：2arctan 1x y x x ′=++，2220(1)y x ′′=>+故曲线图形在(,)−∞+∞内是凹的.16.(1)；解：23103y x x ′=−+610y x ′′=−，令0y ′′=可得53x =.当53x <时，0y ′′<，故曲线在5(,)3−∞内是凸弧；当53x >时，0y ′′>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎞⎜⎟⎝⎠是曲线的唯一拐点.(2)解：(1)e , e (2)x xy x y x −−′′′=−=−令0y ′′=，得x =2当x >2时，0y ′′>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ′′<，即曲线在(,2]−∞内是凸的.因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x ′′′=++=++>故函数的图形在(,)−∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)解：222222(1), 1(1)x x y y x x −′′′==++令0y ′′=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ′′>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ′′<，即在(,1],[1,)−∞−+∞内曲线是凸的.因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).(5)；解：arctan arctan 222112e ,e1(1)x xx y y x x −′′′==++ 令0y ′′=得12x =.当12x >时，0y ′′<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ′′>，即曲线在1(,]2−∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e )2.(6)解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x ′′′=−= 令0y ′′=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ′′>，即曲线在[1,)+∞内是凹的;当0<x <1时，0y ′′<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).17.(1);证明：令()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x −−′′′==−> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠,即1()22nn n x y x y +⎛⎞<+⎜⎟⎝⎠.(2);证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x ′′′==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y∀∈≠ 则()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即2e e e2x yx y ++<.(3)证明：令f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x′′′=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.18.(1)解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xt x t +−==令22d 0d yx =，得t =1或t =－1则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx <，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==−⋅−222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=−+⋅=⋅−−令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=−，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ−<<时，22d 0d y x >，当tan θ>或tan θ<π3θ<−或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=−时，都是y的拐点，且拐点为3,2a ⎞⎟⎠及3,2a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.19.证明：22221(1)x x y x −++′=+，y ′′=令0y ′′=，得1,22x x x =−=+=−当(,1)x ∈−∞−时，0y ′′<；当(1,2x ∈−时0y ′′>；当(22x ∈−+时0y ′′<；当(2)x ∈++∞时0y ′′>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2−+.因为111212−−+因此三个拐点在一条直线上.20.解：y′=3ax 2+2bx ,y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得39,22a b =−=.21.解：令f (x )=ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22.解：224(3),12(1)y kx x y k x ′′′=−=− 令0y ′′=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±′=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ∓，法线方程为18y x k =∓.由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k =±,得22321, 321k k ==−(舍去)故8k ==±.23.答：因00()()0f x f x ′′′==，且0()0f x ′′′≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ�中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη′′′′′′′′′′=+−=−，故()f x ′′在0x 左侧与0()f x ′′′异号，在0x 右侧与0()f x ′′′同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24.(1)；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +−−′==++−′′=+令0y ′=，可得1x =±，令0y ′′=，得x =0，,当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f=，极小值1(1)2f−=−，有3个拐点，分别为,⎛⎜⎝(0，0)，，作图如上所示.(2)解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx′=−+′′=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表讨论如下：x0(0，1)1(1，∞)y′－0+y″0++y0极小又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=−=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞−=−=−故πy x=−是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=−，极大值π(1)12y−=−.(0，0)为拐点.作图如上所示.(3)；解：函数的定义域为,1x R x∈≠−.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+−+′==≠−++′′=+令y′=得x=0，x=－2当(,2]x∈−∞−时，0,()y f x′>单调增加；当[2,1)x∈−−时，0,()y f x′<单调减少；当(1,0]x∈−时，0,()y f x′<单调减少；当[0,)x∈+∞时，0,()y f x′>单调增加,故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0又211lim()lim1x xxf xx→−→−==∞+，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤−==−−⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)解：函数定义域为(－∞，+∞).22(1)(1)22(1)e e 2(241)x x y x y x x −−−−′=−−′′=⋅−+令0y ′=，得x =1.令0y ′′=，得1x =±.当(,1]x ∈−∞时，0,y ′>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y ′<函数单调减少；当(,1[1)x ∈−∞−++∞∪时，0y ′′>，曲线是凹的；当[1,122x ∈−+时，0y ′′<，曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1,e ),(1,e )22A B −−−+，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25.(1)解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x −−′=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x −−−−−−−−−+⋅+⋅−−′′==++当x >0时，()0,()g x g x ′′<在(0，+∞)内是凸的.当x <0时，()0,()g x g x ′′>在(－∞，0)内是凹的.当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A→−∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2)解：()()1e 1e cx cxA Ag x g x A −−+=+=++.(3)证明：∵()1e 1e e c x T cx cT A Ay B B −+−−==++取e1cTB −=，得ln B T c =即曲线1e cx A y B −=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c =个单位的平移.26.解：324d π,π,.3d r V r A r v t === 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27.解：d d de e .d d d a a r r a a t t ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28.解：22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅−⋅=−=⋅=⋅=29.解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅=由d d d d x y tt −=.得161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.30.解：当水深为h时，横截面为212s h ==体积为22212V sh h ′====d d 2d d V hh t t=⋅当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt −=⋅.故有d 320.5d ht =⋅，得d d h t =(m 3·min －1).31.解：设t 小时后，人与船相距s公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈(km ·h－1)32.解：d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅=当x =2时，d 6212d yt =×=(cm ·s －1).33.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则53456y y t=+化简得d 7280,40,40d yy t y t t ===(m ·min －1).即人影的长度的增长率为常值.34.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时，0,2y y ′′′==− ，故23/22.(1)y k y ′′==′+35.解：sinh ,cosh .y x y x ′′′== 当x =0时，0,1y y ′′′== ，故23/21.(1)y k y ′′==′+36.解：cos ,sin y x y x ′′′==−.当π2x =时，0,1y y ′′′==− ，故23/21.(1)y k y ′′==′+37.解：2tan ,sec y x y x ′′′== 故223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ′′===′++1sec R x k ==.38.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t t t t x x a t tt ===−−，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t −−=−=⋅==−，故423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+−且当t =t 0时，23sin 2k a t =.39.解：cos ,sin y x y x ′′′==− .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大，225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +′=+令0k ′=，得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′>，在π,π2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,11.x x x x y x y x ====′==′′=−=−故曲率中心212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧′′⎡⎤+==−⎪⎢′′⎣⎦⎪⎨′⎡⎤+⎪==−+⎢⎥⎪′′⎣⎦⎩曲率半径为R =.故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y −++=.41.解：0010,5000x x y y ==′′′==，23/2(1)5000y R y ′+==′′飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅===(牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+×=(牛顿).42.解：(1)边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ′′=+=(2)利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=−=−−′=−令()0L q ′=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3)盈亏平衡时：R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43.解：(1)利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =−+−=−+−′=−+−令()0L q ′=，得231206000q q −+=即2402000q q −+=得20q =−(舍去)2034.q =+≈此时，32(34)0.01340.63463496.56L =−×+×−×=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+−−=−++令()0L x′=,得5x=(5)121.5696.56L=>故应该提高价格，且应提高5元.44.(1)解：y′=a即为边际函数.弹性为：1Ey axa xEx ax b ax b =⋅⋅=++,增长率为：yaax b γ=+.(2)解：边际函数为：y′=ab e bx弹性为：1eebxbxEyab x bx Ex a=⋅⋅=,增长率为：eebxy bxabbaγ==.(3)解：边际函数为：y′=ax a－1.弹性为：11aaEyax x a Ex x−=⋅⋅=,增长率为：1.ay aax ax x γ−==45.解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动% EyEx⎛⎞⎜⎟⎝⎠.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46.解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。

高数第三章习题

高数第三章习题

习题3-11. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.证：()lnsin f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin xf x x x'===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1,x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩；⑵ ()1, [0,2] f x x =-；⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.4. 验证：拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得ξ=，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-,于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,xF x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈8. 证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1xx x x+=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1xf x x x =++,22222222(1)22()1(1)22011x x xf x x x x x+-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsin π.1xx x +=+ 9. 利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+.解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以(4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-， (4)(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.ff f ==-=故23456()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+ 10. 利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+ 解：⑴34sin 0()3!x x x x =-+343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1limlim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-= 11. 求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式：⑴04);y x == ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=解：⑴ 1357(4)222211315 , , ,.24816y x y x y x y x ----''''''==-==-所以113(4) , (4) ,(4)432256y y y ''''''==-=(4)7215[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-423721115(4)(4)(4)(4) (01).464512128[4(4)]x x x x x θθ----+--<<+-⑵2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+234434524(1)ln (1)ln[1(1)](1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-12. 求函数()e xf x x =的n 阶麦克劳林公式.解：21e 1e 2!(1)!!n n x x x x x x n n θ-=+++++-312()e e (01)2!(1)!!n n xxx x x f x x x x n n θθ+∴==+++++<<- 习题3-21.选择题： （1）()arctan 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则lim ()x f x →+∞是哪种类型未定式的极限？（ ） A.∞-∞ B.0∞⋅ C.∞+∞ D.∞⋅∞ （2）220001cos (1cos )sin 1limlim lim 1(1)22x x x x x x x x x →→→'--==='++，则此计算（ ）.A.正确B.错误，因为21cos lim 1x x x →∞-+不是00型未定式C.错误，因为20(1cos )lim(1)x x x →'-'+不存在D.错误，因为201cos lim 1x x x →-+是∞∞型未定式（3）0()lim(()x f x A g x →'=∞'或为）是使用洛必达法则计算未定式0()lim ()x f x g x →的（ ）. A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 （4）下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）. A.201sin limsin x x x x→ B.lim arctan 2x x x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭C.sin lim sin x x x x x →∞-+D.2sin lim x x x x →∞ （5）434334lim 22x b x bx x bx b x b →-=-+-（ ）.（其中b 为非零常数）A. 0B.∞C. 1D. 14-（6）2lim(sec tan )x x x π→-=（ ）. A.-∞ B.+∞ C.1 D.0 （7）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（ ）.A.52B.25 C.1 D.∞2. 利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3limtan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x xx π→-;⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin limx a x ax a→--; ⑸ lim mmn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+; ⑺ 0ln lim cot x xx +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→;⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )xx x+→;解：⑴ 原式=2π3cos33lim5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1limlim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.⑷ 原式=cos limcos 1x a xa →=.⑸ 原式=11limm m nn x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+.⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x→--204e e 3=lim22x x x →-=. ⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =-00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim111lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=0lim e 1x y +→==. 3. 设21lim51x x mx nx →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim51x x mx nx →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112limlim 2511x x x mx n x mm x →→+++==+=- 得3,4m n ==- 4. 设()f x 二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h→+-+-. 解：2000()2()()()()limlim21()()()()lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x h h →→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()m lim ]1[()()]2().h h f x h f x f x h f x h hf x f x f x →→''''+---+-''''=+''=习题3-31． 1. 确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---； (2) 82 (0)y x x x=+>； (3)ln(y x =； (4) 3(1)(1)y x x =-+； (5) e (0,0)n xy x n x -=>≥； (6) sin 2y x x =+； (7) 54(2)(21)y x x =-+.解：(1)所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.(2)函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4)函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5)函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n xn x x n y nxx x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6)函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈.(7)函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞. 2. 证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> (2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: (1)令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+3. (1)证明：不等式()()ln 101xx x x x<+<>+；(2)设0,1a b n >>>，证明：()()11n n n n nb a b a b na a b ---<-<-；(3)设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<； (4)设0x >，证明：112x +>4. 试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.5. 求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+； (2) 3223y x x =-；(3) 3226187y x x x =--+； (4) ln(1)y x x =-+；(5) 422y x x =-+； (6) y x =+解: (1) 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 32444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值. (6) 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.6. 设,,,a b c d 为常数，试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值.证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.7. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(cos cos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f = 习题3-41. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞；(2) () [5,1]f x x x =∈-； 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：(1)y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545.(3)函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 2.求数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大的项.解：令1000y x =+,y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.3. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.4. 已知a >0，试证：11()11f x x x a =+++-的最大值为21aa++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++. 5. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h , 则圆柱体底圆半径为224h r -，22232πππ44h V h r h h r ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭令0V '=, 得23.3h r =即圆柱体的高为23r 时，其体积为最大. 6. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-6题图截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点84πax =+，即为最小值点. 即当84πax =+时，建造材料最省. 7. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为2222222()1 1.5(3)(03)2.25(3)(3)1()1 2.25(3)L x x x x x x x x L x x x =+++-<<+---+'=++-7题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 8. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a时方盒容积最大. 习题3-51. 判定下列曲线的凹凸性：2(1)4y x x =－； (2)sin(h )y x =；1(3) (0)y x x x=+> ； (4) arctan y x x =.解：(1) 42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2)cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的. (3)23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) 2arctan 1xy x x'=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的. 2. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++； (2)e x y x -=； 4(3) (1)e x y x =++； ()2(4) ln 1y x =+； arctan (5) e x y = 4(6) (12ln 7)y x x =－.解：(1)23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =.当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2)(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2). (5)arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6)函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7)3. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭；2e e (2)e ()2x y x y x y ++>≠ ；(3) ln ln ()ln(0,0,)2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ . 证明：(1)令 ()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. (2)令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y ++<.(3)令 ()ln (0)f x x x x =>1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.4. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+ 2(2) 2cot ,2sin x a y a θθ==.解：(1)22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-==令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a aθθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>ππ33θ-<<时，22d 0d y x >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. 5. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，232(1)(22(1)x x x y x +--+''=+令0y ''=，得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈-时0y ''>；当(22x ∈+时0y ''<；当(2)x ∈+∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2-+. 因为111212-+=0 因此三个拐点在一条直线上.6. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？ 解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得 39,22a b =-=. 习题3-61. 选择题： （1）曲线241(2)x y x -=-（ ）. A.只有水平渐近线 B.只有铅直渐近线C.没有渐近线D.有水平渐近线也有铅直渐近线 （2）函数32ln3x y x+=-的水平渐近线方程为（ ）. A.2y = B.1y = C.3y =- D.0y =（3）曲线2(1)x y e +=-（ ）.A.只有水平渐近线B.只有铅直渐近线C.没有水平渐近线和铅直渐近线D.有水平渐近线也有铅直渐近线（4）曲线221(1)x y x -=-有（ ）. A.水平渐近线1y = B.水平渐近线12y = C.铅直渐近线1x = D.铅直渐近线12x =2. 求下列曲线的渐近线：（1）1xe y x =+； （2）2(1)(3)x y x x =+-； （3）ln(2)y x =+. 3. 作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+； ()(2)2arctan f x x x =－；2(3) ()1x f x x =+； 2(1)(4)e x y --=.解：(1)函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，3±, 列表讨论如下：x 0(0，1) 1 (1，3) 3(3，+∞)y′ + 0 － －－ y″ 0 －－－0 + y极大拐点函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为3,3,⎛⎫-- ⎪⎝(0，0)， 33,⎛⎫ ⎪⎝，作图如上所示.(2) 函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y ′=0，可得x =±1， 令y ″=0，可得x =0. X0 (0，1) 1 (1，∞) y′ － 0 + y″ 0 + + Y极小又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. (3)函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加； 当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少； 当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少； 当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x→-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)ee2(241)xxy xy x x----'=--''=⋅-+令0y'=，得x=1.令0y''=，得21x=±当(,1]x∈-∞时，0,y'>函数单调增加；当[1,)x∈+∞时，0,y'<函数单调减少；当22(,1[1,)22x∈-∞-++∞时，0y''>，曲线是凹的；当22[1]x∈时，0y''<，曲线是凸的,故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：112222(1),(1,e)22A B---+，又lim()0xf x→∞=，故曲线有水平渐近线y=0.图形如下：习题3-71. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅2. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率.解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅= 3. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t ty y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=4. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min -1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h 时，横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V h h t t=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt-=⋅.故有d 320.5d ht=⋅，得d d 4h t = (m 3·min －1). 6. 某人走过一桥的速度为4km ·h -1，同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t ===且()1120d 8.16d t st -==≈⋅km h7. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+ 8. 计算曲线y chx =上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/21.(1)y k y ''=='+ 9. 求曲线()ln sec y x =在点(),x y 处的曲率及曲率半径. 解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==. 10. 求曲线33cos ,sin x a t y a t ==在0t t =处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t tt t x x a t t t===--， 22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t t t--=-=⋅==-， 故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+-且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.11. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1)y ax b =+；(2)bx y ae =；(3)a y x = ，其中,,0a b R a ∈≠.解：(1) y a '=即为边际函数.弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+.(2)边际函数为: bxy abe '=， 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e e bxy bxab b a γ==.(3)边际函数为: 1a y ax -'=.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax ax xγ-== 习题三1.填空题（1）曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 21,e ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）曲线()1ln 0y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为 1y x e=+ . （3）函数()ln(1)f x x x =+的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式是 ()3232x x x ο++ . （4）曲线ln y x =在点(1,0)处的曲率为 24. 2.选择题 （1）已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（D ） A.12,2k c ==- B.12,2k c ==C.13,3k c ==-D.13,3k c ==（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ B ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( C ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)（4）曲线221x xy x +=-的渐近线条数为( C )A.0B.1C.2D.3（1）D （2）B （3）C （4）C3. 对函数()sin f x x =及()cos g x x x =+在[0,]2π上，证柯西定理的正确性.验证：()f x ，()g x 在[0,]2π上连续，在(0,)2π内可导，且()1sin 0g x x '=-≠，满足柯西定理的条件.由 π()(0)()2π()()(0)2f f f g g g ξξ-'='-,得 2cos πcot()π21sin 42ξξξ==---, 故ππ2π2arctan (0,)222ξ-=-∈满足柯西定理的结论.4. 设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=.证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<， 使得2()0; ,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b -<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n fξ=.5. 求函数1()f x x=在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解：121211(1)(1)1(1)n nnn n x x x x x x θ+++=--++-+-++ 12211()1[(1)](1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]n nn f x x x x x x x x θθ++∴==-+-++=-++++++++<<-+6. 求函数e e 2x xy -+=的2n 阶麦克劳林展开式.解：2221222122212211e e [e e ][11]222!(2)!(21)!2!(2)!(21)!1e e [222]22!(2)!(21)!12!(2)n n x n n x x x n x x n n x x x x x x y x x n n n n x x x n n x x n θθθθ++---+=+=++++++-+++-++-=+⋅++++=+++21e e (01).!2(21)!x x n x n θθθ-+-+<<+7. 设()f x 在0x 的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当x 在0x 处的增量h 很小时，用增量比近似一阶导数0()f x '的近似公式000()()()f x h f x f x h+-'≈,其绝对误差的量级为()O h ，即不超过h 的常数倍. 证明：0()f x h +在0x 处泰勒展开式为 20000()()()() (01)2f x h f x h f x f x h h θθ''+'+=++<<,则0000()()()()2f x h f x f x h f x h h θ''+-+'-=,又知 0()f x h M θ''+≤,故 0()22f x h Mh h θ''+≤,即000()()()f x h f x f x h+-'≈的绝对误差为()O h .8. 利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+ 9. 计算0.2e的近似值，使误差不超过310-.解：234e e 1 (01)2624x xx x x x θθ=++++<< 230.2(0.2)(0.2)e10.2 1.2213 1.22126≈+++=≈0.2444e 31(0.2)(0.2)(0.2)0.20.00020.00124248R θ⨯=⨯<⨯=⨯≈<10. 利用洛必达法则，求下列极限：(1) 2lim (arctan )πxx x →+∞⋅; (2) 10lim(1sin )x x x →+;(3) 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+;(4) lim )x x →+∞; (5) sin 0e e lim sin x xx x x →--; (6) 210sin lim()x x x x→; (7) 1101lim[(1)]ex x x x →+；(8) ()110ln 1lim x e x x x -→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(9) ()212lim[]ln 12x xx x x →+-+ ；(10) 011lim[1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 解：⑴令2(arctan )πxy x =⋅，则2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim1112lim arctan 1πx x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+∴原式=2πe-.⑵令1(1sin )xy x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⑶原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim=lim()01x x x x x++→→-=-⑷原式limx x→+∞=2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅⑸原式sin sin 0e (e 1)limsin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x →⋅-- ⑹令12sin ()x x y x=，则 200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1lim lim .666x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x xx x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===-∴原式=16e -.⑺令111[(1)]e x x y x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+-2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111lim .212x x x x x xx y x x x →→→→-+-+===-=-+∴原式=12e -.⑻解：原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(0201]))1ln((1[lim e e exxx x x e x xx xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-⑼⑽()0020000111111lim lim lim lim 1221x x x x x x x x x e x e x e x e x x x e →→→→-----⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭ 11. 求下列函数的极值:(1) y =(2) 223441x x y x x ++=++； (3) e cos xy x =； (4) 1xy x =； (5) 2e exxy -=+； (6) 232(1)y x =--；(7) 1332(1)y x =-+； (8) tan y x x =+. 解: (1)y '=,令0y '=，得驻点125x =. 当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =. (2)2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

【人教A版】高中数学必修5第三章课后习题解答

【人教A版】高中数学必修5第三章课后习题解答

新课程标准数学必修5第三章课后习题解答第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24<； （2>.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）52x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩（第1题）可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3（第2题）解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+= 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y--台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.（第2题）3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少. 习题3.4 A 组（P100） 1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 12a b +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048000012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=+++=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤ 当72x x=，即x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+))c =当且仅当()()a cbc x x--=，即x =tan β取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组（P103）1<2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为2Z x y =+≥ 当2x y =，即x =y =Z可以取得最小值，最小值为. 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥2c 时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）⎧⎨⎩3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥人教A 版高中数学课后习题解答答案11 5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13. 当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45. 6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

高等数学 线性代数 习题答案第三章

高等数学 线性代数 习题答案第三章

第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。

由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。

同济大学版高等数学课后习题答案第3章

同济大学版高等数学课后习题答案第3章

习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =,所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8si n 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8si n 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3, 4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0. 9. 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设a >b >0, 证明: bb a b a a b a -<<-ln .证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即b b a b a a b a -<<-ln .11. 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1). 因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解 设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x ee xf e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f(n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).证明 根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间),所以!)()()(n f xx f n n n ξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xe e xx x sin lim 0-→-;(3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)xx x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n m m a x ax ax --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)x arc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x ex →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x .(3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177s e c 22s e c l i m 277t a n 2t a n l i m 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )s i n (c o s 23)3s i n (3c o s 2lim 312x x x x x -⋅-=→πxx x c o s 3c o s l i m2π→-= 3s i n3s i n 3l i m2=---=→x x x π. (9)22221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x .(10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1s i n lim )sin (cos 22lim00==--=→→x x x x x x x . (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x .(12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1limlim 21012022tt t t x x x x e t e x e ex (注: 当x →0时, +∞→=21xt . (13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以 a x ax x x x e e xa ==++∞→∞→)1l n (l i m )1(l i m. .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 x x x x x x x x x x c o tc s c 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→c o s s i n l i m 20=-=+→xx x x ,所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=, 而 xx x x x x x x x 2000c s c 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0s i n l i m 20=-=+→xx x ,所以 1l i m )1(l i m 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限x x x x sin lim +∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sin lim20→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0 0])1([)(2111x e x ex x f x x 在点x =0处的连续性. 解 21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而 200)1l n (l i m]1)1l n (1[1l i m x xx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x ,所以]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续. 习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+= =1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以 4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ 4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ ,nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1),所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+= ])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解 因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f;!)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x 1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1).6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a n x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n n n xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132xx x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=,所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i nx x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim222x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→ 010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→ex x x o x xx .(3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解 因为011111)(22≤+-=-+='xx x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞,+∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解 因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得x (-∞, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) y ' + 0 - 0 + y↗↘↗可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得x (-∞, 0) 0 (0, 21) 21 (21, 1) 1 (1, +∞)y ' - 不存在 - 0 + 0 - y↘↘↗↘可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加.(5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时,y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得x )2 ,(a -∞2a )32 ,2(a a 32a ) ,32(a aa (a , +∞) y ' + 不存在 + 0 - 不存在 + y↗↗↘↗可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得x )3 ,0(π3π )2,3(ππ 2π)65 ,2(ππ 65π ) ,65(ππ y ' + 0 - 不存在+ 0 - y↗↘↗↘根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x xx f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=.因为在)2,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即 sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='.因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, x ax a x x f -=-='11)(, 驻点为ax 1=.因为当a x 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当ax 1>时, f '(x )<0,所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上,f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ; (3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21xy -=', 32x y =''.因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的.(4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''. 因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(. (2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得 可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x -+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1); (2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞) y '' - 0 + 0 - y⋂ln2 拐点⋃ln2 拐点⋂即 nn n y x y x )2()(21+>+. (2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, 即)(22y x e e e yx y x ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+, 即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y , 323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得 x (-∞. -1) -1 )32 ,1(-- 32- )32 ,32(+-32+ ) ,32(∞++y ' - 0 + 0- 0+ y⋂-1⋃)32(431--⋂)32(431++ ⋃可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0, 试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解 不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1; (5)25431xx y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e x cos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表x (-∞, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) y ' + 0 - 0 + y↗17极大值↘-47极小值↗可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表x (-∞, -2) -2(-2, 0) 0 (0, +∞) y ' - 0+ 0 - y↘38极小值 ↗4极大值↘可见函数在x =-2处取得极小值38, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值.因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='.令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到 y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x . 要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 . 当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f . 4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29. 6. 问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值？ 解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为 31082x y -='', 0271082)3(>+=-''y , 所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x x y (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在 (0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21. 8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4.。

高等数学第3版答案

高等数学第3版答案

高等数学第3版答案【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解】t>习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值?。

（1）f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；（2）f(x)?x?x,[0,3]。

知识点：罗尔中值定理。

2解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1, 1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0，∴（2）∵∴1?(?1,1.5)即为所求。

4f(x)?x?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件。

令y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。

f(1)?f(0)1?032知识点：拉格朗日中值定理。

可验证定理的正确性。

1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解：∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。

又区间[0,f?(?)?32f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1，∴要使f(1)?f(0)5?0，只要：??(0,1)，1?012∴???1?012★3.已知函数。

解：要使的?。

f(2)?f(1)32?1★★4.试证明对函数总是位于区间的正中间。

证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从而有f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)b?ab?ab?a，结论成立。

2★5.函数f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满知识点：柯西中值定理。

思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程便为所求。

解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。

高等数学(同济第五版)课后答案 第三章

高等数学(同济第五版)课后答案 第三章

a − b < ln a < a − b . a b b
证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b, a ), 使 f(a)−f(b)=f ′(ξ)(a−b), 即 ln a − ln b = 1 (a − b) . ξ 因为b<ξ<a, 所以
ϕ(b)−ϕ(a)=ϕ′(ξ)(b−a),
即 因此 f (a) f (b) f (a) f (a) [ f (a)]′ f (ξ ) f (a) f ′(ξ ) ⎤ . − = (b − a)⎡ + ⎢ g (a) g (b) g (a) g (a) [ ⎣ g (a)]′ g (ξ ) g (a) g ′(ξ ) ⎥ ⎦ f (a) f (b) f (a) f ′(ξ ) = (b − a) . g (a) g (b) g (a) g ′(ξ ) f ( x) , 则在(−∞, +∞)内有 ex
5. 不用求出函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的导数，说明方程 f ′(x)=0 有几个实根, 并指 出它们所在的区间. 解 由于 f(x) 在 [1, 2] 上连续 , 在 (1, 2) 内可导 , 且 f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知 , 存在 ξ1∈(1, 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f ′(ξ2)=0; 存在ξ 3∈(3, 4), 使f ′(ξ 3)=0. 显然ξ1、ξ2、 ξ 3都是方程f ′(x)=0 的根. 注意到方程f ′(x)=0 是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它 的三个实根, 故它们也就是方程f ′(x)=0 的全部根. 6. 证明恒等式: arcsin x + arccos x = π (−1≤x≤1). 2 证明 设 f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 f ′(x) = 1 − 1 ≡0 , 1− x 2 1− x 2

高等数学练习册及答案

高等数学练习册及答案

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。

3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。

练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。

答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。

切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

高等数学课后题答案(西工大版)第3章

高等数学课后题答案(西工大版)第3章

2 1− x ex + sin x
=
1 2
.
(2)
lim
ln(1 + x2 )
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎝0⎠
====
lim
2x 1+ x2
x→0 sec x − cos x
x→0 tan x sec x + sin x
=
lim
x→0
sin
x
⋅
1
2 +x
2
x(sec2 x
+
1)
2
= lim 1 + x 2 = 1
⎝π
⎠
⎝π
⎠
ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞
lim ln y = lim x ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞ = lim
x →+∞
x→+∞ ⎝ π
⎠ x→+∞
⎝π x −1
⎠
1 21
⎜⎛ 0 ⎟⎞
=⎝=0=⎠ = lim x →+∞
2 arctan x π 1 + x2 π
− x−2
=
−
lim
令
f
(x)
=
ex x
,
g(x)
=
1 x
,易验证
f
(x)
和
g(x)
在 [x1,
x2 ] 上满足柯西中值定理的条件,于
是存在 ξ ∈ (x1, x2 ) ,使得
f (x2 ) − f (x1 ) = f '(ξ ) , g(x2 ) − g(x1 ) g'(ξ )
e x2 − e x1
xex− ex
x2 x1 = x2

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案

高等数学第六版(上册)第三章课后习题答案

高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析习题3-11.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续,在)65 ,6(ππ内可导,且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知,至少存在一点)65 ,6(ππξ∈,使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=,使y '(ξ)=cot ξ=0.2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点ξ∈(0, 1),使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ,使01)0()1()(--='y y y ξ.3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续,在)2,0(π可导,且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ,即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8s i n 2-+-=πx .易证114)2(802<-+-<π,所以14)2(8s i n 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解,即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξππF f F F f f '=--. 4.试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a ,b ),使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ),即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5.不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根,并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续,在(1, 2)内可导,且f (1)=f (2)=0,所以由罗尔定理可知,存在ξ1∈(1, 2),使f '(ξ1)=0.同理存在ξ2∈(2, 3),使f '(ξ2)=0;存在ξ3∈(3, 4),使f '(ξ3)=0.显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根.注意到方程f '(x )=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6.证明恒等式:2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x .因为01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C ,其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f ,即2arccos arcsin π=+x x .7.若方程a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x =0有一个正根x 0,证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x ,由于F (x )在[0,x 0]上连续,在(0,x 0)内可导,且F (0)=F (x 0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,x 0),使F '(ξ)=0,即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 +⋅⋅⋅+a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8.若函数f (x )在(a ,b )内具有二阶导数,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中a <x 1<x 2<x 3<b ,证明:在(x 1,x 3)内至少有一点ξ,使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1,x 2]上连续,在(x 1,x 2)内可导,且f (x 1)=f (x 2),根据罗尔定理,至少存在一点ξ1∈(x 1,x 2),使f '(ξ1)=0.同理存在一点ξ2∈(x 2,x 3),使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(x 1,x 3),使f ''(ξ )=0. 9.设a >b >0,n >1,证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n ,则f (x )在[b ,a ]上连续,在(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即a n -b n =n ξn -1(a -b ). 因为nb n -1(a -b )<n ξn -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10.设a >b >0,证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明设f (x )=ln x ,则f (x )在区间[b ,a ]上连续,在区间(b ,a )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(b ,a ),使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ),即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a ,所以)(1ln ln )(1b a bb a b a a -<-<-,即b b a b a a b a -<<-ln .11.证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时,e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x ,则f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ),即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ,即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x ,则f (x )在区间[1,x ]上连续,在区间(1,x )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x ),使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1),即e x -e =e ξ(x -1). 因为ξ>1,所以e x -e =e ξ(x -1)>e (x -1),即e x >e ⋅x .12.证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x -1,则f (x )是[0,+∞)内的连续函数.因为f (0)=-1,f (1)=1,f (0)f (1)<0,所以函数在(0, 1)内至少有一个零点,即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根,则由罗尔定理,f '(x )存在零点,但f '(x )=5x 4+1≠0,矛盾.这说明方程只能有一个正根.13.设f (x )、g (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,证明在(a ,b )内有一点ξ,使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ,则ϕ(x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a ,b ),使ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14.证明:若函数.f (x )在(-∞,+∞)内满足关系式 f '(x )=f (x ),且f (0)=1则f (x )=e x .证明令xe xf x )()(=ϕ,则在(-∞,+∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞,+∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1,从而f (x )=e x .15.设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数,且f (0)=f '(0)=⋅⋅⋅=f(n -1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).证明根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间), 依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f xx f n n n ξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θx (0<θ<1),所以!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1).习题3-21.用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xee x x x sin lim 0-→-;(3)ax a x a x --→sin sin lim ;(4)x x x 5tan 3sin lim π→;(5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(6)n n m m a x ax ax --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xx x 3tan tan lim 2π→;(9)x arc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)2120lim x x ex →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x . (8)x x x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅= )sin (cos 23)3sin (3cos 2lim312x x x x x -⋅-=→πxx x cos 3cos lim π→-=3sin 3sin 3lim 2=---=→xx x π. (9)2221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x .(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e xe e x(注:当x →0时,+∞→=21x t .(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以a ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而xx x x x x x x x x cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→0cos sin lim 20=-=+→xx x x , 所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=,而xx x x x x x x x 2000csc 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0sin lim 20=-=+→xx x , 所以1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2.验证极限xx x x sin lim +∞→存在,但不能用洛必达法则得出.解1)sin 1(lim sin lim =+=+∞→∞→xx x x x x x ,极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在,不能用洛必达法则. 3.验证极限x x x x sin 1sin lim20→存在,但不能用洛必达法则得出. 解0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x ,极限x x x x sin 1sin lim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在,不能用洛必达法则. 4.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x 在点x =0处的连续性.解21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 21210f e e x f x x ===---→-→,因为]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f ,而200)1ln(lim ]1)1ln(1[1lim xxx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim 00-=+-=-+=+→+→x x x x x , 所以]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x x x x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续.习题3-31.按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4.因为f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.2.应用麦克劳林公式,按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1,f '(0)=-9,f ''(0)=60,f '''(0)=-270, f (4)(0)=720,f (5)(0)=-1080,f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3.求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f ,4121)4(421=='=-x x f ,32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f ,27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ 4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1).4.求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1,f ''(x )=(-1)x -2,f '''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2,⋅⋅⋅,n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5.求函数xx f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x -1,f '(x )=(-1)x -2,f ''(x )=(-1)(-2)x -3,⋅⋅⋅,1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n n n x n f x n f ξ12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6.求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0,f '(0)=1,f ''(0)=0,f '''(0)=2,所以4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7.求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅⋅⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 所以)(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+= )()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8.验证当210≤≤x 时,按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求e 的近似值,使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x +++≈右端为e x的三阶麦克劳林公式,其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x+++≈计算e x 的误差01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =,则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间). 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10.利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x xx -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-,所以23])(23[lim )](211[)](1[lim )23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x .(2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→ 010)1ln(1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2x x o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x . 习题3-41.判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='xx x f ,且仅当x =0时等号成立,所以f (x )在(-∞,+∞)内单调减少.2.判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3.确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3; (6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0,x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0,令y '=0得驻点x 1=-1,x 2=3. 列表得可见函数在(-∞,-1]和[3,+∞)内单调增加,在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2,x 2=-2(舍去).因为当x >2时,y >0;当0<x <2时,y '<0,所以函数在(0, 2]内单调减少,在[2,+∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=',令y '=0得驻点211=x ,x 2=1,不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0),]21 ,0(, [1,+∞)内单调减少,在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y ,所以函数在(-∞,+∞)内单调增加.(5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x .因为当21<x 时,y '<0;当21>x 时,y '>0,所以函数在]21 ,(-∞内单调减少,在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=',驻点为321a x =,不可导点为22a x =,x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞,]32 ,2(a a , (a ,+∞)内单调增加,在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ),驻点为x =n .因为当0<x <n 时,y '>0;当x >n 时,y '<0,所以函数在[0,n ]上单调增加,在[n ,+∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 2 2sin 2 2sin (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2cos 212 2cos 21(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).y '是以π为周期的函数,在[0,π]内令y '=0,得驻点21π=x ,652π=x ,不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0,π]上的单调性及y '在(-∞,+∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加,在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).4.证明下列不等式: (1)当x >0时,x x +>+1211;(2)当x >0时,221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时,331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx ,所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01211>+-+x x , 也就是x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=,则f (x )在[0,+∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f , 所以f (x )在(0,+∞)内是单调增加的,从而当x >0时f (x )>f (0)=0,即01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是221)1ln(1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x ,则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0,-cos x <0,所以f '(x )>0,从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=,则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='.因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0,所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加,因此当20π<<x 时,f (x )>f (0)=0,即031tan 3>--x x x ,也就是231tan x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x ,则f (x )在[4,+∞)内连续,因为0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时,f '(x )>0,即f (x )内单调增加.因此当x >4时,f (x )>f (4)=0,即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.5.讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解设f (x )=ln x -ax .则f (x )在(0,+∞)内连续,xax a x x f -=-='11)(,驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时,f '(x )>0,所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加;当a x 1>时,f '(x )<0,所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少.又因为当x →0及x →+∞时,f (x )→-∞,所以如果011ln )1(>-=a a f ,即e a 1<,则方程有且仅有两个实根;如果011ln )1(<-=aa f ,即e a 1>,则方程没有实根.如果011ln )1(=-=a a f ,即e a 1=,则方程仅有一个实根.6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上,f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞,+∞)内是单调增加的.f ''(x )=-sin x 在(-∞,+∞)内不保持确定的符号,故f '(x )在(-∞,+∞)内不是单调的.7.判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2; (2) y =sh x ; (3)x y 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x ,y ''=-2,因为y ''<0,所以曲线在(-∞,+∞)内是凸的. (2)y '=ch x ,y ''=sh x .令y ''=0,得x =0.因为当x <0时,y ''=sh x <0;当x >0时,y ''=sh x >0,所以曲线在(-∞, 0]内是凸的,在[0,+∞)内是凹的.(3)1xy -=',32x y =''. 因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在(0,+∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =x arctg x 在(-∞,+∞)内是凹的.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ; (4) y =ln(x 2+1); (5) y =earctan x;(6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3,y ''=6x -10.令y ''=0,得35=x .因为当35<x 时,y ''<0;当35>x 时,y ''>0,所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的,在) ,35[∞+内是凹的,拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x ,y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2).令y ''=0,得x =2.因为当x <2时,y ''<0;当x >2时,y ''>0,所以曲线在(-∞, 2]内是凸的,在[2,+∞)内是凹的,拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x ,y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞,+∞)内,y ''>0,所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞,+∞)内是凹的,无拐点.(4)122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y .令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞,-1]和[1,+∞)内是凸的,在[-1, 1]内是凹的,拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11xe y x +⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''.令y ''=0得,21=x .因为当21<x 时,y ''>0;当21>x 时,y ''<0,所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的,拐点是),21(21arctan e. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3,y ''=144x 2⋅ln x .令y ''=0,得x =1.因为当0<x <1时,y ''<0;当x >1时,y ''>0,所以曲线在(0, 1]内是凸的,在[1,+∞)内是凹的,拐点为(1,-7).9.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0,y >0,x ≠y ,n >1); (2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0,y >0,x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n ,则f '(t )=nt n -1,f ''(t )=n (n -1)t n -2.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以曲线f (t )=t n在区间(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即nn n y x y x )2()(21+>+. (2)设f (t )=e t ,则f '(t )=e t ,f ''(t )=e t .因为f ''(t )>0,所以曲线f (t )=e t 在(-∞,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x ,y ∈(-∞,+∞),x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即)(22y x e e e yx y x ≠>++.(3)设f (t )=t ln t ,则f '(t )=ln t +1,tt f 1)(=''.因为当t >0时,f ''(t )>0,所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0,+∞)内是凹的.由定义,对任意的x >0,y >0,x ≠y 有 )2()]()([21y x f y f x f +>+, 即2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.10.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0,得x 1=-1,322-=x ,323+=x . 例表得可见拐点为(-1,-1),))32(431 ,32(---,))32(431 ,32(+++.因为41)1(32)1()32(431=-------,41)1(32)1()32(431=--+--++, 所以这三个拐点在一条直线上.11.问a 、b 为何值时,点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解y '=3ax 2+2bx ,y ''=6ax +2b .要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点,必须y (1)=3且y ''(1)=0,即a +b =3且6a +2b =0,解此方程组得23-=a ,29=b .12.试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d ,使得x =-2处曲线有水平切线, (1,-10)为拐点,且点(-2, 44)在曲线上. 解y '=3ax 2+2bx +c ,y ''=6ax +2b .依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a . 解之得a =1,b =-3,c =-24,d =16.13.试决定y =k (x 2-3)2中k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx ,y ''=12k (x -1)(x +1).令y ''=0,得x 1=-1,x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的,又当x =-1时y =4k ,所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .同理,因为在x 1=1的两侧y ''是异号的,又当x =1时y =4k ,所以点(1, 4k )也是拐点. 因为y '(1)=-8k ,所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y .要使法线过原点,则(0, 0)应满足法线方程,即kk 814-=-,82±=k .因此当82±=k 时,该曲线的拐点处的法线通过原点.14.设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数,如果f ''(x 0)=0,而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0,f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f '''(x 0)>0.由f '''(x )的连续性,存在x 0的某一邻域(x 0-δ,x 0+δ),在此邻域内有f '''(x )>0.由拉格朗日中值定理,有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时,f ''(x )<0;当x 0<x <x 0+δ时,f ''(x )>0,所以(x 0,f (x 0))是拐点.习题3-51.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ;(3) y =-x 4+2x 2; (4)x x y -+=1; (5)25431xx y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞,+∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1),驻点为x 1=-1,x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17,在=3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1,+∞),xxx y +=+-='1111,驻点为x =0.因为当-1<x <0时,y '<0;当x >0时,y '>0,所以函数在x =0处取得极小值,极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞,+∞), y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1),y ''=-12x 2+4,令y '=0,得x 1=0,x 2=-1,x 3=1.因为y ''(0)=4>0,y ''(-1)=-8<0,y ''(1)=-8<0,所以y (0)=0是函数的极小值,y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0,得驻点43=x .因为当43<x 时,y '>0;当143<<x 时,y '<0,所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞,+∞),32)54()512(5x x y +--=',驻点为512=x . 因为当512<x 时,y '>0;当512>x 时,y '<0,所以函数在512=x 处取得极大值,极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞,+∞),22)1()2(+++-='x x x x y ,驻点为x 1=0,x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值38,在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞,+∞).y '=e x (cos x -sin x ),y ''=-e x sin x .令y '=0,得驻点ππk x 24+=,ππ)1(24++=k x , (k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y ,所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk ,所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0,+∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='.令y '=0,得驻点x =e .因为当x <e 时,y '>0;当x >e 时,y '<0,所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞,+∞),3/2)1(132+-='x y ,因为y '<0,所以函数在(-∞,+∞)是单调减少的,无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0,所以函数f (x )无极值.2.试证明:如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2-3ac <0,那么这函数没有极值.证明y '=3ax 2+2bx +c .由b 2-3ac <0,知a ≠0.于是配方得到 y '=3ax 2+2bx +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0,所以当a >0时,y '>0;当a <0时,y '<0.因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数,没有极值.3.试问a 为何值时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解f '(x )=a cos x +cos 3x ,f ''(x )=-a sin x -3 sin x . 要使函数f (x )在3π=x 处取得极值,必有0)3(='πf ,即0121=-⋅a ,a =2 . 当a =2时,0232)3(<⋅-=''πf .因此,当a =2时,函数f (x )在3π=x 处取得极值,而且取得极大值,极大值为3)23(=f . 4.求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2,-1≤x ≤4;(2) y =x 4-8x 2+2 -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1,-5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1),令y '=0,得x 1=0,x 2=1.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=0,y (1)=-1,y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5,最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4),令y '=0,得x 1=0,x 2=-2(舍去),x 3=2.计算函数值得 y (-1)=-5,y (0)=2,y (2)=-14,y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14,最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211,令y '=0,得43=x .计算函数值得65)5(+-=-y ,45)43(=y ,y (1)=经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y ,最大值为45)43(=y .5.问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1),函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29,f (3)=-61,f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=-29. 6.问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值？ 解2542x x y +=',在(-∞, 0)的驻点为x =-3.因为31082xy -='',0271082)3(>+=-''y , 所以函数在x =-3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x =-3处取得最小值,最小值为27)3(=-y .7.问函数12+=x x y (x ≥0)在何处取得最大值？解222)1(1+-='x x y .函数在(0,+∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时,y '>0;当x >1时y '<0,所以函数在x =1处取得极大值.又因为函数在(0,+∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=21. 8.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm 长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x 长为y ,则2x +y =20,y =20-2x ,于是面积为 S =xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ),S ''=-4. 令S '=0,得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0,所以x =10为极大值点,从而也是最大值点. 当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9.要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V = r 2h ,得h =V -1r -2.于是油罐表面积为 S =2 r 2+2 rh rVr 222+=π(0<x <+∞), 224r V r S -='π.令S '=0,得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π,所以S 在驻点32πVr =处取得极小值,也就是最小值.这时相应的高为r r Vh 2 20==π.底直径与高的比为2r :h =1 : 1.10.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图),截面的面积为5m 2,问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h ,截面的周长S ,则5)2(212=⋅+πx xh ,x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0,得唯一驻点π+=440x . 因为0203>=''xS ,所以π+=440x 为极小值点,同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 11.设有重量为5kg 的物体,置于水平面上,受力F 的作用而开始移动(如图).设摩擦系数 =0.25,问力F 与水平线的交角 为多少时,才可使力F 的大小为最小？ 解由F cos α=(m -F sin α)μ得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F ,驻点为α= arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得,而F 在)2,0(π内只有一个驻点α= arctan μ, 所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点.从而当α=arctan0.25=14︒时,力F 最小. 12.有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m ,求最省力的杆长? 解设杆长为x (m),加于杠杆一端的力为F ,则有 1.049521⋅+⋅=x x xF ,即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4.由问题的实际意义知,F 的最小值一定在(0,+∞)内取得,而F 在(0,+∞)内只有一个驻点x =1.4,所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m .。

高中数学必修3章节训练-第3章3.1.3同步训练及解析

高中数学必修3章节训练-第3章3.1.3同步训练及解析

人教A 高中数学必修3同步训练1．抽查10件产品，设事件A ：至少有2件次品，则A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至多有1件正品解析：选B.至少有2件次品包含2、3、4、5、6、7、8、9或10件次品，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．2．为办好下一届省运会，济宁市加强了对本市空气质量的监测与治理．下表是2010年12月本市空气质量状况表. 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 110 16 13 730 215 130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染．则该市的空气质量在本月达到良或优的概率约为( ) A.35 B.1180C.25D.59解析：选A.P ＝110＋16＋13＝35. 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品任意抽查一件抽得正品的概率约为( )A ．0.04B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D.1－0.03－0.01＝0.96.4．某校为庆祝2011元旦，欲举行一次知识猜谜活动，设有一等奖、二等奖与纪念奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，中纪念奖的概率为0.4，则不中奖的概率为________．解析：1－0.1－0.25－0.4＝0.25.答案：0.251．如果事件A 、B 互斥，记A 、B 分别为事件A 、B 的对立事件，那么( )A ．A ∪B 是必然事件B.A ∪B 是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥解析：选B.用集合的Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰有1个白球；恰有2个白球D ．至少有1个白球；都是红球解析：选C.结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C 中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2个白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况．3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，由甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：选D.甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C.由题意可知B 表示“大于等于5的点数出现”，事件A 与事件B 互斥．由概率的计算公式可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23. 5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述各对事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③解析：选C.两数可能“全为偶数”、“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知③正确．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3解析：选C.抽到等外品的概率为P (D )，P (D )＝1－P (A )－P (B )－P (C )＝1－0.65－0.2－0.1＝0.05，∴不是一等品的概率P ＝0.2＋0.1＋0.05＝0.35.7．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________．解析：1－14－13＝512. 答案：5128．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A 、B 为对立事件，∴P (B )＝1－P (A )＝15.答案：159．一盒子中有10个相同的球，分别标有号码1,2,3，…，10，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是________．解析：取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件，且概率均为110，故有110＋110＋110＋110＋110＝12. 答案：1210．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A ＝{出现1点}，B ＝{出现3点或5点}，C ＝{出现的点数为奇数}，D ＝{出现的点数为偶数}，E ＝{出现的点数为3的倍数}．试说明以上6个事件的关系，并求两两运算的结果．解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种：1点，2点，3点，4点，5点，6点．它们构成6个事件，A i ＝{出现点数为i }(其中i ＝1,2，…，6)．则A ＝A 1，B ＝A 3∪A 5，C ＝A 1∪A 3∪A 5，D ＝A 2∪A 4∪A 6，E ＝A 3∪A 6.则(1)事件A 与B 是互斥但不对立事件，事件A 包含于C ，事件A 与D 是互斥但不对立事件，事件A 与E 是互斥但不对立事件，事件B 包含于C ，事件B 与D 是互斥但不对立事件；事件B 与E 既不互斥也不对立，C 与D 是对立事件，C 与E 、D 与E 既不是互斥事件，也不是对立事件．(2)A ∩B ＝∅，A ∪B ＝C ＝{出现点数为1,3或者5}；A ∩C ＝A 1，A ∪C ＝C ＝{出现点数为1,3或者5}；A ∩D ＝∅，A ∪D ＝{出现点数为1,2,4或者6}；A ∩E ＝∅，A ∪E ＝{出现点数为1,3或者6}；B ∩C ＝B ，B ∪C ＝C ＝{出现点数为1,3或者5}；B ∩D ＝∅，B ∪D ＝{出现点数为2,3,4,5或者6}；B ∩E ＝A 3，B ∪E ＝{出现点数为3,5或者6}；C ∩D ＝∅，C ∪D ＝S (S 表示必然事件)；C ∩E ＝{出现点数为3}，C ∪E ＝C ＝{出现点数为1,3,5或者6}；D ∩E ＝A 6，D ∪E ＝{出现点数为2,3,4或者6}．11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A 、B 、C 、D ，则A 、B 、C 、D 彼此互斥，故有P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512， P (B ∪C ∪D )＝1－P (A )＝1－13＝23. 解得P (B )＝14；P (C )＝16；P (D )＝14. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14、16、14. 12(1)求至多2人排队的概率；(2)求至少2人排队的概率．解：(1)至多2人排队的概率为P 1＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.(2)至少2人排队的概率为P2＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1.在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是( C ). A.21()f x x=B.()||f x x =C.2()1f x x =-D. 2()21f x x x =--. 2. 函数x x f arctan )(=在]1,0[上满足拉格郎日中值定理的ξ值是( A).B.41π- D. 3.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有 2 个零点，这些零点所在的范围是 （1，2）， （2，3） .4.函数()ln 2xf x x e=-+在(0,)+∞内的零点的个数为 2 .解：00lim ()lim ln 20x x x f x x e ++→→⎛⎫=-+=-∞< ⎪⎝⎭；又21121()10,(1)0()20e f f f e e e e -=->=>=>，2()220f e e =-+>，32()50f e e =-<；11()0,f x x e'=-=，x e =，,()0;,()0x e f x x e f x ''<>><.所以，函数()ln 2xf x x e=-+在(0,)+∞内有2个的零点.5.曲线x y xe -=的拐点()22,2e -，凹区间()2,+∞，凸区间(),2-∞.解：()(),1,2x x x y xe y x e y x e ---'''==-=-，6.函数(ln y x =的单调 递增 区间(),-∞+∞.7.曲线()1xe f x x =+的渐近线为x=-1,y=0 .8.（1）1x →（2）011lim()1x x x e →--（3）220(1cos )limtan x x x →-（4）20arctan lim ln(12)x x x x x →-+； （5）21/30(1)1lim cos 1x x x →+--； （6）01lim(csc )x x x→-； （7）3112lim (sin sin )2x x x x →∞-；（8）22lim (tan )x x x ππ--→；（9）lim ln xx e x →+∞.解：（1）1141lim21x x x x x →→→-===- （2）()200000111111lim()lim lim lim lim 12221x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→------=====--（3）2222220001()(1cos )2lim lim lim 0tan 4x x x x x x x x →→→-=== （4）222232200001111arctan arctan 11lim lim lim lim ln(12)266x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-----++===+20111lim 66x x →+=-=-；（5）221/30021(1)123lim lim 1cos 132x x xx x x →→+-==---； （6）000111sin lim(csc )lim()limsin sin x x x x xx x x xx x →→→--=-= 2000sin 1cos sin lim lim lim 022x x x x x x x x x →→→--====； 改为：00111lim(sec )lim()cos x x x x x x →→-=-00cos 1sin lim lim 1cos cos sin x x x x xx x x x x→→--===+（7）3332112111111lim (sin sin )lim sin (1cos )lim 222x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞-=-=⋅=；（8）()2lim 2ln(tan )22lim (tan )x x x x x x eππππ-→---→=()()2222222sec ln(tan )tan lim 2ln(tan )lim lim 12x x x x xx x x x x ππππππ-----→→→-==- ()()()2222222sec 242limlim lim 02tan sin 22cos 2x x x x x x x x x x ππππππ---→→→---=-=-=-=122ln(tan )lim202lim (tan )1x x x x x x ee ππππ--→--→===（9）limlim lim 1ln x xx x x x e e xe x x→+∞→+∞→+∞===+∞ 9.证明()222arctan arcsin11xx x xπ+=≥+. 证明： 设()222arctan arcsin 1xf x x x =++， ()()()22222222221222421011111x x x f x xx x xx -+-'=+=+⋅=++-++， ()f x C =，令1x =，则()122f C πππ=+==，所以222arctan arcsin 1xx xπ+=+. 10.证明方程510x x ++=在区间)0,1(-内有且只有一个实根. 证明()51f x x x =++在[]1,0-内连续，()()010,110f f =>-=-<， 由零点定理，得至少存在一点()1,0,ξ∈-使()0f ξ=； 但()4510f x x '=+>，()51f x x x =++单调递增， 函数与x 轴只有一个交点.所以方程510x x ++=在区间)0,1(-内有且只有一个实根. 11. 证明多项式()33f x x x a =-+在[]0,1上不可能有两个零点.证明：设()33f x x x a =-+在[]0,1上有两个零点12,x x ，即()()120f x f x ==. 不妨设12x x <，由罗尔罗定理得至少存在一点()12,,x x ξ∈使()0f ξ'=，()12,x x ξ∈；即()2330f ξξ'=-=，1ξ=±这与()[]12,0,1x x ξ∈⊂矛盾.所以()33f x x x a =-+在[]0,1上不可能有两个零点. 12.证明：当02x π<<时，2sin x x xπ>>证明：设()sin f x x x =-，则()1cos 0,0,2f x x x π⎛⎫'=->∈ ⎪⎝⎭.所以，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.因此，当02x π<<时，有()(0)0f x f >=，即sin x x >.()()()22sin ,cos ,sin 0h x x x h x x h x x ππ'''=-=-=-<，()h x 为凸函数，又()002h h π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0h x >，即2sin x x π>.解二：(只写后一半) 设sin 2()x g x x π=-，则2cos sin (),0,2x x x g x x x π-⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭考虑()cos sin u x x x x =-，由于()cos sin cos sin 0,0,2u x x x x x x x x π⎛⎫'=--=-<∈ ⎪⎝⎭，所以，()u x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的.因此，当02x π<<时，有()(0)0u x u <=.由此得()0,0,2g x x π⎛⎫'<∈ ⎪⎝⎭，故()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是单调递减的.从而，当02x π<<时，()02g x g π⎛⎫>=⎪⎝⎭，即sin 20x x π->⇒2sin x x π>. 综上，当02x π<<时，2sin x x x π>>.13.证明：当0x >时，2arctan 1xx x x<<+. 证明：设()arctan f t t =，则()f t 在[0,]x 内连续可导， 根据拉氏定理，至少存在一点(0,)x ξ∈，使得2arctan arctan 0'()(0)1xx f x ξξ-=-=+； 又2221110x x xx x ξ<<=+++，2arctan 1x x x x ∴<<+. 14. 设()32f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，试确定系数,a b ， 使()y f x =的所有极值点与拐点.解：由()32f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，得()232f x x ax b '=++()()112,1320f a b f a b '=++=-=++=，所以0,3a b ==-， ()33f x x x =-，()233f x x '=-，()2330f x x '=-=得1x =±， ()60,0f x x x ''===，()()0,0,0,0,x f x x f x ''''>><<拐点()0,0. ()()160,160,f f ''''=>-=-<()y f x =的所有极值点为：()()1,2,1,2--15.求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解一：设内接于椭圆12222=+by a x 的矩形各边长分别为()2,20,0x y x a y b <<<<，矩形的面积为4S xy =，则22216S x y =，又()22222,b a x y a-=所以()()222222224221616b b S a x x a x x a a =-=-，()()222321624b S a x x a'=-，令()20S '=，x =，根据实际问题，最值一定存在，所以驻点唯一，即为面积最大值点.当x =，y =时，2222222216422b a a S a a b a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭面积2S ab =为最大.解二：设内接于椭圆12222=+by a x 的矩形各边长分别为()2,20,0x y x a y b <<<<，矩形的面积为4S xy =，则22216S x y =，又()22222,b a x y a-=所以()22222222164b S a x x a b a =-≤，由()222a x x -=得x =当x =，y =时，2222222216422b a a S a a b a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，面积2S ab =为最大.解三：设内接于椭圆12222=+by a x 的矩形各边长分别为()2,20,0x y x a y b <<<<，矩形的面积为4S xy =.由12222=+b y a x ，得22222x y x y ab a b，即22222x y xy ab ab a b所以222222x y Sab ab a b ，当x ya b时，面积2S ab =为最大. 此时x =，y =.16.由直线8,0==x y 及抛物线2x y =围成一个曲边三角形, 在曲边2x y =上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线0=y 及8=x 所围成的三角形面积最大. 解： 由2x y =得2y x '=，过2x y =上任一点(),x y 的切线方程为()2Y y x X x -=- ()08x <<，且2y x =，切线与x 轴的交点为,02x ⎛⎫⎪⎝⎭，与8=x 交点为()28,16x x -，切线与直线0=y 及8=x 所围成的三角形面积为()23211816864224x s x x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，则 2316644s x x '=-+，令0s '=，得163x =驻点唯一， 所围成的角形面积最大.此时2569y =，即所求的点为16256,39⎛⎫⎪⎝⎭. 17.描绘.(1) 232(1)x y x =-+，(2)221(1)(1)y x x =+--的图形.解： (1) 函数的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞;33(1)'(),(1)x f x x -=+ 令'()0f x =,得：1x =; 46(2)''()(1)x f x x -=+，令''()f x =0，得：2x =1lim (),lim ()2x x f x f x →-→∞=-∞=-，∴函数有铅直渐近线1x =-和水平渐近线2y =-画图 23(2)8,(0)2,(3)16f f f -=-=-=.（2）定义域为(,1)(1,)-∞+∞；32'(1)x y x -=-，42(21)"(1)x y x +=-，令'0y =得0x =；令"0y =得12x =-； 列表由lim 0x y →∞=，曲线有水平渐近线0y =； 由1lim x y →=+∞，曲线有铅直渐近线1x =；作图：18.要做一个容积为2π的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？解：由22r h ππ=，得罐头筒表面积为222S r rh ππ=+， 即 222()22()S r r r r ππ=+，令21'()4()0S r r r π=-=，得1r = 又32()4(1)S r rπ''=+，(1)120S π''=>，()S r ∴在1r =取极小值， 即有最小值. 此时 2h =.则1r =, 筒高2h =时所用材料最省.19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米，底面为正方形。

相关文档
最新文档