高等数学第三章要求与练习(含答案

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、要求：

1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；

2、洛必达法则；

3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；

4、简单不等式证明；

5、最值在实际问题中的应用。 二、练习

1.在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是( C ). A.21

()f x x

=

B.()||f x x =

C.2()1f x x =-

D. 2()21f x x x =--. 2. 函数x x f arctan )(=在]1,0[上满足拉格郎日中值定理的ξ值是( A).

B.

4

1π

- D. 3.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有 2 个零点，这些零点所在的范围是 （1，2）， （2，3） .

4.函数()ln 2x

f x x e

=-+在(0,)+∞内的零点的个数为 2 .

解：00lim ()lim ln 20x x x f x x e +

+

→→⎛⎫

=-+=-∞< ⎪⎝⎭；

又21121()10,(1)0()20e f f f e e e e -=->=>=>，2()220f e e =-+>，

32()50f e e =-<；

11

()0,f x x e

'=-=，x e =，,()0;,()0x e f x x e f x ''<>><.

所以，函数()ln 2x

f x x e

=-+在(0,)+∞内有2个的零点.

5.曲线x y xe -=的拐点()22,2e -，凹区间()2,+∞，凸区间(),2-∞.

解：()(),1,2x x x y xe y x e y x e ---'''==-=-，

6.函数(ln y x =的单调 递增 区间(),-∞+∞.

7.曲线()1

x

e f x x =+的渐近线为x=-1,y=0 .

8.（1）1x →（2）011

lim()1

x x x e →--（3）220(1cos )lim

tan x x x →-

（4）20arctan lim ln(12)x x x x x →-+； （5）21/30(1)1lim cos 1x x x →+--； （6）01lim(csc )x x x

→-； （7）3

112

lim (sin sin )2x x x x →∞-；（8）22

lim (tan )x x x ππ--→

；（9）lim ln x

x e x →+∞.

解：（1

）

1

141lim

21x x x x x →→→-===- （2）()200000111111

lim()lim lim lim lim 1222

1x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→------=====--

（3）22

2

222

0001

()(1cos )2lim lim lim 0tan 4x x x x x x x x →→→-=== （4）2

222322

00001111arctan arctan 11lim lim lim lim ln(12)266x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-----++===+

201

1

1lim 66

x x →+=-=-；

（5）2

21/3

002

1(1)123lim lim 1cos 132

x x x

x x x →→+-==---； （6）000111sin lim(csc )lim()lim

sin sin x x x x x

x x x x

x x →→→--=-= 2000sin 1cos sin lim lim lim 022

x x x x x x x x x →→→--====； 改为：00111lim(sec )lim()cos x x x x x x →→-=-00cos 1sin lim lim 1cos cos sin x x x x x

x x x x x

→→--===+

（7）3332112111111

lim (sin sin )lim sin (1cos )lim 222

x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞-=-=⋅=；

（8）()2

lim 2ln(tan )

22

lim (tan )x x x x x x e

πππ

π

-

→

-

--→

=

()()2

222

222

sec ln(tan )tan lim 2ln(tan )lim lim 12x x x x x

x x x x x ππππππ

-----

→→→-==- ()()()22

22

2

2

2sec 242lim

lim lim 0

2tan sin 22cos 2x x x x x x x x x x ππππππ-

-

-→

→→

---=-=-=-=