工程力学 第十章 弯曲应力.

矩形截面
bh 3 IZ = 12
bh 2 WZ = 6
3
空心矩形截面
b0 h0 bh 3 IZ = − 12 12
b0 h0 bh 3 WZ = ( − ) /(h0 / 2) 12 12
3
三、正应力公式的推广
工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
实验和弹性力学理论的研究都表明： 当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 弯曲正应力公式
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
σ max
z
σ max
t
Mymax = Iz
Mymax = Iz
t
c
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
IZ WZ = y max
圆截面
IZ =
πd 4
64
WZ =
πd 3
32
空心圆截面
IZ =
πD 4
64
(1 − α )
4
WZ =
πD 3
32
(1 − α 4 )
a 4、线应变的变化规律： 线应变的变化规律：
A1 B1 − AB ε = AB
c
=
A1 B1 − OO 1 OO 1
( ρ + y )dθ − ρdθ = ρdθ
=
y
b a o A b dx
ρ
ε =
y
ρ
......
(1)
d c o1 Ｂ d
y
（二）物理关系： 物理关系：由纵向线应变的变化
dθ
规律→ 规律→正应力的分布规律。 正应力的分布规律。 在弹性范围内，
弯曲正应力计算公式。 弯曲正应力计算公式。
y A z σ y
弯矩可代入绝对值， 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 应力的符号由变形来判断。 当M > 0时，下拉上压； 下拉上压； 当M < 0时，上拉下压。 上拉下压。
最大正应力的确定
My σ= IZ
WZ = IZ ymax
Mymax ⑴ 截面关于中性轴对称 σ max = IZ M t c z σ max = σ max = Wz
1、观察实验： 观察实验：
2、变形规律： 变形规律： ⑴、横向线： 横向线：仍为直线， 仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。 且仍与纵向线正交。 M ⑵、纵向线： 纵向线：由直线变为 曲线， 曲线，且靠近上部的纤维 且靠近上部的纤维 （线物质） 线物质）缩短， 缩短，靠近下 部的纤维伸长。 部的纤维伸长。 3、假设： 假设：
1.C 截面上K点正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
F F x
x
2.横力弯曲 2.横力弯曲（ 横力弯曲（剪切弯曲） 剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有 Fa M 剪力的弯曲（横截面上既有正应 剪力“Fs”——切应力“τ”； 力又有剪应力的弯曲）。
弯矩“M”——正应力“σ”
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
应力的分布图： 应力的分布图：
M
σ = Eε =
z 中性轴 x y
Ey
ρ
σmax
Z
M
y 中性轴的位置？ 中性轴的位置？
1 中性层的曲率
1
σmax
ρ
=？
ρ
为梁弯曲变形后的曲率
M
Z x （三）、静力方面 ）、静力方面： 静力方面： 由横截面上的弯矩和正应 力的关系→ 力的关系→正应力的计算公 式。
E
ρ
σ = Eε
Ey
σ = Eε =
ρ
...... (2)
Ｏ A１
Ｏ１ Ｂ１ x
y
回顾：
曲率是描述曲线弯曲程度的一个概念，其定义为：曲 ∆α dα 线C在点M的曲率 k= =
lim
∆s → 0
∆s
ds
对曲线y=f(x), 其曲率 y
k=
M' ∆α ∆s
y ′′ (1 + y ′ )
2 3 2
M α α+∆α x
y A z σ y
(1)
FN = σdA =
A
∫
∫
A
E
E
y
ρ
dA =
y
E
ρ∫
A
ydA =
ρ （中性轴Z轴为形心轴） 轴为形心轴）
E
Sz = 0 ⇒ Sz = 0
(2)
M y = ∫σdAz =
A
∫
Байду номын сангаас
A
ρ
zdA =
E
ρ
∫
A
yzdA =
2
ρ
E
I yz = 0 ⇒ I yz = 0
（y轴为对称轴， 轴为对称轴，自然满足）
根据变形的连续性可 知，梁弯曲时从其凹入一 侧的纵向线缩短区到其凸 出一侧的纵向线伸长区， 中间必有一层纵向无长度 改变的过渡层--------称 为中性层 。
中间层与横截面 的交线 －－中性轴 －－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度， 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。 等高度的一层纤维的变形完全相同。
My σ = IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁 横力弯曲梁上的最大正应力
A 1m
B 2m
截面关于中性轴对称
σ max t = σ max c =
截面关于中性轴不对称
σ max
62
M max Wz M y = max max IZ
(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)
例
q=60kN/m
180 120
(3) M z = ∫ yσdA = ∫A E
A
y
ρ
ydA =
E
ρ∫
A
y dA =
ρ
Iz = M
M = ρ EI Z
1
——弯曲变形计算的基本公式
M = ρ EI Z
1
——弯曲变形计算的基本公式
EI z ⇒ 梁的抗弯刚度。 梁的抗弯刚度。
将上式代入式 ( σ = E ε =
Ey
ρ
) 得：
M Z x
My σ = Iz
第十章 弯曲应力
第一节 弯曲正应力及强度条件 第二节 弯曲剪应力及强度条件 第三节 弯曲中心 平面弯曲的充要条件 第四节 提高弯曲强度的措施
第一节 弯曲正应力及强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
F a A B F a
１.纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无 Fs 剪力的弯曲（横截面上只有正应 力而无剪应力的弯曲）。
a
c
b a
d c M
b
d
（1）弯曲平面假设： 弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线， 且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设： 梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的， 之间无挤压。 之间无挤压。 凹入一侧纤维 凹入一侧纤维缩短 一侧纤维缩短 一侧纤维伸长 突出一侧纤维 一侧纤维 伸长 突出