微分中值定理及其应用

且 f (0) ? 1, f (1) ? ? 3.
由介值定理
? x 0 ? (0,1), 使 f ( x 0 ) ? 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ? (0,1), x1 ? x 0 , 使 f ( x1 ) ? 0. ? f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件,
? 至少存在一个 ? (在 x0, x1 之间),使得 f ?(? ) ? 0.
但 f ?( x ) ? 5( x 4 ? 1)? 0, ( x ? (0,1)) 矛盾, ? 为唯一实根 .
2. 图一
y A
C y=f(x) B
O aξ
x b
2. 图二
y f(b)
C
B f(b)-f(a)
f(a)
A
微分中值定理及其应用
? 前述内容，包括函数的极限、函数 在某一点的连续性、可导性，考虑 的都是函数在某一点的局部性质， 是否可以利用已学的概念来讨论函 数的某些全局性质呢？
? 中值定理对此问题给出了肯定的回 答。
一、内容概述
? 中值定理包括从特殊到一般的三 个定理，分别称作罗尔 (Rolle)中值 定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定 理和柯西(Cauchy) 中值定理。
b-a
D
O
aξ
x
b
二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理
拉格朗日（Lagrange ）中值定理 (1)如果函数 f(x)在
闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在
(a, b)内至少有一点?(a ? ? ? b) ，使等式 f (b) ? f (a) ? f ' (?)(b ? a) 成立.
?? ?
1? (x ? 1)2
???0
在闭区间上不连续
x ? [0, 3)
2 x? 3
2
对以上三个函数 Rolle 定理结论均成立
例1 证明方程 x 5 ? 5 x ? 1 ? 0 有且仅有一个小于
1 的正实根 .
证 设 f ( x ) ? x 5 ? 5x ? 1, 则 f ( x )在[0,1]连续,
几何解释 :
y
C
在曲线弧 AB 上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的 .
o a ?1
物理解释 :
y ? f (x)
?2 b x
变速直线运动在 折返点处 ,瞬时速 度等于零 .
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3. 定理的证明
[a,b] ? 因为函数 f(x) 在区间
上连续，函数 f(x)
在闭区间 [a,b上必] 能取到最大值 M 和最小
即 f ' (?) ? 0
例如, f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 3)( x ? 1).
[在 ? 1,3]上连续, 在(? 1,3)上可导, 且 f (? 1) ? f (3) ? 0,
? f ?( x ) ? 2( x ? 1), 取? ? 1, (1? (?1,3)) f ?(?) ? 0.
f(ξ)=M， ξ∈ (a,b).
由条件(2)和费马定理推知 fˊ(ξ)=0.
5. 关于罗尔定理的两点说明
? 罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理 仅从理论上指出了它的存在性，而没有 给出它的具体位置，但这并不影响定理 的应用；
? 罗尔定理的条件是充分条件，只要三个 条件均满足，就充分保证结论成立。但 如果三个条件中有一个不满足，则定理 的结论就不一定成立。看如下例子：
费马(fermat) 引理
且
(或 ? )
证: 设
则
?0 ?0
存在
y o x0 x
一、罗尔 (Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x )(1在) 闭区间 [a, b]
上连续(,2在) 开区间 (a, b) 内可导 ,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) ? f (b),那末在 (a, b) 内至少有一点 ?(a ? ? ? b),使得函数 f ( x )在该点的导数等于零，
值 m ,考虑两种可能的情况：
[a,b] (1) 若 m=M, 则 f(x) 在
上恒等于常数
M(或 m),因而在 (a,b) 内处处有
f ˊ(x)=0，
因此可取 (a,b) 内任意一点作为 ξ而使得fˊ(ξ)=0 成立。
(2) 若 m<M ，因为 f(a)=f(b) ，因此m、 M 不可能同时是两端点的函数值， 即最小值 m 和最大值 M至少有一个 在开区间(a,b) 内部取得，不妨设
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) ? f (b). 结论亦可写成 f (b) ? f (a) ? f ?(?). b? a
y 几何解释 :
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y ? f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB .
o a ?1 x
?2b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) ? f (b).
(3) f (0) ? f (1).
0
不? ? , 使f ?(? ) ? 0.
1x 1x
（2）罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立
例如 y ? 1? (| x | ? 1)2 x ? [? 2,? 2]
在x=0 处不可导
y ? 1? (x ? 1)2
在端点处函数值不相等
x ? [0, 3]
2
?
y
?
弦AB 方程为 y ? f (a) ? f (b) ? f (a) ( x ? a).
b? a 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a, b两端点的函数值相等 .
作辅助函数 F ( x ) ? f ( x ) ? [ f (a) ? f (b) ? f (a) ( x ? a)].
二、Rolle 定理的条件的讨论
（1）罗尔定理的条件缺一不可.
例1
f
(
x
)
?
?x ??0
(1) f ( x )? C[0,1];
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0 ? x ? 1时 x ? 1时 y
(2) f ( x )? D(0,1);
(3) f (0) ? f (1).
不? ? , 使f ?(? ) ? 0.
0
1x
例2 f ( x ) ? x , x ? [? 1,1];
y
(1) f ( x )? C[? 1,1];
(2) f ( x) ? D(? 1,1);
(3) f (? 1) ? f (1).
?1 0
不? ? , 使f ?(? ) ? 0.
例3 f ( x ) ? x , x ? [0,1]; y (1) f ( x )? C[0,1];
(2) f ( x )? D(0,1);