最新数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用

教学目的：

1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；

2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；

3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；

5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：

本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：14学时

§ 1 中值定理（4学时）

教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。

教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。

教学重点：中值定理。

教学难点：定理的证明。

教学难点：系统讲解法。

一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）

二、讲授新课：

（一）极值概念：

1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )

2.可微极值点的必要条件:

Th ( Fermat ) ( 证 )

函数的稳定点, 稳定点的求法.

（二）微分中值定理:

1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.

grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .

用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.

Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.

推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)

推论2 函数和在区间I上可导且

推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.

若存在,则右导数也存在,且有

(证)

但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数

虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).

Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在

内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上

点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且

( 证 )

Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若

为介于与之间的任一实数, 则

设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )

3.Cauchy中值定理:

Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.

证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,

必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.

Cauchy中值定理的几何意义.

（三）中值定理的简单应用:

1. 证明中值点的存在性

例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.

证在Cauchy中值定理中取.

例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .

2.证明恒等式:原理.

例3证明: 对, 有.

例4设函数和可导且又则

.证明.

例5设对, 有, 其中是正常

数. 则函数是常值函数. (证明 ).

3.证明不等式:

例6证明不等式: 时, .

例7证明不等式: 对，有.

4. 证明方程根的存在性:

证明方程在内有实根.

例8证明方程在内有实根.

§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）

教学目的：

1. 掌握讨论函数单调性方法；

2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。

教学要求：

1. 熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极

限；

2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。

教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则

教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。

教学方法：问题教学法，结合练习。

一. 型:

Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.

例1

例2 .

例3 . ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4 . ( Hospital法则失效的例 )

二.型:

Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 )

例5.

例6.

註: 关于当时的阶.

例7. ( Hospital法则失效的例 )

三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. 例8

例9.

例10 .

例11 .

例12 .

例13 .

例14 设且求

解

.

§ 3 Taylor公式（2学时）