微分中值定理及其应用Word
微分中值定理及其证明及应用
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，0)()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤−−=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f −−=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x −−−=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=−−=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=−−−=ab a f ξξϕ．即()ab a f −−=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F −−−−=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()−−−−−−−−−−−−−−−−−=−+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ−+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ． 定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+−+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++−+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用在这一章里，讨论了怎样由导数f ′的已知性质来推断函数所应具有的性质．微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具．f 一、拉格朗日中值定理1．罗尔定理定理 设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续，f ],[b a ii）在区间上可导，f ),(b a iii），)()(b f a f =则在内至少存在一点),(b a ξ，使得0)(=′ξf ．几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线.例1 设f 为上的可导函数，证明：若方程R 0)(=′x f 没有实根，则方程至多只有一个实根.0)(=x f 2．拉格朗日定理：设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续f ],[b a ii）在区间上可导f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得ab a f b f f −−=′)()()(ξ （拉格朗日公式） 注：几何意义：在满足条件的曲线上至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.拉格朗日公式的几种等价表示：))(()()(a b f a f b f −′=−ξ)))((()()(a b a b a f a f b f −−+′=−θ ， 10<<θh h a f a f h a f )()()(θ+′=−+ ， 10<<θ推论 （1）若函数在区间f I 上可导，且0≡′)(x f ，则为区间f I 上的常值函数.（2）若函数和f g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f ′≡′，则在区间I 上和f g 只相差一个常数，即c x g x f +=)()(（3）导数的极限定理：设函数在点的某邻域连续，在内可导，且存在，则在可导，且 f 0x )(0x U )(0x U o )(lim 0x f x x ′→f 0x )(0x f ′＝ )(lim x f x x ′→0注：这个定理给出的是充分条件，即当)(lim x f x x ′→0不存在的时候，也可能存在．例如 )(0x f ′⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00012x x x x y ,,sin ．但是也要注意的是如果的左右极限都存在当不相等，则一定不存在．这一点也说明了若在区间)(lim x f x x ′→0)(0x f ′f I 上可导，那么要么连续，要么只可能有第二类间断点．)(x f ′3．拉格朗日定理的一些应用：（证明不等式）例 证明对一切0,1≠−>h h ，下列不等式成立h h hh <+<+)ln(11 （根的存在及个数的估计） 例 设为多项式，)(x p α为0)(=x p 的r 重根，证明α为0)(=′x p 的1−r 重根． (利用导数的极限定理求分段函数的导数)例 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数．（关于函数的单调性的讨论）定理 设函数在区间f I 上可导，则在区间f I 上递增（减）的充要条件是： ))(()(00≤′≥′x f x f例 讨论的单调区间．x x x f −=3)(定理 若函数在上可导，则在上严格递增（减）的充要条件是：f ),(b a f ),(b a i)对一切，有),(b a x ∈))(()(00≤′≥′x f x fii)在内的任何子区间上),(b a 0≠′)(x f .推论 若函数在上可导，且f ),(b a 0>′)(x f (0<′)(x f )，则在上严格递f ),(b a增（减）．注：若函数在上（严格）递增（减）且在点a 右连续，则在上（严格）递增（减），对右端点的讨论类似.（利用单调性证明不等式） f ),(b a f ),[b a 例 证明，0,1≠+>x x e x )2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x 二 、柯西中值定理和不定式的极限1．定理（柯西中值）设函数和f g 满足：1)在区间上连续，],[b a 2)在区间上都可导，),(b a 3)与不同时为0，)(x f ′)(x g ′4)，)()(b g a g ≠则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得：)()()()()()(b g a g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：与拉格朗日的类似．例 设函数在()上连续,在内可导，则至少存在一点f ],[b a 0>a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得ab f a f b f ln )()()(ξξ′=− 2．不定式的极限0型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 000=→)(lim x g x x 2)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0)(≠′x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则)()(lim0x g x f x x →＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 求xx x 21tan cos lim +→π )1ln()21(lim 2210x x e x x ++−→ x x e x −+→1lim 0∞∞型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 0∞=→)(lim x g x x 02)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0≠′)(x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则 )()(lim x g x f x x 0→＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 x x x ln lim+∞→ (αx x x ln lim +∞→，只要0>α) 3lim x e xx +∞→注：在)()(lim x g x f x x ′′→0不存在的时候，并不能说明)()(lim x g x f x x 0→不存在. 比如以下几个不能使用罗比达法则的例子：x x x x sin lim +∞→ xx x x x sin sin lim −+∞→ 其他类型的不定式极限：型 ∞⋅0x x x ln lim +→0型 ∞121x x x )(cos lim → 型 00x k x x ln )(sin lim +→+10型 0∞x x x x ln )(lim 121+++∞→型 ∞−∞)ln 111(lim 1xx x −−→ 对于数列的极限也可以用罗比达法则来求．例 n n n n )(lim 2111+++∞→ → x x xx )(lim 2111+++∞→ 三、泰勒公式多项式是各种函数中最简单的一种，本节是考虑如何用多项式去逼近函数，因此是近似计算的重要内容.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式考察下列多项式n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010−++−+−+=L则不难发现，)(00x p a n =!)(101x p a n ′=， !2)("01x p a n = ，… , !)()(n x p a n n n 0= 那么对于一般函数，设它在点具有直到阶的导数，由这些导数可以构造一个多项式f 0x n n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 称其为在的泰勒多项式，系数为泰勒系数．不难发现f 0x )()()()(00x T x f k n k = ),,,(n k L 10=定理 函数在点存在直到阶的导数，则有，即f 0x n ))(()()(n n x x o x T x f 0−+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L ……… 带有皮亚诺型余项的泰勒公式))((n x x o 0−+当时,称00=x )(!)(!)(!)()()()(n n n x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=0201002L 为带有皮 亚诺型余项的麦克劳林公式．以下是几个常用函数的麦克劳林公式：)(!!n n x x o x n x x e +++++=12112L )()!()(!!sin !222531215131++++−+++−=m m m x o x m x x x x L)()!()(!!cos 122422141211++−+++−=m m mx o x m x x x L )()()ln(n n n x o x n x x x x +−+++−=+−132131211L )(n n x o x x x x+++++=−L 2111 利用上述麦克劳林公式，可间接求得一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式以及求某种类型的函数极限．例 写出22x e x f −=)(的麦克劳林公式，并求，．)()(098f )()(099f 例 求在处的泰勒公式．x ln 2=x 例 求4202x e x x x −→−cos lim ． 2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理 若函数f 在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导数，则对任给的，至少存在一点],[b a n ),(b a 1+n ],[,b a x x ∈0),(b a ∈ξ，使得n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 1011++−++n n x x n f )()!()()(ξ ………………带有拉格朗日型余项的泰勒公式 当时,称00=x n n x n f x f x f f x f !)(!)(!)()()()(0201002++′′+′+=L 111++++n n x n x f )!()()(θ 为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.1211211+++++++=n xn xx n e x n x x e )!(!!θL 3212533211215131++++−++−+++−=m m m m x m x x m x x x x )!(cos )()!()(!!sin !θL 2212422212141211+++−+−+++−=m m m mx m x x m x x x )!(cos )()!()(!!cos θL 11132111131211++−++−+−+++−=+n n n n n x x n x n x x x x ))(()()()ln(θL12211111++−+++++=−n n n x x x x x x )(θL 3．在近似计算中的应用例 计算e 的值，使其误差不超过，并且证明e 为无理数．610−例 用泰勒多项式逼近正弦函数，要求误差不超过，试以一次和二次的多项式逼近，分别讨论x sin 310−x 的范围． 四、函数的极值与最大（小）值1.极值的判别函数的极值是函数局部的又一性质．定理（极值的第一充分条件） 设在点连续，在某内可导． f 0x )(0x U o i) 若当),(00x x x δ−∈时0≤′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≥′)(x f ，则在点取得极小值.f 0x ii) 若当),(00x x x δ−∈时0≥′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≤′)(x f ，则在点取得极大值.f 0x 例 求3252x x x f )()(−=的极值点与极值定理（极值的第二充分条件） 设在某内一阶可导，在处二阶可导，且，，f );(δ0x U o 0x x =00=′)(x f 00≠′′)(x f i)若，则在点取得极大值.00<′′)(x f f 0x ii）若，则在点取得极小值.00>′′)(x f f 0x 例 求xx x f 4322+=)( 的极值与极值点 定理（极值的第三充分条件） 设在某内存在直到阶导函数，在处阶可导，且 f );(δ0x U o 1−n 0x n 00=)()(x f k ),,,121−=n k L ，，则 00≠)()(x f n i)当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值．n f 0x 00>)()(x f n 00<)()(x f n ii) 当为奇数时，在点不取得极值．n f 0x例 试求函数的极值.（可以利用第一充分和第三充分条件）)()(4−=x x x f 12．最大值与最小值若函数在上连续，则在上连续上一定有最大，最小值.我们只要比较在所有稳定点，不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大，最小值．f ],[b a f ],[b a f f ],[b a 例 求函数x x x x f 129223+−=)(在],[2541−上的最大与最小值. 例 设f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点，证明：若是的极大（小）值点，则必是在0x 0x f 0x f I 上的最大（小）值. 五、函数的凸性与拐点根据函数图像的特点研究函数的凸凹性．1.定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点和任意实数21x x ,),(10∈λ总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≤−+则称为f I 上的凸函数.反之，如果总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≥−+则称为f I 上的凹函数.通过图形来解释．引理 为f I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点，总有 321x x x <<≤−−1212x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 还可以证明≤−−1212x x x f x f )()(≤−−1313x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下述结论等价：1) 为区间f I 上的凸函数2)f 为′I 上的增函数3)对I 上的任意两点，有21x x , ))(()()(12112x x x f x f x f −′+≥(结论3的几何意义是：可导的凸函数其切线总在曲线的下方．)定理 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸函数的充要条件是：.f 0>′′)(x f 例 讨论函数的凸凹区间.x x f arctan )(=例 证明若函数为定义在内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即f ),(b a 0x ),(b a ∈f 0x f 00=′)(x f .（说明：尽管可导的极值点未必是稳定点.但为可导的凸（凹）函数时，则极值点必为稳定点） f 例（Jesson 不等式） 若为上的凸函数，则对任意f ],[b a ],[b a x i ∈，0>i λ，),,,,(n i L 21=11=∑=ni i λ，有)()(i ni i n i i i x f x f ∑∑==≤11λλ例 设为区间f I 内的凸（凹）函数，证明在f I 内任一点都都存在左右导数.0x 2.拐点设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点.)(x f y =))(,(00x f x ))(,(00x f x )(x f y =定理 若f 在点二阶可导，则为曲线0x ))(,(00x f x )(x f y =的拐点的必要条件是 00=′′)(x f .定理 设f 在点可导，在某邻域内二阶可导.若在和上的符号相反，则为曲线0x );(δ0x U o )(0x U o +)(0x U o −f ′′))(,(00x f x )(x f y =的拐点.。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
4微分中值定理与导数的应用
由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0, 因此存在=1∈(-1,3),使f(1) =0．
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的 结论将不一定成立.
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二、 定理2 若函数y=f(x)满足下列条件:
(1) 在闭区间[a,b] (2) 在开区间(a,b)
则至少存在一点∈(a,b),使得 f ( ) f (b) f (a)
ba 证 作辅助函数 F( x) f ( x) f (b) f (a) x
ba F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
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F(a) f (a) f (b) f (a) a ba
从而有
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
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例 设0 a b,函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,
试证: 至少存在一点 (a, b),使得
f ( ) -f ( ) bf (a) af (b) .
a与b分别换成x与x+x, b-a=x,拉格朗日中值公式写成
f(x+x)-f(x)=f(x+x)·x (0＜＜１).
称为有限增量公式．
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例 证明不等式arctan x2 arctan x1 x2 x1(其中x1 x2 )
证 设f ( x) arctan x.在[x1, x2 ],有
当x→x0时,显然有→x0,由条件(3)得
f (x)
f ( )
f ( x)
lim
lim
lim
x x0 g( x) x x0 g( ) x x0 g( x)
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
原创《微分中值定理的总结和应用》
关键词
中值定理，推广，应用
Induction and Application of differential mean value theorem
1
Abstract
Calculus is a function of higher mathematics of differential, and related branches of mathematics concepts and applications. It is a foundation subject of mathematics. At the same time calculus median theorem is the fundamental theorem of calculus, is a powerful tool research function, has a wide range of applications in the higher mathematics. This paper first presents the general form of middle value theorem of calculus, and then by extending the theorem's finite interval to infinite interval, we get the mean value theorem whose domain is the infinite interval ( as in the form of (, a ), (, a ], (b,), [b,), (,
微分中值定理的总结和应用 摘 要
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数 学的一个基础学科。同时微积分中的微积分中值定理是微积分学的基本定理，是研究函数 的有力工具，在高等数学中有着广泛的应用。 本文先给出微积分中值定理的一般形式， 然后通过把其中的定理条件中的有限区间推 广到无限区间，得到定义域为无限区间（譬如 (, a ), (, a ], (b,), [b,), (,) 的形 式）的中值定理，即得到了推广的微积分中值定理。然后给出微积分中值定理在各个方面 的应用，如用微分中值定理证明方程根的存在性，函数的单调性，等式；用积分中值定理 进行估值运算，求极限，证明不等式；用推广的定理证明等式。 最后，通过对全文的回顾，分析并归纳各微积分中值定理之间的联系和它们的应用范 围。
05第五讲微分中值定理与应用6页word文档
第五讲：微分中值定理与应用一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1、已知()(3)(4)(5)f x x x x =---，则'()0f x =有 （B ）A 一个实根B 两个实根C 三个实根D 无实根解：（1）()[34]34f x Q 在，连续在（，） (3)(4)0f f ==可导且()f x ∴在[34]，满足罗尔定理条件故有1'()0f ξ=（134ξ<<）(2)()[4,5]f x 同理在满足罗尔定理 22'()0,45f ξ=<ξ<有综上所述，)'()0(3,5f x =在至少有两个实根3'()0f x =（）是一元二次方程，至多有两个根，故选Ｂ2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 （D ） A 2(),[0,3]f x x x =∈B 21(),[1,1]f x x x=∈-C (),[1,1]f x x x =∈- D()[0,3]f x x =∈ 解：()[0,3]f x =连续'()f x =()f x [03](0)0f =在，可导且，(3)0f = 满足罗尔定理条件．故选 D3．设曲线33y x x =-，则其拐点坐标为（C ） A 0 B （0，1）C （0，0）D 1解：3''3,''6y x y x =-=-．令''0y =．得0x =．0,''0x y <>当有．当0x >时，''0y <．故（0，0）为曲线的拐点 C4．若()(),0f x f x =-∞且在（，+）内'()0,''()00f x f x >>-∞则在（，）必有（C ）A '()0,''()0f x f x <<B '()0,''()0f x f x >>C '()0,''()0f x f x <>D '()0,''()0f x f x ><解：()0f x +∞Q 为偶函数且在（，）()f x Q 单调递增,曲线为凹弧如示意图，故有(,0),()0,''0f x f C -∞<>∴选 5．设 3ln 3f x a x bx x =+-（） 在12x x ==，取得极值。
第三章微分中值定理导数的应用word资料9页
第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6． 了解方程近似解的二分法及切线法。
一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f满足：（1）在[]b ,a 连续.（2）在()b ,a 可导.（3）()()b f a f= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ使()0f/=ξ例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。
证： 设()()x xf x F=在[a,b]可导，()()1F 0F =∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,证明存在η ()()0F F /=η+η 。
解: 设()()x f e x Fx =，且()()1F 0F = 由罗尔定理存在η 使()0F/=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f/=η+η例 习题6设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理如()x f满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。
微分中值定理的证明与应用word资料8页
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它描述了导数在其中一区间上的平均变化等于该区间两端的导数之差。
拉格朗日中值定理的数学表达为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)。
利用拉格朗日中值定理，可以证明函数在一些区间上的一些点必然具有特定的性质，例如存在极大值和极小值点等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理中的进一步推广，在拉格朗日中值定理的基础上增加了另一个函数的条件。
柯西中值定理的数学表达为：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且g(x)不为零，那么存在一个c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g′(c)=[g(b)-g(a)]f′(c)。
利用柯西中值定理，可以对两个函数的导数之间的关系进行研究，从而得到有关函数的性质，如凸性、单调性等。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理中的特殊情况，它描述了一个连续函数在(a,b)内可导，并且在a处和b处的函数值相等，则在(a,b)内存在一个c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
利用罗尔中值定理，可以证明函数在一些区间上的导数为零的点，进而得到函数的极值点、拐点等。
二、导数的应用导数是微积分中最重要的概念之一，它具有丰富的应用，以下列举几个常见的应用：1.极值问题函数的极值问题是导数应用中的经典问题之一，通过求函数的导数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点和极值值。
2.函数的单调性导数可以反映函数的增减情况，通过分析函数的导数的正负变化可以确定函数的单调性，即函数是递增还是递减的。
3.函数的凹凸性函数的凹凸性可以通过分析函数的二阶导数来确定，二阶导数大于零时为凹函数，二阶导数小于零时为凸函数。
4.函数的拐点函数的拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，可以通过分析函数的二阶导数的变化情况来确定。
精品《微分中值定理的总结和应用》
精品《微分中值定理的总结和应用》微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它是研究函数导数性质的基础工具之一、本文将对微分中值定理进行总结和应用的探讨。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
拉格朗日中值定理是微分学中最基本的中值定理之一，它是由拉格朗日在《微积分学》中给出的。
拉格朗日中值定理表明，对于连续函数f(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），在(a,b)内存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换言之，函数在两点间的斜率等于函数特定点处的导数。
柯西中值定理是微分中值定理的推广和拓展，它是由柯西在《微分学入门》中给出的。
柯西中值定理表明，对于连续函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），且g'(x)≠0，那么在(a,b)内存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
换言之，函数f(x)和g(x)在两点间的斜率比等于函数f(x)和g(x)特定点处的导数比。
微分中值定理的主要应用包括寻找函数极值、证明不等式、函数图像的研究等。
在寻找函数极值时，利用微分中值定理可以通过导数的正负性来判断函数在特定点的增减性和极值性。
在证明不等式中，微分中值定理的应用可以将原不等式转化为导数的不等式，从而证明原不等式的成立。
在函数图像的研究中，微分中值定理可以通过导数的性质来研究函数的凹凸性、拐点等。
微分中值定理在物理、经济等学科中也有广泛的应用。
在物理学中，利用微分中值定理可以研究物理量的变化率以及速度与加速度之间的关系。
在经济学中，微分中值定理可以用于研究收入弹性、边际效用等经济问题。
综上所述，微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们研究函数导数的性质，寻找函数极值，证明不等式以及函数图像的研究等。
同时，微分中值定理在物理、经济等学科中也有着广泛的应用。
微分中值定理及其应用5页word
微分中值定理及其应用1． 讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf .（1）()⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=;0,0,10,1sin x x x x x f π； （2）()11,≤≤-=x x x f .2． 证明：方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根.3． 证明: （1）若函数f 在[b a ,]上可导，且()m x f ≥'，则);()()(a b m a f b f -+≥（2）若函数f 在[b a ,]上可导，且Mx f ≤')(，则)()()(a b M a f b f -≤-；（3）对任意实数,,21x x 都有.|||sin sin |1221x x x x -≤- 4． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0； （2）22arctan 1x x x x<<+，其中0x >. 5． 确定下列函数的单调区间：（1）23)(x x x f -=；（2）2()2ln f x x x =-；（3）;2)(2x x x f -=（4）xx x f 1)(2-=．6． 应用函数的单调性证明下列不等式：（1）)3,0(,3tan 3π∈->x x x x ； （2）);2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x（3）0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x ． 7． 设f 为],[b a 上二阶可导函数，0)()(==b f a f ，并存在一点),(b a c ∈使得0)(>c f ．证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.0)(<''ξf8. 设函数f 在],[b a 内可导，且f '单调，证明f '在],[b a 内连续．9. 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程0)(=x f 有1+n 个相异的实根，则方程0)()(=x f n 至少有一个实根．10．设0,>b a ，证明方程b ax x ++3=0不存在正根． 11．证明：)2,0(,sin tan π∈>x x x x x ． 12．证明：若函数f ，g 在区间],[b a 上可导，且)()(),()(a g a f x g x f ='>'，则在],[b a 内有).()(x g x f >13．设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ε，使得)(')()]()([222εεf a b a f b f -=-．14．设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数，证明：)()(2)()(lim2a f h a f h a f h a f h ''=--++→．15．求下列不定式极限:（1）x e x x sin 1lim 0-→； （2）x xx 3cos sin 21lim 6-→π；（3）1cos )1ln(lim0--+→x x x x ； （4）x x xx x sin tan lim 0--→；（5）5sec 6tan lim2+-→x x x π； （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ；（7）xx x sin 0)(tan lim →； （8）xx x-→111lim ；（9）xx x 120)1(lim +→； （10）x x x ln sin lim 0+→；（11）⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ； （12）210)tan (lim x x x x →． 16．求下列不定式极限： (1) 2sin1)1cos(ln lim1xx x π--→； (2) x x x ln )arctan 2(lim -+∞→π；(3) xx xsin 0lim +→； (4) xx x2tan )4(tan lim π→；(5) )1)1ln((lim 2)1(0x x x x x -++→； (6) )1(cot lim 0xx x -→； (7) xe x xx -+→10)1(lim ； (8)x x x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π．17.求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式: （1）;11)(xx f +=（2）；x x x f 的项到含5arctan )(= （3）5()tan f x x x =到含的项． 18.求下列极限：（1）;)1(sin lim 30xx x x e x x +-→ （2）;)11ln(lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→x x x x(3)).cot 1(1lim0x xx x -→ 19.求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）;1,54)(23处在=++=x x x x f （2）.0,11)(处在=+=x xx f 20. 求下列函数的极值：（1）432)(x x x f -=； （2）;12)(2x xx f +=（3）;)(ln )(2x x x f = （4）21()arctan ln(1)2f x x x =-+． 21. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(24x x xx x f ，（1）证明：0=x 是极小值点；（2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件． 22. 求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）];2,1[,155345-++-=x x x y（2）;2,0,tan tan 22⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=πx x y（3）),0(,ln +∞=x x y .23. 把长为l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？ 24. 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？ 25. 求下列函数的极值：（1）;)1()(2-=x x x f（2） 1)1()(242+-+=x x x x x f ；（3）32)1()1()(+-=x x x f ．26. 设x bx x a x f ++=2ln )(在2,121==x x 处都取得极值，试求a 与b ；并问这时f 在1x 与2x 是取得极大值还是极小值？27. 在抛物线px y 22=哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短． 28.确定下列函数的凸性区间与拐点:(1);25363223+--=x x x y (2);1xx y += (3) ;12xx y += (4) );1ln(2+=x y (5) 211y x=+．29.问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线23bx ax y += 的拐点？ 30. 用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数b a ,，有)(212b a b a e e e+≤+； (2) 对任何非负实数b a ,，有b a ba arctan arctan )2arctan(2+≥+. 31.按函数作图步骤，作下列函数图象：（1）;2015623--+=x x x y （2）;)1(222x x y +=（3）;arctan 2x x y -= （4）;xxe y -= （5）;5335x x y -= （6）2x e y -=； （7）32)1(x x y -= （8）232)2(-=x x y ．32.证明：若)(x f 在有限开区间(,)a b 内可导，且),(lim )(lim x f x f bx ax -+→→=则至少存在一点(,)a b ξ∈，使0)(='ξf ．33.设函数f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0>⋅b a ．证明存在),,(b a ∈ξ使得).(')()()(1ξξξf f b f b a f a b a -=-34. 设0>k ，试问k 为何值时，方程0arctan =-kx x 存在正实根．35. 设f 在[0,)+∞上可微，且.0)0(),()(0=≤'≤f x f x f 证明：在),0[+∞上.0)(≡x f 36.设f 为),(+∞-∞上的二阶可导函数，若f 在),(+∞-∞上有界，则存在),(+∞-∞∈ξ，使.0)(=''ξf。
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， ，
例1 证明： .
即证
证明： Cauchy中值定理的条件，即证。
二 、不定式极限 （ 法则）
1、 型不定式极限
定理6.6若 满足： ；
证明：补充定义 ，
用 Cauchy中值定理得：
.
注：1）定理中 ，
仍为 型不定式，可再次用 法则
例2 求
例3 求
解：
例4 求
2、 型不定式集极限
定理：若 满足 ；
3、能利用泰勒公式计算某些不定式的极限。
4、掌握泰勒公式在近似计算上的应用。
重点：带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
难点：泰勒公式在近似计算中的应用。
多项式逼近函数为其实质
一、 带有 型余项的 公式
在 可微，则
用一次多项式 代替 ，误差为 一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小 为此，设
证明：若f为增函数， 当 时， ，由不等式性知 ，反之，若f在I上恒有 ，则对 且 对f在 上用Lagrange中值定理，当 ,s.t. 在I上增。
例4 设f(x)=x3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.
定理6.4若f在 内可导，则f在 内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ)
(ⅱ) 在 内的任何子区间上
2、掌握罗比塔法则，并能熟练地运用罗比塔法则求各种类型的不定式极限。
【教学重点】：柯西中值定理与罗比塔法则。
【教学难点】：将其他类型不定式极限转化为 或 型的极限的技巧。
一 、 Cauchy
设 满足： 在 上都连续； ； ； ；
证明：作辅助函数 ，易知 上满足Roll定理的条件，故有结论。
注： 1）可否对 分别用Lagnange中值定理证之
在 的各阶导数分别为
即 ， ， ，…，
这说明，多项式 的各项系数由 在 的各阶导数以唯一确定。
对于一般函数，设其在 有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式
(B)
称(B)为 在 的 多项式
的多项式系数 ， 称为 系数，
然后 是否等于 ，若不等，误差应是多大呢？
定理6.8若函数在 存在直到 阶导数，则有
, s.t. ； 这说明I上任意两点处f的值皆相等，故f在I上为常量函数.
例 证明：在 上恒有
证明：设 ,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且 ，
而 ,
推论2若f，g在I上皆可导，且 ，则在I上 与 至多只相差一个常数，即 （c为常数）
推论3 （导数极限定理）设f在 的某邻域 内连续,在 内可导，且 存在，则f在 可导，且
推 论若f在区间I上可微，若 则f在I上严格递增（递减）
例5 证明不等式 ex>x+1, x≠0.
复述定理6.4及推论
例1.例1.设 ，
证明：
证明：
， ， ， ：
， ， 用
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 .
例3 .
例4
证明： ， ，
，
， ，又 中
， ，
， .
§2 Cauchy中值定理和不定式极限
【教学目的与要求】：1、掌握柯西中值定理，了解柯西中值定理的几何意义。
【重点】：拉格朗日中值定理及函数单调（或严格单调）的充要条件。
【难点】：1、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
2、利用导数证明不等式的技巧。
一、Roll中值定理与Lagrange中值定理
定理6.1 (Roll定理)若 满足：（1） （2） 在 可导 （3） ，则
证明： 必在 有最大值M和最小值m，若M=m，则 为 上的常值函数，结论显然；若M m,则M与m必有其一在 内部某点 取得，故 为必极值点，由Fermat 知 .
解：
例14求
解：先求
习题 6 、设 在 点的某邻域二阶可导，证明对充分小的 ， 使得
解 ：令 ，当 充分小时， 在 上连续，在 可导， 不等于0，由 中值定理证
（ ）
再令 在 用 中值定理证
取 ，即证
§3公式
教学目的与要求：1、掌握带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
2、熟记基本初等函数的麦克劳林公式（带有佩亚诺余项型及带有拉格朗日型余项）。
即为
证明：
要证
证 由 可知 k=0、1、2…n
故
又显然有
而
由 存在，故在点 的某邻域 内 存在 阶导函数 ，当 ，且 时，对不等式 ，连续使用 次 法则
可证
即 注1 若 在 附近满足
其中， 为 的 次多项式，但 未必是 的Taylor多项式
例 当
为 函数， 在 处只有一阶导函数 而无其他阶导数
然而
若改
注：1）三个条件缺一不可
2）几何意义
例1 在R上可导，若 无实根，则 =0至多只有一实根
定理6.2（Lagrange ）若 满足1） ，2） 则 ——Lagrange中值公式
说明：1、特解； 2、几何意义
证明：作辅助函数 即可。
Lagrange中值公式的基本形式
例2证明对一切h>-1,h 0成立不等式
第六章 微分中值定理及其应用
§1 Lagrange 定理和函数的单调性
【教学目的与要求】：
1、熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2。
4、掌握拉格朗日中值定理的推论3（导数的极限定理），并能利用它求分段函数的导数。
5、掌握函数在区间上单调的充要条件及严格单调的充要条件，并能运用它证明函数的单调区间。
就有
但 非 的Taylor多项式，即 不等于
在 的某邻域 内 可导，且
则
证明：证A为定数的情形，由 ，对 当 满足 时有 ，由 ，对 在 上用 中值定理，即 由 有： ，
由
，
3、 其它类型不定式极限
还有 等型不等式，主要通过将其转化为 型来处理。
例7求
例8求
解：此为 型
例9求 （ k 为常数）
补例 求
解：此属 型
例10求
例12
例13设 且已知
证明：考虑函数 ,x在0与h之间，显然在0到h组成的闭区间上连续，开区间上得 ，当h>0时， ①； 当-1<h<0时,1>1+ h>1+h>0 ②；
由①②知，当h>-1时,且h 0时,
推论1若f在区间I上可导，且 则f为I上的一个常量函数.
证： ,设 ，则f在 上满足Lagrange中值定理的条件.
证明：按左右导数证之. ,f在 上满足Lagrange定理 条件， , s.t. 又 ， 当 时， ， 对上式两边取极限.
设 ，同理可设 ，又 存在,记为K，故
例3 求分段函数 的导数.
解:略
定理区间I上处处可导的函数f其导函数在I上不可能有第一类间断点.
二 、 单调函数
定理6.3设f在I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是