数学文化选讲

案例选讲
• 例一、《周髀算经》与勾股定理——中 国与世界数学的骄傲
• 例二、类比与创新思维 • 例三、哥尼斯堡七桥问题与抽象思维 • 例四、莫比乌斯带与反常思维
例一、《周髀算经》与勾股定理 ——中国和世界数学的骄傲
我国古代称直角三角形两条直角边为“勾和股”， 称斜边为“弦”。“在直角三角形中，两条直角边的平 方和，等于斜边的平方”，因而这个结论在我国成为“ 勾股定理”。早在周朝初年（约公元前1100年），周 朝大夫高商发现了直角三角形的一个特例：“勾三、股 四、弦五”；我国古算书《周髀算经》记载陈子已发现 勾股定理的公式和证明方式；公元三世纪，三国吴人赵 爽对《周髀算经》中的勾股定理给出了详细的注解，作 出了另一个证明。
很多人知道北京2008年举行奥运会，可是 很少有人知道2002年在北京举行的“国际数学 家大会”，这是我国许多世界顶尖级数学大师 和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择 了赵爽所作的“弦图”。
赵爽证法：如图所示，a、b、c表示勾、股、弦 ，以a、b为直角边的每个直角三角形为“朱实” ，即图中有4个朱实，中间的一个以b-a为边长 的正方形为“中黄实”，
• 2002年，第24届国际数学家大会在中国北京召开，大 会成立的中国少年数学活动论坛，陈省身先生为中国少年 数学活动论坛题词“数学好玩”，鼓励青少年喜欢数学、 学好数学。之后“中国少年数学活动论坛”会场的横幅标 语中，使用了“数学文化”一词。
“ห้องสมุดไป่ตู้学文化”的使用
• 2003年，“数学文化”首次进入官方文件——《普通高 中数学课程标准》。
“数学文化”的内涵
狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以 及它们的形成和发展。
广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、 数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，数 学与社会的联系，数学与各种文化的关系等等。
本课使用的“数学文化”一词，更多的倾向于 它的狭义内涵。
耐人寻味的思考
耐人寻味的是与数学文化平行的像物理文化、化 学文化、生物文化等等这样类似的词汇，并没有像 数学文化这样在最近十年里得到如此广泛的应用。 这表明，数学科学在本质上有不同于物理科学、化 学科学、生命科学等自然科学的地方。
数学科学研究的对象，并不是某种具体的物质运 动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的 事物，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和 普遍使用的特征，具有公共基础的地位。
• 一个人不识字可以生活，但不 识数却很难生活。
• 一个学科，只有当它成功地运 用数学的时候，才算达到了成 熟的程度。
• 一个国家科学的进步，可以用 它消耗的数学来度量。
在陈子后一二百年，希腊数学家毕达哥拉斯发现这 个定理即 “毕达哥拉斯”定理，又称 “百牛定理”。
《周髀算经》为算经十书之一。约成书与公 元前二世纪，原名《周髀》，是中国最古老的天 文学著作，主要阐明当时盖天说和四分历法。唐 初规定它为国子监明算科的教材之一，改名为《 周髀算经》。其中明确记载了勾股定理公式：“ 若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方处之，得斜至日”。后来，赵爽 详细注解了《周髀算经》中的勾股定理，将其表 述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方处之即 弦”。又给出 新的证明“按弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相 乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
• 之后，国内越来越多的高校开始举办数学文化节、数学文 化月等活动，例如北京大学。
• 2008年，全国高校数学文化课程建设的研讨会在南开大 学召开，并由博士生导师顾沛教授组织编写了研讨会的论 文集。
• 与数学文化相关的书籍《数学与文化》《数学与人类文 明》、《数学的源与流》、《文化视野中的数学与数学教 育》、《数学文化漫谈》、《多元视角下的数学文化》、 丘成桐等编写的丛书《数学与人文》等三四百本之多。
类比——从两个事物在一些方面的相同或者类 似，推知它们在另一些方面的相同或者类似。
合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误 的。
它不是证明，因为它无法保证已知相同的属性 与推得的属性之间的必然联系。
它是获得新思路、新发现的一种观点、一种手 段、一种方法。
“类比”、“归纳”都是合情推理
“脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫”
概念间类比：一元一次方程——一元一次不等式 法则间类比：数的运算法则——整式的运算法则 性质间类比：除法——分数
4个平面最多能把空间分成 多少个部分？
用类比的方法，可得“16个部分”的答 案，但却是错误的。
平面分空间，要想分得的部分数最多，就 要求平面与平面相交的情况最复杂。
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类比不是证明
数学文化选讲
陇东学院数学与统计学院 金晶
“数学文化”的使用 “数学文化”的内涵 案例选讲
“数学文化”的使用
• 该词使用已有二十年以上； • 在国内，最早使用该词是在1990年邓东皋、孙小礼等学
者编写的《数学与文化》及齐民友先生的《数学与文化》；
• 近十年这个词使用的多起来；
• 这个词的使用频率近年大大增加，说明它有生命力的，说 明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学， 更愿意强调数学的文化价值。
类比不是证明，只是合情的猜测，是合情 推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去 认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是 用类比，归纳的方法去研究问题的决定性步 骤
3+4=7
3+4+4=11
8+7=15
例三、格尼斯堡七桥问题与抽象思维
• 学会数学“抽象”是一种基本的数学素养。 • 学生却因为数学抽象而感觉数学枯燥、难学。 • 其实“抽象”是数学的武器，是数学的优势。 • 了解“抽象”的思想、原则、方法和作用，实 践“抽象”的过程，学会“抽象”的手段，喜欢“ 抽象”。
以弦c为边长的大正方形 叫“弦实”，此图成为 “弦图”。
c 朱实 b a
中黄实 b-a
美国宇航员的一次寻找外星人的行动中，也
带去了一个证明勾股图形的黄金指制品，可见 勾股定理的证明是世界的骄傲，至今勾股定理 的证明已达到380多种，而很多人，仍然在探 寻新的证明方法。
例二、类比与创新思维
“类比”是一种合情推理