根的判别式专项练习
1.关于x 的方程kx 2+3x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
2. 若关于x 的方程()0222=+++a x a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 .
3. 已知：m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，求代数式5m 2﹣5m+2008的值．
4.若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为____．
5.方程4mx 2-mx ＋1=0有两个相等的实数根，则 m 为____．
6．若m 是非负整数且一元二次方程（1-m 2）x 2+2（1-m ）x-1=0有两个实数根，则m 的值为____．
7．若关于x 的二次方程kx 2+1=x-x 2有实数根，则k 的取值范围是____．
8．二次方程（k 2-1）x 2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k 为___．
9．若一元二次方程（1-3k ）x 2＋4x-2=0有实数根，则k 的取值范围是____．
10.已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______， 另一根为______.
11.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于
12.若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______
13.已知关于x 的方程()()01222=-++-m x m x .
求证：（1）方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两
根为边长的直角三角形的周长.
一元二次方程根的判别式专题 - 教师版
一元二次方程根的判别式专题 知识点一：已知系数直接判断方程根的情况 1．不解方程，直接判断下列方程根的情况． （1）2104 x - = （2）23630x x -+= （3）()2458x x x -=-- 【答案】（1）有两个不等实数根；（2）有两个相等实数根；（3）没有实数根 二、结合字母系数判断方程根的情况 2．判别下列关于x 的一元二次方程根的情况． （1）22125104 x mx m -++= （2）22440x mx m -+= 【答案】无实数根 【答案】有两个相等的实数根 （3）211022x mx m -+-= （4）21402 x mx m -+-= 【答案】有两个实数根 【答案】有两个不相等的实数根 三、结合“0a ≠”确定字母的取值范围 3．若关于x 的一元二次方程()25410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a ＞且5a ≠ C ．1a ≥且5a ≠ D ．5a ≠ 【答案】C 4．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程()()2212110m x m x -+-+=有两个不相等的实数根？ 【答案】依题意得( )()2221041410m m m ?-≠??---??＞，解得1m ＜且1m ≠-
四、判别式与隐含条件相结合 5．已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值． 【答案】依题意得：()4410k +-＞且10k -≠，解得2k ＜且1k ≠，所以k 的最大整数值为0． 6．已知关于x 的一元二次方程2450kx kx k -+-=有两个相等的实数根，求k 的值． 【答案】依题意得()2016450k k k k ≠???--=??，解得53k =-
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-
一元二次方程根的判别式 姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况可用b 2－4ac?来判定，?b 2－4ac?叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b 2－4ac>0?方程_________；（2）b 2－4ac=0?方程_________； （3）b 2－4ac<0?方程_________． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x 2－5x+3=0； （2）x 2；（3）3x 2+2=4x ； （4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）． 【例2】若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围． 【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4（k －12 ）=0．（1）求证：无论k 取什么实数 值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC 有一边长a=4，另两条边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 【例4】已知关于x 的方程x －2（m+1）x+m 2=0．（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x 2+3x －4=0的根的判别式△=________． 2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－10x+5=0有实数根，则m 的取值范围是______． 3．如果方程x 2－2x －m+3=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______，此时方程的根为________． 4．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0没有实数根，则k 的取值范围是______． 5．若关于x 的一元二次方程mx 2－2（3m －1）x+9m －1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是_______． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）． A ．x 2+2x －1=0 B ．x 2 C ．x 2 D ．－x 2+x+2=0 7．如果方程2x （kx －4）－x 2－6=0有实数根，则k 的最小整数是（ ）．A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）． A ．x 2－x+1=0 B ．x 2－2x+3=0 C ．x 2+x －1=0 D ．x 2+4=0 9．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）． A ．k<1 B ．k ≠0 C ．k<1且k ≠0 D ．k>1 10．关于x 的方程x 2+（3m －1）x+2m 2－m=0的根的情况是（ ）． A ．有两个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中，有实数根的是（ ） （A ）x 2+3x+1=0 （B （C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11 x - 2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）． A 、1或－4 B 、1 C 、－4 D 、－1或4 4．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．
根的判别式练习(答案版)
一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____． 7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择 那么α= [ ]． 18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]． 19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 则该方程 [ ]． A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根． 22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]． A．2； B．0； C．1； D．3． 23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]． A．1； B．2； C．-1； D．0． 24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数． [ ]． A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根． 26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]． A．-1； B．0； C．1； D．2． 29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]． A．4； B．1； C．-2； D．-6． 30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]． A．1； B．2； C．3； D． 4．
中考专题_一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【重点、难点、考点】 重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。 ②掌握根与系数的关系及应用 难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。 考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。 【经典范例引路】 例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m<43 B.m ≤43 C.m>43 且m ≠2 D.m ≥43 且 m ≠2 （2001年山西省中考试题） 【解题技巧点拨】 解 C ①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形 解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0） 方程有两实根Δ方程有两相等实根 Δ方程有两不等实根Δ?≥? ?? ?=?>000 Δ<0?方程没有实根 注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。 例2 先阅读下列第（1）题的解答过程
（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。 解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根 ∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2 ∴α2＝7－2αβ2＝7－2β ∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2 ×（－2）＝32 解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22 ∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22) ＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32 解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7 ∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2 ＋4α＝B ∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ① A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ② ①＋②得：2A＝64 ∴A＝32 请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题 （2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22 ＋3x2－66的值。 解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根 ∴x1＋x2＝1 且x12－x1－9＝0 x22－x2－9＝0 即 x12＝x1＋9 x22＝x2＋9 ∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66 ＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋ 6＝16 【同步达纲练习】 一、填空题
专题一元二次方程根的判别式含复习资料
一元二次方程根的判别式姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程20（a≠0）的根的情况可用b2－4?来判定，?b2－4?叫做，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4>0方程；（2）b2－4=0方程；（3）b2－4<0方程． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x2－53=0；（2）x2+22=0；（3）3x2+2=4x；（4）2+（）0（m≠0，m≠n）． 【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（2）1=0有实数根，求m的取值范围． 【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（21）4（k－）=0．（1）求证： 无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△有一边长4，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△的周长． 【例4】已知关于x的方程x－2（1）2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？ （2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△． 2．已知关于x的一元二次方程2－105=0有实数根，则m的取值范围是．
3．如果方程x2－2x－3=0有两个相等的实数根，则m的值为，此时方程的根为． 4．若关于x的一元二次方程2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是．5．若关于x的一元二次方程2－2（3m－1）9m－1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）． A．x2+2x－1=0 B．x2+23=0 C．x21=0 D．－x22=0 7．如果方程2x（－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．2 8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）． A．x2－1=0 B．x2－23=0 C．x2－1=0 D．x2+4=0 9．如果关于x的一元二次方程2－69=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）． A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>1 10．关于x的方程x2+（3m－1）2m2－0的根的情况是（）． A．有两个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中，有实数根的是（） （A）x2+31=0 （B） 1 （C）x2+23=0 （D）= 2．关于x的一元二次方程x2＋－1=0的根的情况是 A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根 3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（）．
中考专题：根的判别式
中考专题：根的判别式及相关运算 1.已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m＞0．求证：方程总有两个不相等的实数根 2. 已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根． 3. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根； （2）若两个实数根平方和等于5，求k的值． 4. 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1=0． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论k为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 5. 已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m≠0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
6. 已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0． （1）求证：该方程由两个不相等的实数根． （2）若此方程有一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的等腰三角形的周长． 8. 已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）=m2，求证：无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根；a，b是此方程的两根且a2+b2=12，求m的值． 9.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，
一元二次方程根的判别式专题训练
一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x
专题学习 根的判别式的综合运用
专题学习 一元二次方程根的判别式的综合运用 【学习目标】 1.判定方程根的情况。 2.利用判别式建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围。 3.利用判别式解决相关证明问题。 【知识储备】 1．叫做一元二次方程的根的判别式 2. 方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根 【难点突破】 利用判别式，判定根的情况及参数取值范围。 【典例精讲】 例1、关于x 的方程 （1）有两个相等的实数根，求的取值范围。 （2）有两个不相等等的实数根，求的取值范围。 （3）无实数根，求的取值范围。 （4）有实数根，求的取值范围。 （5）若方程的一个根为-2，求另一个根及值 方法点拔： 练习： 1、若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 。 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。 3、已知关于的方程，求证：取任意实数时，方程总 有实数根。 24b ac ?=-20(0)ax bx c a ++=≠0?>?0?=?0?
例2、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求 的值 方法点拔： 练习：已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简： 例3、已知是△的三边，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，是判断△的形状。 方法点拔： 练习：已知是△的三边，当时，关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，判断△的形状并说明理由。 【专题总结】 1、运用判别式 ，求方程中待定系数的值或取值范围。 2、利用判别式，解决化简求值问题。 3、利用判别式，判定三角形的形状。 x ()2100ax bx a ++=≠4 )2(22-+-b b a x 222(1)50x m x m ++++=1m -+,,a b c ABC 1,c 4a ==x 240x x b -+=ABC ,,a b c ABC 0m >x 22()()20c x m b x m ++--=ABC
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)
一元二次方程根的判别式 ◆课前预习 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0?方程_________；（2）b2－4ac=0?方程_________；（3）b2－4ac<0?方程_________． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0 ； （2）x2 （3）3x2+2=4x （4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．
【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值围． 【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1））=0．求证：无论k取什么实数值，x+4（k－1 2 这个方程总有实数根；
【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________． 2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值围是______． 3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________． 4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值围是______． 5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值围是_______．
根的判别式练习(答案版)
一元二次方程根的判别式练习题 令狐采学 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p （1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)(20201101103145)
一元二次方程根的判别式姓名 ?课前预习 1. _________________________________________________________________________________ 一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的根的情况可用b2—4ac?来判定，？b2—4ac?叫做______________________ ,通常用符号“△”为表示. (1) b2—4ac>0 方程__________ ; (2) b2—4ac=0 方程 _________ ; (3) b2—4ac<0 方程 _________ . 2?使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的____________ 形式. ?互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2—5x+3=0 ; (2) X2+2..2X+2=0 ; (3) 3x2+2=4x ; (4) mx2+ ( m+n) x+n=0 ( m 工0, m 工n). 【例2】若关于x的方程(m2—1) x2— 2 (m+2) x+1=0有实数根，求m的取值范围. 【例3】已知关于x的一元二次方程x2—( 2k+1 ) x+4 ( k—丄)=0. (1)求证：无论k取什么实数 2 值，这个方程总有实数根；(2)如果等腰厶ABC有一边长a=4,另两条边长b, c恰好是这个方程的两个实数根，求△ ABC的周长. 【例4】已知关于x的方程x — 2 (m+1) x+m2=0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根. ?跟进课堂 1 .方程2x2+3x —4=0的根的判别式△ = _______ . 2. _______________________________________________________________________ 已知关于x的一元二次方程mx2—10x+5=0有实数根，则m的取值范围是____________________________ . 3. 如果方程x2—2x —m+3=0有两个相等的实数根， 则m的值为_________ ,此时方程的根为_________ . 4 .若关于x的一元二次方程kx2+2x —仁0没有实数根，则k的取值范围是___________ . 5 .若关于x的一元二次方程mx2—2 ( 3m—1) x+9m —1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是 6 .下列一元二次方程中，没有实数根的是( ). A . x2+2x —仁0 B. X2+2T3X+3=0 C . x2+T2x+ 仁0 D. —x2+x+2=0 7.如果方程2x( kx —4) —x2—6=0有实数根，则k的最小整数是().A. — 1 B . 0 C . 1 D . 2 &下列一元二次方程中，有实数根的方程是( ). A . x2—x+仁0 B . x2—2x+3=0 C . x2+x —仁0 D . x2+4=0 9. 如果关于x的一元二次方程kx2—6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( ). A . k<1 B . k z 0 C . k<1 且k 工0 D . k>1 10 .关于x的方程x2+ (3m —1) x+2m2—m=0的根的情况是( ). A .有两个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D .没有实数根 ?课外作业 1. 在下列方程中，有实数根的是( ) (A) X2+3X+仁0 ( B) 4x—1=-1 (C) X2+2X+3=0( D) 上=丄 x 1 x 1 2. 关于x的一元二次方程x2+ kx—仁0的根的情况是 A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根
专题06一元二次方程的根的判别式(知识点串讲)(解析版)
专题06 一元二次方程的根的判别式 知识框架 重难突破 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 备注：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤ 0. )0(02≠=++a c bx ax ac b 42 -)0(02≠=++a c bx ax ?ac b 42 -=?c b a .,ac b 42-ac b 42 -()002≠=++a c bx ax ?ac b 42 -?ac b 42 -?ac b 42 -
备注：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 例1．（2020·重庆巴蜀中学初二月考）关于x 的一元二次方程220x kx --=（k 为实数）根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 【答案】A 【解析】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，24b ac -叫做一元二次方程()2 00++=≠ax bx c a 的根的判别式，通常用“?”来表示，即2=4?-b ac ，当>0? 时，方程有2个实数根，当=0?时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当?<0 时，方程没有实数根.方程220x kx -+=根的判别式()2 2=-41(2)80k k ?-??-=+>，所以有两个不相等的实数根． 练习1．（2020·吉林大学附属中学初三一模）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，则常数c 的值不可能为（ ） A ．1- B ．0 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】根据题意得△=（-4）2-4c≥0， 解得c≤4． 故选：D ． 练习2．（2019· 2210x -+=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 【答案】C 【解析】∵24b ac =-△ ( )2 241=-- 40=-<， ∴方程没有实数根． 故选：C ． ac b 42-
根的判别式的三种应用
根的判别式的三种应用 类型一：判断方程的解的情况 类型二、求字母系数的取值范围 类型三、证明一元二次方程根的情况 根、有两个不相等的实数、有两个相等的实数根 、只有一个实数根 、没有实数根 的根的情况是（） 的一元二次方程、关于D C B A ax x x 0112=-+时，求方程的根 ）当（况 时，判断方程的根的情）当（的一元二次方程、已知关于3231. 0222-===++m m m x x x 1 22 2 2 -012)1(12≠????=+--k k D k C k B k A k x x k x 且、、、、的取值范围（） ，则有两个不相等的实数根的方程、已知关于()()这两个实数根。相等的实数根，并求出数，使原方程有两个不选取一个合适的非零整对有实数根？取什么值时，原方程没当的方程、已知关于m m m x m x x 2)1(. 012222=++-()的值。出该方程的根；求取当最大整数值时：求）当（的最大整数值 ）求（有实数根。的一元二次方程 、已知关于11873222109863222+--- =+--x x x x a a x x a x 的值。，求满足条件的整数大于根都是整数，且有一根）如果方程的两个实数（实数根： ）求证：方程总有两个（的方程、已知关于m m x m mx x 121). 0(03)3(12≠=++-()的值。是等腰三角形时，求，当的长为实数根，第三边的长是这个方程的两个的两边若相等的实数根； 求证：该方程有两个不、已知一元二次方程k ABC BC AC AB ABC k k x k x ??=+++-5,2)1(. 0)12(222
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-讲解学习
专题：一元二次方程根的判别式(含答 案)-
一元二次方程根的判别式姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做 ________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0?方程_________；（2）b2－4ac=0?方程_________； （3）b2－4ac<0?方程_________． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0 x+2=0； （2）x2 （3）3x2+2=4x （4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围． 【例3】已知关于x的一元二次方程x2－ ）=0．求证：无论k取什（2k+1）x+4（k－1 2 么实数值，这个方程总有实数根； 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1） x+m2=0． （1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△ =________． 2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______． 3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________． 4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
初中数学中考复习专题：根的判别式及根与系数关系(含答案)
中考试题专题-根的判别式及根与系数关系 一、选择题 1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a>b ，则 b a =？ A.-5 B.-4 C.1 D. 3 2. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 A ．a c = B ．a b = C ．b c = D ． a b c == 3.(2009成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A.1k >- B.1k >-且0k ≠ C.1k < D. 1k <且0k ≠ 6.（2009烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 【关键词】根与系数的关系，根的定义 【答案】C 7. （2009年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 8.（2009年包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则 212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25 9. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a>b ，则 b a =？ (A) -5 (B) -4 (C) 1 (D) 3 。 11．（09湖北宜昌）设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )． A ．－4 B ．－1 C ．1 D ． 0 12．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A ．0122=--x x B ．0322 =+-x x C ．3322-=x x D ．0442=+-x x 二、填空题 1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2 2=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。 3.（2009年长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为，则实数k 的值为（ ）答案：A
根的判别式的十种常见应用(专题)
第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况 （1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax 练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． （1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax 类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围 k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）没有实数根 练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根
类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根 求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。 练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？ 类型四：应用根的判别式判断三角形的形状 已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5. （1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。 练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程 0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？
类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式 （1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值； （2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。 练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？ 类型六：判断抛物线与直线的交点情况 当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？ 练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。若直线和抛物线只有一个交点,求直线解析式。k 取何值时,直线和抛物线没有交点。