集合知识点总结及习题

集合复习

123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪

⎪⎨⎪⎪⎩

∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n

A A A

B

C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪

⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎧⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示

元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示

（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;

若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A;

4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

的方法

格式：{ a,b,c,d }

适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示

（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：{x|x满足的条件}

例如：{x∈R| x-3>2} 或{x| x-3>2}

适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}

正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}

整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}

有理数集Q

实数集R

有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示

例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}

Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，

A⊆（或B⊇A）

记为B

A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一

注意：①B

集合。

②符号∈与⊆的区别

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B

定义：如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

3.真子集:如果A⊆B,且存在元素x∈B,但x∉A,那么就说集合A是集合B

的真子集，记作A B(或B A)

4.性质

①任何一个集合是它本身的子集。A⊆A

②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C

③如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B

5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

运算

类型

交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元

素所组成的集合,叫做A,B

的交集．记作A B（读作

‘A交B’），即A B=

｛x|x∈A，且x∈B｝．

由所有属于集合A或属

于集合B的元素所组成

的集合，叫做A,B的并

集．记作：A B（读作

‘A并B’），即A B

={x|x∈A，或x∈B})．

设S是一个集合，A是S的一个子集，

由S中所有不属于A的元素组成的集

合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作A

C

S

，即

C S A=}

,

|

{A

x

S

x

x∉

∈且

韦

恩图示A B

图1

A B

图2

性质A A=A

A Φ=Φ

A B=

B A

A B⊆A

A B⊆B

A⊆B﹤＝﹥A B=A

A A=A

A Φ=A

A B=

B A

A B⊇Ａ

A B⊇B

A⊆B﹤＝﹥A B=B

(C u A) (C u B) = C u (A B)

(C u A) (C u B) = C u(A B)

A (C u A)=U A (C u A)= Φ．

S

A