对数函数的性质及应用

高中数学：对数函数的性质及应用
角度1 比较对数值的大小
已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝1
2＋log 213，则
a ，
b ，
c 的大小关系为( B )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．c ＞b ＞a
解析：a ＝log 29－log 23＝log 233， b ＝1＋log 2
7＝log 227，c ＝1
2＋log 213＝log 226，
因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c . 角度2 解对数不等式
已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞
f (2)，则x 的取值范围是( C )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)
解析：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)， 又f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2， 即－2＜lg x ＜2，解得1
100＜x ＜100.故选C. 角度3 对数型函数性质的综合应用
(2)(2019·宜春中学、新余四中联考)已知函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
(a －1)x ＋4－2a ，x ＜1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( A )
A ．(1,2]
B ．(－∞，2]
C ．(0,2]
D ．[2，＋∞)
解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，
当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，
且最大值大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1＞0，a －1＋4－2a ≥1， 解得a ∈(1,2]．
1.比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 2．解对数不等式的类型及方法
(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．
(2)形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．
3．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
(1)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C )
A ．(－∞，－1]
B ．[－1，＋∞)
C ．[－1,1)
D ．(－3，－1]
解析：由题意得－x 2－2x ＋3＞0，即－3＜x ＜1. 由f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1.
根据复合函数单调性的判断方法，要求函数f (x )的单调递增区间，只需求二次函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间(－3,1)上的单调递减区间即可，结合二次函数的图象可得y ＝－x 2－2x ＋3在区间[－1,1)上单调递减，故函数f (x )的单调递增区间是[－1,1)．故选C.
(2)(2019·武汉外国语学校模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a
2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为(1,25) .
解析：当x 1＜x 2≤a
2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数f (x )在区间⎝
⎛⎦
⎥
⎤－∞，a 2上为减函数，
设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎨⎧
a ＞1，
g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2＞0，解得1＜a ＜2 5.。