欧几里得内积空间

第九章 欧几里得空间

§1定义与基本性质

一、向量的内积

定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:

1) ),(),(αββα=;

2) ),(),(βαβαk k =;

3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;

4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα

这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.

例1 在线性空间n R 中,对于向量

),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,

定义内积

.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)

则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.

在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.

例2 在n R 里, 对于向量

),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,

定义内积

.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,

对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.

例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积

⎰=b

a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(

b a C 构成一个欧几里得空间.

同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.

例4 令H 是一切平方和收敛的实数列

+∞<=∑∞

=1221),,,,(n n n x x x x ξ

所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.

二、欧几里得空间的基本性质

1）定义中条件1）表明内积是对称的.

),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.

),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'

定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.

显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：

αα||k k = (3)

这里V R k ∈∈α,.

长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量

αα1

就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.

柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有

βαβα≤),( (5)

当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.

对于例1的空间n R ，(5)式就是

.22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++

对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是

2

12212)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰b a b a b

a dx x g dx x f dx x g x f 定义3 非零向量βα,的夹角><βα,规定为

πβαβ

αβαβα≤≤>=<,0,),(arccos , 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式

βαβα+≤+.

定义4 如果向量βα,的内积为零，即

0),(=βα

那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为

2

π. 只有零向量才与自己正交.

勾股定理：当βα,正交时， .2

22βαβα+=+ 推广：如果向量两m ααα,,,21 两两正交，那么

2

2221221m m αααααα+++=+++ . 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量

n n x x x εεεα+++= 2211,n n y y y εεεβ+++= 2211,

由内积的性质得

∑∑===++++++=n i n j j

i j i n

n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα

令

),,2,1,()

,(n j i a j i ij ==εε (8)

显然 .ji ij a a =

于是

∑∑===n i n

j j i ij y x a 11),(βα (9)

利用矩阵，),(βα还可以写成

AY X '=),(βα, (10)

其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵

nn ij a A )(=

称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.

设n ηηη,,,21 是空间V 的另外一组基，而由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为C ，即

C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =

于是不难算出，基n ηηη,,,21 的度量矩阵

()()AC C b B j i ij '===ηη,. (11)