高三数学充分必要条件

充要条件

教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系 教学重点：充要条件关系的判定．

（一） 主要知识：

1.充要条件的概念及关系的判定；

2.充要条件关系的证明．

（二）主要方法：

1.判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；

3.判断充要条件关系的四种方法：

①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；

若p q ⇔，则p 是q 的充要条件。

②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 p q ⇒等价于q p ⌝⌝⇒

③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；

若A B Ü，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；

若A B =，则A 是B 的充要条件；

若A B à且B A à，则p 是q 的既不充分也不必要条件

④利用“⇒”传递性

4.“否命题”与“命题的否定”的区别：

否命题是对原命题“若p 则q ”的条件p 和结论都否定，即“若p ⌝则q ⌝”； 而原命题的否定是：“若p 则q ⌝”，即只是否定原命题的结论。

5.探索充要条件：在探索一个结论成立的充要条件时，一般先探索必要条件，再确定充分条件；也可以一些基本的等价关系来探索。

（三）典例分析：

问题1． 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

()1在ABC △中，p ：A B >，q ：sin sin A B >

()2对于实数,x y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠

()3在ABC △中，p ：sin sin A B >，q ：tan tan A B >

()4已知x 、y R ∈，p ：22(1)(2)0x y -+-=，q ：(1)(2)0x y --=

问题2．（07浙江）“1x >”是“2x x >”的（ ）

.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件

问题3．（04重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的 必要条件．那么p 是q 成立的（ ）

.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

问题4．()1（全国高考）若A 是B 的必要不充分条件，则A ⌝是B ⌝的 ()2已知条件p ：2x y +≠-，条件q ：x 、y 不都是1-，则p 是q （ ）

.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 ()3（04湖北）若条件p ：1x +≤4，条件q ：256x x <-，则p ⌝是q ⌝的( )

.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

问题5．()1是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？

()2是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？

问题6．设x 、y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是xy ≥0．

（四）巩固练习：

1.（07福建文）“2x <”是“260x x --<”的（ ）

.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

2.若不等式x a -<1成立的充分条件为04<

.A [)3，+∞ .B [)1，+∞ .C (]-∞，3 .D (]-∞，1

3.若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件．

4.05x <<是|2|3x -<的 条件．

5.直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）

.A //,//a b αα .B //,//,//a b αβαβ

.C ,,//a b αβαβ⊥⊥ .D ,,a b αβαβ⊥⊥⊥

6.已知p 和q 是两个命题，如果p 是q 的充分但不必要条件，那么p ⌝是q ⌝的（ ）

.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

7.设命题p :43x -≤1；命题q :2(21)(1)x a x a a -+++≤0. 若非p 是非q 的必要 而不充分条件，则实数a 的取值范围是

（五）课后作业：

1.如果p 是q 的充分条件，r 是q 的必要条件，那么（ ）

.A p r ⌝⌝⇒ .B p r ⌝⌝⇐ .C p r ⌝⌝⇔ .D r p ⇔

2.“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的（ ）

.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

3.求证：关于x 的方程210x mx ++=有两个负实根的充要条件是m ≥2

4.已知p :113

x --≤2,q :2221x x m -+-≤0()0m >，若p ⌝是q ⌝的必要不充分 条件，求实数m 的取值范围.

（六）走向高考

1.（07全国Ⅰ）()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）

.A 充要条件.B 充分而不必要的条件.C 必要而不充分的条件.D 既不充分也不必要的条件

2.（07湖北文）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：

①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充

分条件；④p ⌝是s ⌝

的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是（ ）.A ①④⑤ .B ①②④ .C ②③⑤ .D ②④⑤

3.（07江西文）设p ：32()21f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，q ：m ≥43

，则p 是q 的（ ） .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

4.（06北京理）若a 与 b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()

a b c ⊥-”的 .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

5. (06山东)设p ：2

200x x --> q ：2

102x x -<-,则p 是q 的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件