高三数学起点考试试题

1 cos A
17．(本小题满分 12 分) 等差数列{ a n }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 30 , a 20 50 . （Ⅰ）求通项 a n ； （Ⅱ）若 Sn=242，求 n.
18．(本小题满分 12 分) 有一块边长为 6m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后焊接 成一个无盖的蓄水池。 （Ⅰ）写出以 x 为自变量的容积 V 的函数解析式 V(x)，并求函数 V(x)的定义域； （Ⅱ）指出函数 V(x)的单调区间； （Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？
r n
p
r
(
p) nr
B、 C
p r r
n
(
p) nr
C、 p r ( p) n r
D、 C
r n
p
r
(
p) nr
5．若把一个函数 y f ( x ) 的图象按 a ( ,1) 平移后得到函数 y cos x 的图象，则 3
函数 y f ( x ) 的解析式为（
）
A、 y cos( x ) 1 3
y
(m ＜）
a a
m m
∵椭圆、双曲线都经过点 M(1，2)
∴
a
a
解得
a
(舍去）或
a
m
m
m (舍去）或 m
∴椭圆与双曲线的方程分别为 x y 、 x y
………7 分
（Ⅱ）设 A ( x , y ) 为抛物线上任意一点，则
C1 B1
C P
B
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡相应的位置上。
n
11．若二项式
x
2
的展开式的第五项是常数项，则此常数项为
x
12．已知实数
x、y
满足
x
y
，则 x y 的最大值是
x y
13．某校有老师 200 人，男生学 1200 人，女学生 1000 人。现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80 人， 则 n=
武汉市部分重点中学 2008——2009 学年度新高三起点考试
一、选择题 DBCBD CCDCD 二、填空题
数学答案（文科）
11．1120 12．2 13．192 14． x 或 y x
15． a 、
a
三、解答题
16．解：在ΔABC 中，∵ 5(b 2 c 2 a 2 ) 6bc ，
不等的实数根 .结合图形可知
4 : k (0, )
27
………13 分
21．解：（Ⅰ）设抛物线的方程为 y px ∵M(1，2)在抛物线上，∴ p 即 p＝2
∴抛物线方程为 y x ，焦点为(1，0)
………3 分
∵椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为
x
y
(a ＞）， x
故 ( b ) ,即 b )
F ( x ) ( x )( x x ) x x x
故 F'(x)
x
x
( x
)( x
)
令 F ' ( x ) , 解得 x 或 x
列表如下：
分
x F '(x)
5 ( , )
3
+
5
5 ( , 1)
8．数列{x n } 满足 x
，x
，且
x n
x n
xn
(n
) ，则 x n 等于（
）
Ａ、 ( ) n
Ｂ、 ( ) n
Ｃ、 n
Ｄ、 n
9．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[.，) 是其中的一组，抽查出的个
体在该组上的频率为 0 .2 ，该组上的直方图的高为 h ，则 h 为（
＝
(x
)
x
(x )
n(x
) n
(n )x n n
当 n＝２时，u 为定值 ，∴满足题意的直线 l 存在，其方程为 x＝２ ………14 分
∴EM∥平面 A1B1C1D1………………6 分
பைடு நூலகம்
（Ⅱ）由⑴EM∥平面 A1B1C1D1
EM 平面 A1BMN
平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N
∴A1N// EM// FC1 ∴N 为 C1D1 中点
过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H，连 BH，
根据三垂线定理 BH⊥A1N
∠BHB1 即为二面角 B—A1N—B1 的平面角……8 分
故蓄水池的底边为 4m 时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16 m 3 . ………12 分
19．解：Ⅰ）证明：取 A1B1 的中点 F，连 EF，C1F
∵E 为 A1B 中点
∴EF∥
1 BB1
2
又∵M 为 CC1 中点 ∴EF∥ C1M∴四边形 EFC1M 为平行四边形 ∴EM∥FC1
而 EM 平面 A1B1C1D1 . FC1 平面 A1B1C1D1 .
A、 0 .1
B、 0 .05
Ｃ、 0 .08
Ｄ、 0 .2
10．如右图所示，在单位正方体 ABCD A1 B1C 1 D1 的面对角线
A1 B 上存在一点 P 使得 AP D1 P 最短，则 AP D1 P 的最小值
为（
）
A、2 B、 2 6 2
C、 2 2
D、 2 2
）
D1 A1
D A
19．(本小题满分 12 分) 如图，在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1= 1 AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中
2 点，过点 A1，B，M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. （Ⅰ）求证：EM∥平面 A1B1C1D1； （Ⅱ）求二面角 B—A1N—B1 的正切值.
6 2x 0
………4 分
（Ⅱ）由V ( x) x(6 2 x) 2 4 x 3 24 x 2 36 x 得V ' ( x) 12 x 2 48 x 36 .
令V ' ( x) 12 x 2 48 x 36 0 ，解得 x<1 或 x>3;
令V ' ( x) 12 x 2 48 x 36 0 ，解得 1<x<3. 故函数 V(x)的单调增区间是（0，1），单调减区间为（1，3）. ………8 分 （Ⅲ）令V ' ( x) 12 x 2 48 x 36 0 ，得 x=1 或 x=3（舍）. 并求得 V(1)=16. 由 V(x)的单调性知，16 为 V(x)的最大值.
20．解：（Ⅰ）依题意，令 f ' ( x ) g ' ( x ), ，得1 2 x 3, 故 x 1
函数 f ( x )的图像与函数 g ( x )的图象的切点为 ( , )
将切点坐标代入函数 f ( x ) x b可得 b
(或 : 依题意方程 f ( x )) g ( x ), 即 x x b 有唯一实数解
20．(本小题满分 13 分)
已知函数 f ( x ) x b 的图像与函数 g ( x) x 2 3 x 2 的图象相切，记 F ( x ) f ( x ) g ( x ). （Ⅰ）求实数 b 的值及函数 F（x）的极值； （Ⅱ）若关于 x 的方程 F（x）=k 恰有三个不等的实数根，求实数 k 的取值范围.
高三数学起点考试试题
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．若 M { x | x 1} ，则下列选项正确的是
（）
A、0 M
B、{0}∈M
C、φ∈M
D、{0} M
2． sin 的值为 （
）
A、
B、
C、
D、
3．由０，１，２，…，９这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之
差的绝对值等于８的个数为（
）
Ａ、180 B、196 C、210 D、224
4．已知某人每次投篮投中的概率为 p，各次投篮结果互不影响，直至进行第 n 次投篮，
才有 r（1≤r≤n）次投中的概率为（
）
A、 C
（4）垂直于同一直线的两个平面一定平行
其中正确的命题有（
）个
A、1 B、2 C、3 D、4
7 ． 设 ( x ) ( x ) ( x ) ( nx ) a a x a x ， 则
a a （
）
A、 n
B、 n n
C、 n n
D、 n n
∴ cos A b 2 c 2 a 2 3 ，∴ sin A 4 ……（5 分）
2bc
5
5
原式 2 sin A cos A 2 sin 2 A 2 sin A(cos A sin A) cos A
sin A 1
cos A sin A
cos A
2 sin
A cos
A
43 2
24
14．若直线 l 过定点 M (,) 且和抛物线 y x 有且仅有一个公共点，则直线 l 的方程
是 S
15．底面边长为 a 正四棱锥 S—ABCD 内接于球 O，过球心 O
的一个截面如图，则球 O 的表面积为
；A、B 的球
面距离为
A
O
C
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．(本小题满分 12 分) 已知ΔABC 中， 5(b 2 c 2 a 2 ) 6bc , 求 sin 2 A 2 sin 2 A 的值。
21．(本小题满分 14 分) 已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点 M(1，2)，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线 的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线方程； （Ⅱ）若定点 P(3，0)，A 为抛物线上任意一点，是否存在垂直于 x 轴的直线 l 被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。
－1
( 1, )
3
3
0
－
0
+
F (x)
↗
极大值 4
↘
极小值 0
↗
27
从上表可知 F ( x )在 x 5 处取得极大值 4 , 在 x 1 处取得极小值. ………7 分
3
27
（Ⅱ）由（1）可知函数 y F ( x )大致图象如下图所示 . 作函数 y k 的图象，当
y F ( x ) 的图象与函数 y k 的图象有三个交点时，关于 x 的方程 F ( x ) k恰有三个
设 AA1=a， 则 AB=2a， ∵A1B1C1D1 为正方形
∴A1H= 5a
又∵△A1B1H∽△NA1D1
∴B1H= 2 a 2a 4a ，在 Rt△BB1H 中，tan∠BHB1= BB 1 a 5
5a
5
B1H 4a
4
5
即二面角 B—A1N—B1 的正切值为 5 ……12 分 （空间向量按步骤给分） 4
……（12 分）
5 5 25
17．解：（Ⅰ）由 a n a1 (n 1)d , a10 30 , a 20 50 , 得方程组
a1 9 d 30 , a1 19 d 50 .
……4 分 解得 a1 12 , d 2 .
所以
a n 2n 10 . ……7 分
（Ⅱ）由 S n
na 1
n (n 1) 2 d,Sn
242
得方程
12 n
n (n 1) 2
242 .
……10 分
解得 n 11或 n
22 (舍去 ). ………12 分
2
18．解：（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为 a，则 a=6-2x,
则蓄水池的容积为：V ( x) x(6 2 x) 2 .
由
x
0
得函数 V(x)的定义域为 x∈(0,3).
B、 y cos( x ) 1 3
C、 y cos( x ) 1 3
D、 y cos( x ) 1 3
6．以下是立体几何中关于线、面的四个命题
（1）垂直于同一平面的两个平面平行
（2）若异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何一个平面与 b 均不垂直
（3）垂直于同一平面的两条直线一定平行
又 P(3，0)，以 AP 为直径的圆的半径 r | AP |
(x
)
y
(x ) x
圆心 B 为 AP 中点，∴B ( x
,
y
) ，设直线 l：x＝n，则圆心 B 到 l 的距离 d=|
x
n
|
则弦长 u＝２ r d ＝ ( x ) x | x n |