数学分析第一章

第一章 实数集与函数
§1 实数
Ⅰ.教学目的与要求
1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法
2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用
3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点
重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.
难点: 实数的定义及其应用.
Ⅲ.讲授内容
一 实数及其性质
实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．
有理数的表示:有理数可用分数形式q p
(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进
小数或无限十进循环小数来表示.
无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．
有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a
1a 2n a K 时，其中0,9≤≤i a i=1,2,K n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a (K 1)̣.999 9,K
而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，
例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．
我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数
x= 0a .a a 1n a K ,K y=,.210K K n b b b b
其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，,K 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．
对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．
定义2 : x =a 0.a 1a 2n a K K 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a K K 为实数
x 的n 位不足近似，而有理数=n x n
n x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2,K . 对于负实数ΛΛn a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为
n n n a a a a a x 10
1.3210--=Λ与=n x n a a a a a Λ3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．
命题 设x=a 0.a 1a
2K 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数，则x>y 的等价条件是：存
在非负整数n ，使得 x n >n y ，
其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似．
例1 设x 、y 为实数，x<y.证明：存在有理数r 满足x y r <<.
证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <，令 r=
),(2
1n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤
即得 x<r<y ．
全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x
实数的主要性质：
1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数．
2．实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一：a <b, a =b ,a >b .
3．实数的大小关系具有传递性，即若a >b ，b >c ，则有a >c ．
4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．
5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．
6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒
例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．
证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．
二 绝对值与不等式
实数a 的绝对值定义为
⎩
⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1． a a -=≥0；当且仅当a =0时有a =0．
2．a -≤a ≤a ．
3．a h <h a h <<-⇔；()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒
4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式：b a b a b a +≤±≤-.
5．b a ab =．
6．()0≠=b b
a b a ． 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．
由性质2有
.,b b b a a a ≤≤-≤≤-
两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-
根据性质3，上式等价于
.b a b a +≤+ ()1
将(1)式b 换成b -，(1)式右边不变，即得b a b a +≤-，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=
.b b a a +-≤
从而得
.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关
性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.
3、4、5、6、7、8、9.
Ⅴ课外作业:P
４。