第26章《圆》常考题集(35)：26.8 正多边形与圆

D．75° 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，P 为正三角形 ABC 外接圆上一点，则∠APB＝（ ）
A．150°
B．135°
C．115°
D．120°
10．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为（ ）
A．1：
B． ：2
C．2：
D． ：1
11．已知正三角形的边长为 6，则这个正三角形的外接圆半径是（ ）
．
17．将一个边长为 1 的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 果保留根号）
．（结
18．如图，PQ＝3，以 PQ 为直径的圆与一个以 5 为半径的圆相切于点 P，正方形 ABCD 的
顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q．则 AB＝
．
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19．如图，已知在⊙O 中，直径 MN＝10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半径 OM、
（1）如图 1，当 n＝3 时，设 AB 切⊙P 于点 C，连接 OC，OA，OB， ∴OC⊥AB， ∴OA＝OB，
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∴∠AOC＝ ∠AOB，∴AB＝2BC．
在 Rt△AOC 中， ∵∠AOC＝ •
＝60°，OC＝r，
∴AC＝r•tan60°，∴AB＝2r•tan60°， ∴S△OAB＝ •r•2r•tan60°＝r2tan60°，
对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个
圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖．对于平面图形 A，如果存在两个或两个以上的
圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图
形 A 被这些圆所覆盖．
例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为 1cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是
cm；
（2）边长为 1cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是
cm；
（3）长为 2cm，宽为 1cm 的矩形被两个半径均为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是
cm．这
两个圆的圆心距是
cm
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的内接正方形，…，则按以上规律作出的第 7 个圆的内接正方形的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
填空题
14．如图，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 上不同于点 B 的任意一点，
则∠BPC＝
度．
15．已知正六边形的边长为 2，那么它的边心距是
．
16．如图，正六边形内接于圆 O，圆 O 的半径为 10，则图中阴影部分的面积为
则∠BPC 的度数是
度．
22．若用半径为 r 的圆形桌布将边长为 60cm 的正方形餐桌盖住，则 r 的最小值为
cm．
23．如图，点 O 是正△ACE 和正△BDF 的中心，且 AE∥BD，则∠AOF＝
度．
解答题
24．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
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①如图 1，在正三角形 ABC 中，M，N 分别是 AC，AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O， 若∠BON＝60°，则 BM＝CN； ②如图 2，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O， 若∠BON＝90°，则 BM＝CN． 然后运用类比的思想提出了如下命题； ③如图 3，在正五边形 ABCDE 中，M，N 分别是 CD，DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝108°，则 BM＝CN．任务要求： （1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明； （2）请你继续完成下面的探索： ①如图 4，在正 n（n≥3）边形 ABCDEF…中，M，N 分别是 CD，DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，试问当∠BON 等于多少度时，结论 BM＝CN 成立；（不要求证明） ②如图 5，在正五边形 ABCDE 中，M，N 分别是 DE，AE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若∠BON＝108°时，试问结论 BM＝CN 是否还成立．若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由． 25．阅读材料并解答问题： 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正 四边形的内切圆，与正 n 边形各边都相切的圆叫做正 n 边形的内切圆，设正 n（n≥3）边 形的面积为 S 正 n 边形，其内切圆的半径为 r，试探索正 n 边形的面积．
第 26 章《圆》常考题集（35）：26.8 正多边形与圆
选择题 1．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O 的内接正方形的面积为
（）
A．2
B．4
C．8
D．16
2．已知：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 上不同于点 C 的任意 一点，则∠BPC 的度数是（ ）
OP 上，并且∠POM＝45°，则 AB 的长为
．
20．如图是对称中心为点 O 的正六边形．如果用一个含 30°角的直角三角板的角，借助点
O（使角的顶点落在点 O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能的值
是
．
21．如图，正方形 ABCD 是⊙Oபைடு நூலகம்的内接正方形，点 P 在劣弧 上不同于点 C 的任意一点，
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
3．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径
为（ ）
A．
cm
B．9cm
C． cm
D． cm
4．如图，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ）
A．30°
B．45°
C．55°
5．边长为 a 的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
12．以半径为 1 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形
B．这个三角形是等腰三角形
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C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 13．先作半径为 的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆
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A．2a
B．a
C．
6．边长为 a 的正六边形的面积等于（ ）
第1页（共7页）
D．60° D．
A． a2
B．a2
C．
a2
D． a2
7．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR， 则∠AOQ＝（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
8．如图，若正方形 A1B1C1D1 内接于正方形 ABCD 的内接圆，则
6，12； 21．45； 22．30 ； 23．60；
解答题
24．
； 25．；； 26． ； ； ；1；
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∴S 正三角形＝3S△OAB＝3r2•tan60 度．
（2）如图 2，当 n＝4 时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S 正四边形＝4S△OAB＝
；
（3）如图 3，当 n＝5 时，仿照（1）中的方法和过程求 S ； 正五边形
（4）如图 4，根据以上探索过程，请直接写出 S 正 n 边形＝
．
26．阅读下面材料：
第 26 章《圆》常考题集（35）：26.8 正多边形与圆
参考答案
选择题 1．A； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．C； 7．D； 8．B； 9．D； 10．C； 11．B； 12．C； 13．A； 填空题 14．45； 15． ； 16．100π﹣150 ； 17．1+ ； 18．6； 19． ； 20．2，3，4，