中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析

因为∠DAE＋∠DBA＝ 1 ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2
（3）略 点评：本题是圆为载体的角度定值问题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内 角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算 得到定值。
三、周长定值
长为半径作⊙D，分别过点 A、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略
分析：（1）连接 OA，OP 与 AB 的交点为 F，则△OAF 为直角三角形，且 OA＝1，OF＝ 1 ，借 2
助勾股定理可求得 AF 的长，根据垂径定理求得 AB；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判
定
∠CAB＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以 AD 和 BD 分别为∠CAB 和 ∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA 是定值，而∠DAE＋∠DBA 等于弧 AB 所对的圆周 角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。 解：（1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 F，则有 OA＝1．
中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析
在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另
一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于
有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要
善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊
点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 y ＝－ 1 x ＋ b 交折线 2
OAB 于点 E． （1）略 （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1，
试探究 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠 部分的面积；若改变，请说明理由. y
的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→O→B 运动，当其中一个点
到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）（2）略
（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N，连接 MN．将∠MCN
绕着 C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上．试判断在这
A． 12
B． 6
C． 24
D．不确定
5
5
5
解析：因为四边形 ABCD 是矩形，由勾股定理得 AC=BD=5.
过点 P 分别作 AC、BD 的垂线 PE、PF，容易得△PDF∽△BDA，
∴ PD PF ，即 PD PF ，∴ PF 3 PD ，
BD AB
53
5
同理 PE 3 PA ， 5
∴PE+PF＝ 3 (PA PD) 12 ．故答案为 A。
5
5
点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如 P 与 A
重合、P 与 B 重合或 P 为 AD 的中点等特殊情形下，求出 PE＋PF 的值探求答案．
二、角度定值 例 2．（2010 年广东广州）如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦 AB 垂直平分线段
OP，点 D 是 APB 上任一点（与端点 A、B 不重合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE
∵弦 AB 垂直平分线段 OP，∴OF＝ 1 OP＝ 1 ，AF＝BF． 22
在 Rt△OAF 中，∵AF＝ OA2 OF 2 ＝ 12 (1) 2 ＝ 3 ，∴AB＝2AF＝ 3 ．
2
2
（2）∠ACB 是定值.
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理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点 D 为△ABC 的内心，所以，连结 AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
∴ FCN FCA NCA MCO NCA OCA MCN 60 ．
∴ FCN MCN ．
又∵ MC CF,CN CN ． ∴ MCN ≌ FCN ．∴ MN NF ．
∴ BM MN BN BM NF BN BO OM BA AF BA BO 4 ． ∴ BMN 的周长不变，其周长为 4． 点评：本题是定角（60°）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的 BMN 的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，直接计 算证明了周长为定值。解题时，也可让∠MCN 运动到 MN 平行于 OA 或 M 与 O 重合或 N 与 A 重 合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。 三、面积定值 例 3．（2010 广州）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），
值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消
去变量，从而得到定值。以下以 2010 年中考题为例说明具体的求解策略
一、长度定值
例 1．（2010 山东聊城）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点，矩形的两条边 AB、BC
的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）
一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，
请说明理由．
y B
解：（1）（2）略
M N
O
x A
C
F
图③
（3） BMN 的周长不发生变化． 延长 BA至点 F ，使 AF OM ，连结 CF ．（如图③）
∵ MOC FAC 90,OC AC ，
∴ MOC ≌ FAC ． ∴ MC CF ， MCO FCA．
例 3．（2010 重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边△OAB 的顶
点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点 C 在第四象限，OC
＝AC，∠C＝120°．现有两动点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位