理论力学9—刚体的平面运动

因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。
A1
N
A
S
A2
M
刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。
9.1 刚体平面运动概述和运动分解
平面图形S在其平面上的位置完
y
全可由图形内任意线段O'M的位置来
确定，而要确定此线段的位置，只需
A vA B vB
C
A vA
C B
vB
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图 所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动： 此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相 等)
vA A
w
O
vB B
另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它 只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。
是绕O'点转角为 = f3(t)的转动。
9.1 刚体平面运动概述和运动分解
平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以 解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以 轮心点O'为原点取动参考系O'x'y'，则车厢的平动是牵连运动， 车轮绕平动参考系原点O'的转动是相对运动，二者的合成就是 车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子作平面运动时，可在轮心 O'处固连一个平动参考系O'x'y'，同样可把轮子这种较为复杂的 平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。
S
确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段
O'M与固定坐标轴Ox间的夹角即可。 点O'的坐标和角都是时间的函数，
O'
即
O
xO f1(t), yO f2 (t), f3 (t)
M x
这就是平面图形的运动方程。
平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按 点O'的运动方程xO' = f1(t), yO' = f2(t)的平移，没有转动；另一部分
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离 成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线， 指向图形转动的一方。
w
C
vA
vD D
A
vB
Cw
B
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
确定速度瞬心位置的方法有下列几种： (1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图 形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。 如车轮在地面上作无滑动的滚动时。
vA wO OA wO (r1 r2 )
以A为基点，分析两轮接触点D的 速度。
vD vA vDA
B
C
vA A II wII
vA D
wOwk.baidu.com
vDA
O
由于齿轮I固定不动，接触点D不
滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA
＝ wO(r1+r2) ，方向与vA相反，vDA
为点D相对基点A的速度，应有vDA
投影相等。这就是速度投影定理。
例3 用速度投影定理解例1。
解：由速度投影定理得
r
r
[vB ]AB [v A]AB
vA cos 30 vB cos 60
解得
vB 10 3 cm s
vB B
30°
vA A
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度为
w，图形上点A的速度为vA，
运动可看成为随同基点的平
移和张基点转动这两部分运
O
x
动的合成。
9.2 求平面图形内各点速度的基点法
1. 基点法
已知O'点的速度及平面图形转动 的角速度，求M点的速度。
vM
r rr va ve vr
vO' vMO'
r rr vM vO vMO
w
M
vO'
O'
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速 度合成法或称基点法。
3rw
3
vA
wA
O 30º
D 30º
C1
wAB
B
vB
C
vC
wBC
C2
例10 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图
所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w＝2rad/s，曲
柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2
时，AB∥O1O2 ，且AD与AO1在同一直线上， =30º。试求三角板
y'
y'
O'
x'
O'
x'
9.1 刚体平面运动概述和运动分解
对于任意的平面运动，
可在平面图形上任取一点O'，
称为基点。在这一点假想地 安上一个平移参考系O'x'y'；
y y'
平面图形运动时，动坐标轴
方向始终保持不变，可令其
分 别 平 行 于 定 坐 标 轴 Ox 和 Oy 。于是平面图形的平面
O'
x'
确定瞬心的一般方法：
C w vB A B vA
B vB
A vA
A vA C w vB B
A vA B vB
A B
vvBA
w
C
w C
例4 用速度瞬心法解例1。 解： AB作平面运动
瞬心在C点 vB
w

vA AC

vA l sin 30o
1rad
s
B
vB BC w l cos 30o w
O
各点的速度方向分别为各
vA2
点与A点连线的垂线方向，转向
与w相同，由此可见车轮顶点的
A1
速度最快，最下面点的速度为
零。
vA2 vA4 2rw 2v vA3 2rw 2v
例6 已知四连杆机构中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以
w绕O轴转动。求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则
wAB

vA AC1

rw
AB cos 30o

2
3rw
3l
vB BC1 wAB AB sin 30o wAB
l 2 3rw 3 rw
2 3l 3
连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则
wBC

vB BC2

3rw
3l
vC CC2 wBC
w
O1
vB
B
w2
O2
vD CD wABD 0.254 m/s
wABD
C
例11 图示蒸汽机传动机构中 ，已知：活塞的速度为 v，O1A1=a1, O2A2=a2, CB1=b1, CB2=b2; 齿轮半径分别为r1和r2；且有a1b2r2≠a2b1r1。当杆EC水平，杆 B1B2铅直，A1，A2和O1，O2都在一条铅直线上时，求齿轮O1的角速度。
以A为基点，分析点C的速度。
vC vA vCA
vCA wII CA wO (r1 r2 ) vA
vCA与vA方向一致且相等，点C的速度
vC vC vA 2wO (r1 r2 )
vC
vA B
vA vCA C
vB vBA
vA
A II wII
D
wO
O
I
9.2 求平面图形内各点速度的基点法
解：AB作平面运动，OA和O1B 都作定轴转动，C点是AB杆作平 面运动的速度瞬心。
wAB C
OA 2l, AB BC 3 l 2
AC 3 2 l, DC 3 5 l
2
4
vA
A
w
vD vB
B D 90º
vA OAw 2lw
O 45º
90º O1
wAB

vA AC

3
2lw
2l

2w
3
2
vB BC wAB lw
vD DC wAB
5 lw
2
例7 直杆AB与圆柱O相切于D点，
杆的A端以 vA 60 cm s 匀速向前滑 B
w AB
C
2
动，圆柱半径 r 10cm ，圆柱与地
面、圆柱与直杆之间均无滑动，如 w
图，求 60时圆柱的角速度。
解：设齿轮O1转动方向为逆时针，则齿轮O2的转动方向为顺时针。因A1，A2 和O1，O2在一条铅直线上，所以A1，A2点的速度均为水平方向，如图所示 。
2. 速度投影定理
r rr v B v A v BA
将等式两边同时向AB方向投影:
r
r
r
[vB ]AB [v A]AB [vBA]AB
vB
vA vBA
B
由于vBA垂直于AB，因此
[vBrA]AB=0。于r是 [vB ]AB [v A]AB
w
vA
A
同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的
v
C
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速 度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。
vA
A
w
O
C
wAB
vB B
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并 且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬 心必定在连线AB与速度矢 vA和vB 端点连线的 交点C上。
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在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始 终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
此处有 影片播 放
9.1 刚体平面运动概述和运动分解
刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。
若作一平面N与平面M平行,
并以此去截割刚体得一平 面图形S。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。
例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A 的速度vA=10 cm/s ，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B 和连杆中点M的速度。
解: AB作平面运动，以A为基点， 分析B点的速度。
r rr
vB
30°
vBA
vB vA vBA
vA
B wAB
由图中几何关系得：
M
vB vA cot 30o 10 3 cm/s
解之得
vM 10 cm s
tan 3
60
y
B vM vMA

vA
M wAB
30°
x
vA A
例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿
轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速 度wII及其上B，C两点的速度。
解:行星齿轮II作平面运动，求得A 点的速度为
如图。在vA的垂线上取一点C S (由vA到AC的转向与图形的转 向一致)，有
vCA
N
C
vA
vC vA w AC
A
如果取AC＝ vA /w ，则
vC vA w AC 0
w vA
定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点。
该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。
O
解一：圆柱作平面运动，其
瞬心在C1点，设其角速度为w 。 vD DC1 w 3rw
C1
D vD
A vA
wABAB圆柱Dv作CD 2平 面A运vCA动2 ，即其瞬心vD在C323点rr ，vA 则
3 3
vA
亦即
3rw
3 3 vA
故 w vA 60 2 rad s
ABD的角速度和点D的速度。
解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；
ABD作平面运动，其速度瞬心在点C。
CA CO1 O1A 0.1866 m
vA O1Aw 0.2 m/s
wABD

vA CA
1.072
rad/s
CD CA AD 0.2366 m
vD D vA
A

rw
3r

1w
3
vC CC2 wBC
3 rw
3
C1
vA
wAB
B
wA O
vB
b O1
C
vC
wBC
C2
例9 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB = BC = BD
= l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线 也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
vBA

vA sin 30o

20
cm/s
30°
vA A
wAB

vBA l
1rad
s
方向如图所示。
以A为基点，则M点的速度为
r vM

r vA

r vMA
将各矢量投影到坐标轴上得：
x : vM cos vA vMA sin 30o y : vM sin vMA cos 30o
＝wII·DA。所以
I
wII

vDA DA

wO (r1
r2
r2 )
以A为基点，分析点B的速度。
vB vA vBA
vBA wII BA wO (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等，点B的速度
vB vA2 vB2A 2vA 2wO (r1 r2 )
3r 310
例8 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OA＝AB＝BO1＝O1C ＝r，角 = b = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则
vA OA w rw
wAB

vA AC1

rw
r
w
vB BC1 wAB rw
wBC

vB BC2
10 3 cm s
vM

MC w

l w
2
10 cm s
C vM
w
M
30°
vA A
例5 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。 求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。
解：很显然速度瞬心在轮子与地
面的接触点即A1
w
A3
vA3
vA1 0
vo rw v
A4
vA4 vO A2