多维随机变量及其分布

y1
p11 p21 … pi1 …
y2Hale Waihona Puke Baidu
p12 p22 … pi2 …
… yj …
… … … … … p1j p2j … pi j … … … … … …
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x1 x2 … xi …
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联合分布列的基本性质
(1) (2)
pij 0,
i, j = 1, 2,… (非负性)
pij = 1. (正则性)
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第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 多维随机变量及其联合分布 边际分布与随机变量的独立性 多维随机变量函数的分布 多维随机变量的特征数 条件分布与条件期望
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§3.1
多维随机变量及其联合分布
3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
F ( x , y ) A [ B a rc ta n ( x 2 )][ C a rc ta n ( y 3 )]
（1)求常数A，B，C； （2)求P{X≤2,0<Y≤3}
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例2 设二元函数
0, G ( x, y ) 1, x y 0, x y 0
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联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性) (正则性)
y )dxdy
( 2)
P (X ,Y ) D p( x, 注意：
D
若f (x, y)在点(x, y) 处连续，则有
F (x, y) xy
2
f ( x , y ).
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例5 一射手进行射击，每次击中目标的概率为 p(0< p <1),射击直到击中目标两次为止。记X表示 首次击中目标的射击次数，Y表示总共进行的射击 次数。求X和Y的联合分布列。 练习： 设100件产品中有50件一等品，30件二等品， 20件三等品。从中任取5件，X,Y分别表示取出的5 件中一等品、二等品的件数，试求(X, Y）的联合分 布列.
作为个体：边际分布函数 X,Y是否独立？ 相互关系 X,Y是否相关？
数字特征：协方差、相关系数，等 条件分布
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3.1.2 联合分布函数 定义3.1.2
任对实数 x 和 y, 称二元函数 F(x, y) = P( X x, Y y) 为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为随机点(X, Y)落在点(x, y)的左下区域内 的概率.
一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标
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第三章知识框架图
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离散型：联合分布列 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 作为整体：联合分布函数 连续型：联合密度函数 离散型：边际分布列 连续型：边际密度函数
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y (x, y)
O
x
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联合分布函数的基本性质
(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调不减. (单调性) (2) 0 F(x, y) 1，且 (有界性) F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性)
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例6 设(X,Y)的联合概率密度为
x y , 0 x 1 , 0 y x， f ( x, y) 其 它. 0,
求（1） ；（2）P{X+Y<1}.
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例7 设(X,Y)的联合分布函数为
0, x 0或 y 0 s in x s in y , 0 x ,0 y ， 2 2 F ( x , y ) s in x , 0 x ,y ， 2 2 s in y , 1， x x>

2
,0 y ,y

，
2

2

2
.
求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；
（2）P X ， Y 2 6 3
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3.1.5 一、多项分布
常用多维分布
若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：
问G(x, y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数？
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3.1.3 联合分布列
二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
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二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下: X Y
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例3 设随机变量 Y ~ N(0, 1),
求
0, X1 1,
Y 1 , Y 1
0, X2 1,
Y 2 Y 2
的联合分布列.
例4 从1，2，3，4中任取一个数记为X，再从 1，…,X中任选一个数记为Y.（1）求(X,Y)的 联合分布列，（2）求P(X>2,Y≤3),(3)求 F(2.5,2).
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3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若 存在非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。 几何意义：F (x,y)表示以区域（-∞，x] ×(-∞,y]为 底以f (x,y)为曲顶的空间立体的体积.
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
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反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。 例1 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为