次函数专题
三次函数

第28关:三次函数专题—全解全析一、定义:定义1、形如的函数,称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)定义2、三次函数的导数,把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究:1、单调性一般地,当时,三次函数在上是单调函数;当时,三次函数在上有三个单调区间(根据两种不同情况进行分类讨论)2、对称中心三次函数是关于点对称,且对称中心为点,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明:设函数的对称中心为(m,n)。
按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以化简得:上式对恒成立,故,得,。
所以,函数的对称中心是()。
可见,y=f(x)图象的对称中心在导函数y=的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题(1)当△=时,由于不等式恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根。
(2)当△=时,由于方程有两个不同的实根,不妨设,可知,为函数的极大值点,为极小值点,且函数在和上单调递增,在上单调递减。
此时:①若,即函数极大值点和极小值点在轴同侧,图象均与轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根。
②若,即函数极大值点与极小值点在轴异侧,图象与轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根。
③若,即与中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x)),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x为极大值点(或极小值点)。
当时,三次函数在上的极值点要么有两个。
当时,三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若,且,则:;三、三次函数与导数专题:1. 三次函数与导数例题例1. 函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在区间(1,2)是增函数,求的取值范围.解:(Ⅰ),的判别式△=36(1-a).(ⅰ)当a≥1时,△≤0,则恒成立,且当且仅当,故此时在R上是增函数.来自QQ群3(ⅱ)当且,时,有两个根:,若,则, 当或时,,故在上是增函数;当时,,故在上是减函数;若,则当或时,,故在和上是减函数;当时,,故在上是增函数;(Ⅱ)当且时,,所以当时,在区间(1,2)是增函数.当时,在区间(1,2)是增函数,当且仅当且,解得.综上,的取值范围是.例 2. 设函数,其中。
专题01 二次函数的定义(解析版)(重点突围)

专题01 二次函数的定义考点一 二次函数的识别考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题:(2022·江苏·盐城市初级中学一模)下列函数中为二次函数的是( )A .31y x =-B .231y x =-C .2y x =D .323y x x =+-【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案.【详解】解:A 、31y x =-,是一次函数,故此选项不符合题意;B 、231y x =-,是二次函数,故此选项符合题意;C 、2y x=,不是二次函数,故此选项不符合题意;D 、323y x x =+-,未知数的最高次为3,不是二次函数,故此选项错误.故选:B .【点睛】本题考查了二次函数的定义;熟练掌握二次函数解析式的一般形式2y ax bx c =++(0a ≠),是解题的关键.【变式训练】1.(2020·陕西·西安市大明宫中学三模)观察:①26y x =;②235y x =-+;③2200400y x x =+;④32y x x =-;⑤213y x x=-+;⑥()221y x x =+-.这六个式子中二次函数有( )个.A .2B .3C .4D .5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义判断即可.【详解】①26y x =是二次函数;②235y x =-+是二次函数;③2200400y x x =+是二次函数;④32y x x =-不是二次函数;⑤213y x x=-+不是二次函数;⑥()22121y x x x =+-=+不是二次函数;这六个式子中二次函数有①②③故选:B .【点睛】本题考查二次函数的定义,即一般地,形如2y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数.2.(2022·全国·九年级课时练习)下列函数①55y x =-;②231y x =-;③3243y x x =-;④2221y x x =-+;⑤21y x =.其中是二次函数的是____________.【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义,函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0,逐一判断.【详解】解:①y =5x -5为一次函数;②y =3x 2-1为二次函数;③y =4x 3-3x 2自变量次数为3,不是二次函数;④y =2x 2-2x +1为二次函数;⑤y =21x 函数式为分式,不是二次函数.故答案为②④.【点睛】本题考查二次函数的定义,熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0”是解题关键.考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题:(2022·福建省福州外国语学校八年级期末)二次函数223y x x =-+的一次项系数是( )A .1B .2C .2-D .3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项作答.【详解】解:二次函数y =x 2-2x +3的一次项系数是-2;故选:C .【点睛】此题主要考查了二次函数的定义,关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.【变式训练】1.(2022·全国·九年级)设a ,b ,c 分别是二次函数y =﹣x 2+3的二次项系数、一次项系数、常数项,则( )A .a =﹣1,b =3,c =0B .a =﹣1,b =0,c =3C .a =﹣1,b =3,c =3D .a =1,b =0,c =3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案.【详解】解:二次函数y =﹣x 2+3的二次项系数是a =﹣1,一次项系数是b =0,常数项是c =3;故选:B .【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式,关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.2.(2022·全国·九年级)已知二次函数y =1﹣5x +3x 2,则二次项系数a =___,一次项系数b =___,常数项c =___.【答案】 3 -5 1【解析】【分析】形如:()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数,其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c根据定义逐一作答即可.【详解】解:二次函数y =1﹣5x +3x 2,则二次项系数a =3,一次项系数b =﹣5,常数项c =1,故答案为:3,﹣5,1.【点睛】本题考查了二次函数的定义,熟记二次函数的定义是解题关键.考点三 根据二次函数的定义求参数例题:(2022·全国·九年级课时练习)已知y =21(1)mm x +-+2x ﹣3是二次函数式,则m 的值为 _____.【答案】-1【解析】【分析】若y =21(1)mm x +-+2x ﹣3是二次函数式,则二次项系数不等于零,可得答案;【详解】解:由题意得:21012m m -≠ìí+=î,解得:m =-1,故答案为:-1.本题考查了二次函数的定义,理解二次函数的定义是解题关键.【变式训练】1.(2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中)已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数,那么m 的值____.【答案】2-【解析】【分析】根据二次函数的定义,(2)m m x -中,未知数x 的指数为2,系数不为0,列式计算即可.【详解】解:∵(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数,∴2m =且20m -≠,∴2m =-.故答案为:2-.【点睛】本题考查的是二次函数的定义,熟练掌握形如y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,且a ≠0)的函数,叫做二次函数是解题的关键.2.(2021·广东广州·九年级期中)关于x 的函数()21mm y m x -=+是二次函数,则m 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数,求出m 的值即可解决问题.【详解】解:∵()21m m y m x -=+是关于x 的二次函数,∴m 2-m =2,m +1≠0,解得:m =2.故答案为:2.本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程;牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键.考点四 列二次函数关系式例题:(2022·上海市青浦区教育局二模)为防治新冠病毒,某医药公司一月份的产值为1亿元,若每月平均增长率为x ,第一季度的总产值为y (亿元),则y 关于x 的函数解析式为________________.【答案】233y x x =++【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值,然后相加即可求解.【详解】解:∵某医药公司一月份的产值为1亿元,若每月平均增长率为x ,∴二月份的为()111x x+´=+三月份的为()()()2111x x x +´+=+第一季度的总产值为y (亿元),则()2211133y x x x x =++++=++故答案为:233y x x =++【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据题意列出函数关系式是解题的关键.【变式训练】1.(2021·山东滨州·九年级期中)某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品的售价为x 元,则可卖出()35010x -件,那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________.【答案】2105607350y x x =-+-【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为:()21x -元,再根据:总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量,再化简即可.解:由题意得:每件商品的盈利为:()21x -元,所以:()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为:2105607350y x x =-+-【点睛】本题考查的是列二次函数关系式,掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.2.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在长方形ABCD 中,8cm AB =,6cm AD =,点M ,N 从A 点出发,点M 沿线段AB 运动,点N 沿线段AD 运动(其中一点停止运动,另一点也随之停止运动).若设cm AM AN x ==,阴影部分的面积为2cm y ,则y 与x 之间的关系式为______.【答案】y =-212x +48【解析】【分析】先求出212AMN S x =V ,进而即可得到答案.【详解】由题意得:21122AMN S AM AN x =×=V ,∴阴影部分的面积=6×8-212x ,即:y =-212x +48.故答案是:y =-212x +48.【点睛】本题主要考查列二次函数解析式,解题的关键是掌握割补法求面积.【答案】2328y x x=-+【分析】根据矩形的面积公式,列出函数解析式,即可求解.【答案】(1)22y x =;(2)224.5cm ;(3)③当1520x ££时,2260400.y x x =-+-【分析】(1)根据题意可知,三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形,且直角边都是③ 当1520x ££时,如图,记此时重叠部分的面积是直角梯形由题意知:402BF x =-,1C F 1(23010)(402)2y x x \=-+-=\ 当1520x ££时,22y x =-+【点睛】本题考查了列二次函数关系式,已知自变量的值求函数值,以及函数值求自变量的值;考查综合应用知识,分析问题的能力.掌握分类讨论是的思想是解题的关键.。
二次函数专题复习

(5) y=2x2向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
(6)已知二次函数y=x2-4x-5 , 求下列问题
△PAB,求P的坐标;
(4)第(3)题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐P标,;使若S不△PA存C=在,12说S明△P理AB?由若。存答在案,一求样出吗点?P的
P
y
(0,3) C
A
Q
o
y
(0,3) CP
B(3,0) A
x
oQ
(B 3,0) x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象过原点, 最小值是-8,且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同,其解析式为 y=0.5(x-16。)2-8
5、若x为任意实数,则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点 (0,0),(1,﹣3),(2,﹣8)。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 (-2,-3),且图象过点(-3,-2)。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60,长为x,面积为y,则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac,2a+b,a+b+c的符 号
专题二次函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

真 (2)写出该抛物线关于x轴,y轴和原点对称的抛物线解析式:
题
一般式
顶点式
精
关于x轴对称:__y_=_-_x_2_-_2_x_+_3__;__y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4__。
练
关于y轴对称:__y_=__x_2_-_2_x_-_3__;__y_=__(_x_-_1_)_2_-_4__。
提
升
关于原点对称:_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3__;__y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4__。
考点4 二次函数的图象的变换
检 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛
考 交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
点 (1)求y1的解析式;
真 (2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,
题
求y2的解析式.
精
练
提 升
考点2 求二次函数的解析式
检 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y 测
轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积是18,求抛物线的 考 点 解析式. y=-2x2+4x+6 或 y=2x2-4x-6
精 练
成立的x的取值范围是( A
)
提 A.x<-4或x>2 B.-4<x<2 C.x<0或x>2 D.0<x<2
升
考点3 二次函数与一元二次方程
检 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)(x1 测 <x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m、n(m<n),则下列判断正
专题01 二次函数的相关概念(五大题型)(题型专练)(解析版)

专题01 二次函数的相关概念(五大题型)【题型1 二次函数的判段】【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】【题型3 二次函数的一般形式】【题型4 二次函数的函数值】【题型5 根据实际问题列出二次函数】【题型1 二次函数的判段】1.(2023•大埔县开学)下列函数中,属于二次函数的是( )A.y=3x﹣1B.y=C.y=(x+1)2﹣x2D.y=2x2﹣3【答案】D【解答】解:A、不含有x的二次项,不是二次函数,不符合题意;B、是复合函数,不是二次函数,不符合题意;C、化简后y=2x+1,不含有x的二次项,不符合题意;D.y=﹣2x2﹣3,符合二次函数的定义,符合题意.故选:D.2.(2022秋•道外区期末)下列函数中,表示y是x的二次函数的是( )A.B.C.D.【答案】B【解答】解:A、y=﹣+x,不是二次函数,故A不符合题意;B、y=x2+x,是二次函数,故B符合题意;C、y=,不是二次函数,故C不符合题意;D、y=,不是二次函数,故D不符合题意;故选:B3.(2022九上·顺义期末)下面两个问题中都有两个变量:①矩形的周长为20,矩形的面积y与一边长x;②矩形的面积为20,矩形的宽y与矩形的长x.其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是( )A.①是反比例函数,②是二次函数B.①是二次函数,②是反比例函数C.①②都是二次函数D.①②都是反比例函数【答案】B【解析】解:①∵矩形的周长为20,一边长x∴另一边长为10−x∴y=x(10−x)=−x2+10x为二次函数;②∵矩形的面积为20,矩形的长x∴y=20x是反比例函数.故答案为:B.4.(2022九上·陵城期中)下列各式中,y是x的二次函数的是( )A.y≥3x B.y=x2+(3−x)x C.y=(x−1)2D.y=a x2+bx+c【答案】C【解析】解:A.y≥3x,不是函数,故该选项不符合题意;B.y=x2+(3−x)x=x2+3x−x2=3x,是一次函数,故该选项不符合题意;C.y=(x−1)2,是二次函数,符合题意;D.y=a x2+bx+c,当a=0时,不是二次函数,故该选项不符合题意.故答案为:C.5.(2022九上·义乌月考)下列函数中(x,t是自变量),是二次函数的是( )A.y=−x3+25B.y=−12+5x2C.y=1xD.S=1+t【答案】B【解析】解:A、y=−x3+25不是二次函数,不符合题意;B、y=−1+5x2是二次函数,符合题意;2C、y=1不是二次函数,不符合题意;xD、S=1+t不是二次函数,不符合题意.故答案为:B.6.(2022九上·桐乡市期中)下列函数中,属于二次函数的是( ).C.y=x2(x+3)D.y=x(x+1) A.y=2x−1B.y=1x【答案】D【解析】解:A、y=2x−1是一次函数,不是二次函数,故A不符合题意;B、y=1函数关系式不是整式,不是二次函数,故B不符合题意;xC、y=x2(x+3)=x3+3x2,x的最高次数是3,不是二次函数,故C不符合题意;D、y=x(x+1)=x2+x是二次函数,故D符合题意.故答案为:D.7.(2022九上·萧山月考)下列y和x之间的函数表达式中,属于二次函数的是( )B.y=2x3+5A.y=x2+1xC.y=(x+4)(x−1)D.y=2x−7【答案】C,右边不是整式,不是二次函数,不符合题意;【解析】解:A、y=x2+1xB、y=2x3+5,最高次数是3,不是二次函数,不符合题意;C、y=(x+4)(x−1)=x2+3x−4,是二次函数,符合题意;D、y=2x−7,最高次数是1,不是二次函数,不符合题意;故答案为:C【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】8.(2022九上·北仑期中)若关于x的函数y=(2−a)x2−x是二次函数,则a 的取值范围是( )A.a≠0B.a≠2C.a<2D.a>2【答案】B【解析】解:∵函数y=(2−a)x2−x是二次函数,∴2−a≠0,即a≠2,故答案为:B.9.(2022九上·中山期中)已知函数y=(m+3)x2+1是二次函数,则m的取值范围为( )A.m>−3B.m<−3C.m≠−3D.任意实数【答案】C【解析】【解答】解:由题意知,m+3≠0,解得:m≠−3;故答案为:C.可解答.10.(2022秋•诸暨市期末)已知y关于x的二次函数解析式为y=(m﹣2)x|m|,则m=( )A.±2B.1C.﹣2D.±1【答案】C【解答】解:由题意得:|m|=2且m﹣2≠0,∴m=±2且m≠2,∴m=﹣2,故选:C.11.(2022秋•桥西区校级期末)若函数y=(m﹣3)x|m|﹣1+5是关于x的二次函数,则m=( )A.﹣3B.3C.3或﹣3D.2【答案】A【解答】解:由题意,解得m=﹣3.故选:A12.(2021九上·砀山期末)如果y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数,则m的取值范围是( )A.m≠1B.m≠2 C.m≠2且m≠1D.全体实数【答案】B【解析】解:∵y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数,∴m−2≠0,∴m≠2,故答案为:B【题型3 二次函数的一般形式】13.(2022九上·济南期末)二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A.1,−6,-1B.1,6,1C.0,-6,1 D.0,6,-1【答案】A【解析】解:二次函数y=x2−6x−1,∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,-6,-1.故答案为:A.14.(2023•桐乡市校级开学)下列函数中,常量3表示二次项系数的是( )A.y=3x B.y=3x2C.y=D.y=x2+3【答案】B【解答】解:y=3x不是二次函数;y=3x2是二次函数,且二次项系数是3;y=不是二次函数;y=x2+3是二次函数,但二次项系数是1.故选:B.15.(2020秋•房山区期中)二次函数y=x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A.1,4,3B.0,4,3C.1,﹣4,3D.0,﹣4,3【答案】C【解答】解:二次函数y=x2﹣4x+3的二次项系数是1,一次项系数是﹣4,常数项是3;故选:C.16.(2022九上·东阳月考)二次函数y=2x2﹣3x+4的一次项系数是( )A.2B.3C.﹣3D.4【答案】C【解析】【解答】解:∵二次函数y=2x2﹣3x+4,∴一次项系数是-3.故答案为:C.【题型4 二次函数的函数值】17.y=-3x2﹣x+9函数中自变量为2,则函数值等于.【答案】-5【解答】解:∵y=-3x2﹣x+9函数中的自变量为2,则函数值为y=-(3×22)-2+9=-5,故答案为:-518.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8,那么对应的x的值是( )A.3 B.5 C.﹣3和5 D.3和﹣5【答案】D【解析】根据题意,得x2+2x﹣7=8,即x2+2x﹣15=0,解得x=3或﹣5,故选D.【题型5 根据实际问题列出二次函数】19.(2021九上·宜昌期末)在某种病毒的传播过程中,每轮传染平均1人会传染x个人,若最初2个人感染该病毒,经过两轮传染,共有y人感染.则y与x 的函数关系式为( )A.y=2(1+x)2B.y=(2+x)2C.y=2+2x2D.y=(1+2x)2【答案】A【解析】解:∵每轮传染平均1人会传染x个人,∴2人感染时,一轮可传染2x人,∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人;∵每轮传染平均1人会传染x个人,∴2(1+x)人感染时,二轮可传染2(1+x)x人,∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 2(1+x)2人;∴y=2(1+x)2,故答案为:A.20.(2020九上·沧州开学考)正方形的边长为3,边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为( )A.y=(x+3)2B.y=x2+9C.y=x2+6x D.y=3x2+12x【答案】C【解析】解:原来正方形的边长是3,面积是9,增加后的边长是(x+3),面积是(x+3)2,增加的面积y=(x+3)2−9,整理得y=x2+6x.故答案为:C.21.(2020九上·合肥月考)据省统计局公布的数据,安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币,若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是( )A.y=7.9(1+2x)B.y=7.9(1-x)2C.y=7.9(1+x)2D.y=7.9+7.9(1+x)+7.9(1+x)2【答案】C【解析】设平均每个季度GDP增长的百分率为x,根据题意可得:y与x之间的函数关系为:y=7.9(1+x)2.故答案为:y=7.9(1+x)2.22.(2021九上·甘州期末)一个矩形的周长为16cm,设一边长为xcm,面积为y c m2,那么y与x的关系式是 【答案】y=-x2+8x【解析】解:∵长方形的周长为16cm,其中一边长为xcm,∴另一边长为(8-x)cm,∵长方形面积为ycm2,∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.故答案为:y=-x2+8x.23.(2019九上·邯郸月考)矩形周长等于40,设矩形的一边长为x,那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为 .【答案】S=−x2+20x【解析】解:设矩形的一边长为x米,另一边长为(20-x)米,∴由矩形的面积公式,得S=x(20−x)=−x2+20x24.(2021九上·温州月考)半径是2的圆,如果半径增加x时,增加的面积s 与x之间的关系表达式为 .【答案】S=πx2+4πx【解析】解:由题意,得S=π(2+x)2-4π=πx2+4πx.故答案为:S=πx2+4πx.。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1.关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A .有最大值4 B .有最小值4 C .有最大值6 D .有最小值6 2.已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3),那么下列各点中,该抛物线必经过的点是( )A .(0,2)B .(0,3)C .(0,4)D .(0,5) 3.在平面直角坐标系中,已知抛物线245y x x =-+,将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为( )A .245y x x =--+B .245y x x =++C .245y x x =-+-D .245y x x =--- 4.正方形的边长为4,若边长增加x ,那么面积增加y ,则y 关于x 的函数表达式为( ) A .216y x =+ B .2(4)y x =+ C .28y x x =+ D .2164y x =- 5.把抛物线22y x =向右平移2个单位,然后向下平移1个单位,则平移后得到的抛物线解析式是( )A .22(2)1y x =-+-B .22(2)1y x =--+C .22(2)1y x =++D .22(2)1y x =--6.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称,与x 轴交于1(,0)A x ,2(,0)B x 两点,若121x -<<-,则下列四个结论:①234x <<,①320a b +>,①24b a c ac >++,①a c b >>.正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.对于抛物线23(1)2y x =-+-,下列说法正确的是( )A .抛物线开口向上B .当1x >-时,y 随x 增大而减小C .函数最小值为﹣2D .顶点坐标为(1,﹣2)8.关于二次函数()215y x =-+,下列说法正确的是( )A .函数图象的开口向下B .函数图象的顶点坐标是()1,5-C .该函数有最大值,是大值是5D .当1x >时,y 随x 的增大而增大 9.已知A (−3,−2) ,B (1,−2),抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动,形状保持不变,与x 轴交于C ,D 两点(C 在D 的右侧),下列结论:①c ≥−2 ;①当x >0时,一定有y 随x 的增大而增大;①若点D 横坐标的最小值为−5,点C 横坐标的最大值为3;①当四边形ABCD 为平行四边形时,a =12. 其中正确的是( )A .①①B .①①C .①①D .①①① 10.已知二次函数2243y mx m x =--(m 为常数,0m ≠),点(),p p P x y 是该函数图象上一点,当04p x ≤≤时,3p y ≤-,则m 的取值范围是( )A .m 1≥或0m <B .m 1≥C .1m ≤-或0m >D .1m ≤-11.已知函数()211y ax a x =-++,则下列说法不正确的个数是( )①若该函数图像与x 轴只有一个交点,则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<,则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ,使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A .0B .1C .2D .312.如图,在正方形ABCD 中,4AB =,点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动,连接DP ,作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ,N 两点,设点P 的运动路程为x ,PMN 的面积为y ,则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知点(3,a )在抛物线y =-2x 2+2x 上,则=a ______.14.如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2=kx +t 的图象,当y 1≥y 2时,x 的取值范围是_____.15.小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时,填好了下面的表格:根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________.16.已知二次函数223y x x =--+,当12a x时,函数值y 的最小值为1,则a 的值为_______.17.已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点.(1)若(1,0)A -,则b =______.(2)若(1,0)M -,(1,0)N ,抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点,则b 的取值范围为______.三、解答题18.已知抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,求该抛物线的函数关系式 19.如图,抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ,使MBC ∆的周长最小,请求出这个周长的最小值.20.如图,一次函数y A 、B ,二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式;(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2,0)和点B (8,0),与y 轴交于点C (0,﹣8),连接AC ,D 是抛物线对称轴上一动点,连接AD ,CD ,得到①ACD .(1)求该抛物线的函数解析式.(2)①ACD 周长能否取得最小值,如果能,请求出D 点的坐标;如果不能,请说明理由.(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点E ,使得①ACE 与①ACD 面积相等,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13.-1214.﹣1≤x ≤215.3.24x 3.25<<16.1-17. 32- 3322b -<< 18.解:①抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-,将点()0,5C 代入得:55a =-,解得:1a =-,①()()21545y x x x x =-+-=-++.①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++.19..解:(1)抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A , 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ,()3,0C -代入212y x bx c =++得: 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩, 解得:523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴抛物线的解析式是215322y x x =++; (2)将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组: 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得:0x =或4x =-,04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ,()4,1B ∴-BC ∴==如图,要使MBC △的周长最小,则MB MC +最小,设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ,抛物线的对称轴为:552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-,连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=,此时,MB MC MB MD BD+=+=最小,此时:BD=MBC∴20.解:(1)对于y x=x=0时,y=当y=0时,03x-=,妥得,x=3①A(3,0),B(0,把A(3,0),B(0,2y bx c++得:+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得,bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为:2y x x=-(2)抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P(1,p),Q(m,n)①当BC为菱形对角线时,如图,①B ,C 关于对称没对称,且对称轴与x 轴垂直,①①BC 与对称轴垂直,且BC //x 轴①在菱形BQCP 中,BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上,①点Q 也在x =1上,当x =1时,211y①Q (1,); ①当BC 为菱形一边时,若点Q 在点P 右侧时,如图,①BC //PQ ,且BC =PQ①BC //x 轴,①令y =2y 解得,120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上,①P(1,0)①Q(3,0);若点Q在点P的左侧,如图,同理可得,Q(-1,0)综上所述,Q点坐标为(1,)或(3,0)或(-1,0)21.解:(1)由题意可得:0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩,解得:1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩,①抛物线的解析式为:y=12x2﹣3x﹣8;(2)△ACD周长能取得最小值,①点A(﹣2,0),点B(8,0),①对称轴为直线x=3,①①ACD周长=AD+AC+CD,AC是定值,①当AD+CD取最小值时,△ACD周长能取得最小值,①点A,点B关于对称轴直线x=3对称,①连接BC交对称轴直线x=3于点D,此时AD+CD有最小值,设直线BC 解析式为:y =kx ﹣8,①0=8k ﹣8,①k =1,①直线BC 解析式为:y =x ﹣8,当x =3,y =﹣5,①点D (3,﹣5);(3)存在,①点A (﹣2,0),点C (0,﹣8),①直线AC 解析式为y =﹣4x ﹣8,如图,①①ACE 与①ACD 面积相等,①DE ①AC ,①设DE 解析式为:y =﹣4x +n ,①﹣5=﹣4×3+n ,①n =7,①DE 解析式为:y =﹣4x +7, 联立方程组可得:2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩,解得:12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ①点E1,﹣1,).九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1.下列函数中,是二次函数的是( ) A .y =(2x ﹣1)2 B .y =(x +1)2﹣x 2 C .y =ax 2D .y =2x +32.若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数,那么m 的值是( )A .3B .2-C .2D .2或33.若抛物线y =x 2-x -2经过点A (3,a ),则a 的值是( ) A .2B .4C .6D .84.已知二次函数2135y x x =-+,则其二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 分别是( ) A .1,3,5a b c ==-= B .1,3,5a b c ===C .5,3,1a b c ===D .5,3,1a b c ==-=5.如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数,则a 的取值范围是( ) A .2a ≠ B .a≥0C .a=2D .a>06.下列函数中①31y x ;①243y x x =-;①1y x=;①225=-+y x ,是二次函数的有() A .①①B .①①C .①①D .①①7.若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-,则247c b --的值是( ) A .6B .7C .8D .208.函数y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数)是二次函数的条件是( ) A .a≠0,b≠0,c≠0 B .a<0,b≠0,c≠0 C .a>0,b≠0,c≠0 D .a≠0二、填空题 9.若()2321m m y m x --=+是二次函数,则m 的值为______.10.若22ay x -=是二次函数,则=a ________.11.在二次函数21y x =-+中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____. 12.下列函数一定是二次函数的是__________.①2y ax bx c =++;①3y x =-;①2431y x x =-+;①2(1)y m x bx c =-++;①y =(x -3)2-x 213.当常数m ≠______时,函数y =(m 2﹣2m ﹣8)x 2+(m +2)x +2是二次函数;当常数m =___时,这个函数是一次函数. 14.已知函数2135m y x -=-① 当m = _________时,y 是关于x 的一次函数; ① 当m =_________时,y 是关于x 的二次函数 .15.二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点,则m =__________.16.已知二次函数2y x bx 3=-++,当x 2=时,y 3=.则这个二次函数的表达式是________. 三、解答题17.下列函数中(x ,t 是自变量),哪些是二次函数? 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++.18.已知函数y =(m 2-2)x 2+(m x +8. (1)若这个函数是一次函数,求m 的值; (2)若这个函数是二次函数,求m 的取值范围.19.若函数y=(a -1)x b+1+x 2+1是二次函数,试讨论a 、b 的取值范围.20.篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.参考答案:1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.4 10.2± 11.0 12.①13. 4,-2 4 14. 1 3215.316.2y x 2x 3=-++17.2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18.(1)m (2)m ≠m ≠19.①a≠0;①b=0或-1,a 取全体实数①当a=1,b 为全体实数时,y=x 2+1是二次函数 20.y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题(附答案)一.选择题1.如果在二次函数的表达式y =ax 2+bx +c 中,a >0,b <0,c <0,那么这个二次函数的图象可能是( )A.B.C.D.2.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为()A.﹣2B.2C.±2D.03.已知A(,y1),B(2,y2),C(﹣,y3)是二次函数y=3(x﹣1)2+k图象上三点,则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y2>y1D.y2>y3>y14.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,则这个二次函数的表达式为()A.y=﹣x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=﹣x2+2x﹣3D.y=﹣x2﹣2x+3 5.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A.B.C.D.6.关于抛物线y=﹣x2+2x﹣3的判断,下列说法正确的是()A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x=﹣1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x轴的距离是27.已知二次函数y=x2﹣4x+5(0≤x≤3),则它的最大值是()A.1B.2C.3D.58.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤9.已知函数y=2(x+1)2+1,则()A.当x<1 时,y随x的增大而增大B.当x<1 时,y随x的增大而减小C.当x<﹣1 时,y随x的增大而增大D.当x<﹣1 时,y随x的增大而减小10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中不正确的有()个.①abc>0;②2a+b=0;③9a+3b+c<0;④4ac﹣b2<0;⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数).A.3B.2C.1D.0二.填空题11.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是.(请用“>”连接排序)12.抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为.13.二次函数y=3(x﹣1)2+5的最小值为.14.已知二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,则b=.15.二次函数y=x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为.16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是(填写序号).三.解答题17.已知二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),且经过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)判断点C(2,﹣3)是否在该函数图象上,并说明理由.18.如图,已知直线l过点A(4,0),B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P,若S△AOP=4,试求二次函数的表达式.19.如图,直线L1:y=bx+c与抛物线L2:y=ax2的两个交点坐标分别为A(m,4),B(1,1).(1)求m的值;(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与L1,L2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,请直接写出n的取值范围.20.已知二次函数y=a(x+a)(x+a﹣1).(1)当a=2时,求该二次函数图象的对称轴.(2)当a<0时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由.(3)当0<x<3时,y随着x增大而增大,求a的取值范围.21.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点,如图所示,其中A(﹣1,﹣1),求△OAB的面积.22.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接AB、AC、BC,求△ABC的面积.23.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点,抛物线与y轴交于点C.(1)求一次函数和二次函数的解析式;(2)求△ABC的面积.参考答案一.选择题1.解:∵a>0,b<0,c<0,∴﹣>0,∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,故选:C.2.解:∵y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0.解得m=2.故选:B.3.解:∵二次函数y=3(x﹣1)2+k图象的对称轴为直线x=1,而A(,y1)到直线x=1的距离最近,C(﹣,y3)到直线x=1的距离最远,∴y3>y2>y1.故选:C.4.解:由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1,设抛物线解析式为y=a(x+1)2+k,将(﹣3,0)、(0,3)代入,得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3,故选:D.5.解:A、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误.故选:A.6.解:∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣2,∴抛物线开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,﹣2),在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∴A、B、C不正确;∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|=2,∴D正确,故选:D.7.解:y=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,由于0≤x≤3,所以当x=2时,y有最小值1,当x=0时,y有最大值5.故选:D.8.解:根据图象可知:①对称轴﹣>0,故ab<0,正确;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3,正确;③x=1时,y=a+b+c<0,错误;④当x<1时,y随x值的增大而减小,错误;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3,正确.正确的有①②⑤.故选:B.9.解:∵y=2(x+1)2+1,∴当x>﹣1时,y随x的增大而增大,故选项A错误,当x<﹣1时,y随x的增大而减小,故选项B错误、选项C错误、选项D正确;故选:D.10.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,所以③正确.∵抛物线与x轴有2个交点,∴Δ=b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,所以④正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数),即a+b≥m(am+b),所以⑤正确.故选:C.二.填空题11.解:如图所示:①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口,则a1>a2>0,③y=a3x2的开口大于④y=a4x2的开口,开口向下,则a4<a3<0,故a1>a2>a3>a4.故答案为:a1>a2>a3>a412.解:∵y=3x2+6x+11=3(x+1)2+8,∴抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为(﹣1,8),故答案为(﹣1,8).13.解:由于二次函数y=3(x﹣1)2+5中,a=3>0,所以当x=1时,函数取得最小值为5,故答案为5.14.解:∵二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,∴=0,解得b=,故答案为:±4.15.解:∵二次函数y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴当x>1时,y随x的增大而增大,∴在2≤x≤5范围内,当x=2时,y取得最小值,此时y=(2﹣1)2=1,故答案为:1.16.解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴2a+b=0,所以①正确;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,即a+c<b,所以②错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0)而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),所以③错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∴b=﹣2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,所以④正确.故答案为①④.三.解答题17.解:(1)设二次函数的解析式是y=a(x﹣h)2+k,∵二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),∴y=a(x﹣1)2﹣4,∵经过点B(3,0),∴代入得:0=a(3﹣1)2﹣4,解得:a=1,∴y=(x﹣1)2﹣4,即二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)点C(2,﹣3)在该函数图象上,理由是:把C(2,﹣3)代入y=x2﹣2x﹣3得:左边=﹣3,右边=4﹣4﹣3=﹣3,即左边=右边,所以点C在该函数的图象上.18.解:设直线l的解析式为y=kx+b,把A(4,0),B(0,4)分别代入得,解得,∴直线l的关系式为y=﹣x+4,设P(t,﹣t+4),∵S△AOP=4,∴×4×(﹣t+4)=4,解得t=2,∴P(2,2),把P(2,2)代入y=ax2得4a=2,解得a=,∴二次函数的表达式为y=x2.19.解:(1)把B(1,1)代入y=ax2得:a=1,∴抛物线解析式为y=x2.把A(m,4)代入y=x2得:4=m2,∴m=±2.∵点A在二象限,∴m=﹣2.(2)观察函数图象可知:当﹣2<x<1时,直线在抛物线的上方,∴n的取值范围为:﹣2<n<1.20.解:(1)当a=2时,y=2(x+2)(x+1),∴二次函数的对称轴为x=.(2)由题知二次函数与x轴的交点坐标为(﹣a,0),(1﹣a,0);∵a<0,∴二次函数的开口方向向下;又﹣a>0,1﹣a>0,所以对称轴所在直线为x==>0,当x=时,y=﹣>0,所以顶点坐标(,﹣)在第一象限.(3)由(2)知,二次函数的对称轴为直线x=,∵当0<x<3时,y随着x增大而增大,∴当a>0时,≤0,解得a≥;当a<0,≥3,解得a≤﹣.∴a的取值范围为a≥或a≤﹣.21.解:∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=﹣k﹣2,解得k=﹣1,∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2,∴令x=0,得y=﹣2,∴G(0,﹣2),∵y=ax2过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=a×1,解得a=﹣1,∴二次函数表达式为y=﹣x2,由一次函数与二次函数联立可得,解得,,∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3.22.解:(1)∵抛物线经过A、B(0,3)∴由上两式解得∴抛物线的解析式为:;(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=把x=代入,得y=4则点C坐标为(,4)设线段AB所在直线为:y=kx+b,则有,解得∴AB解析式为:∵线段AB所在直线经过点A、B(0,3)抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入,解得m=2∴点D坐标为,∴CD=CE﹣DE=2过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD•BF+CD•AE∴S△ABC=CD(BF+AE)=×2×=23.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点∴,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0),则,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1;(2)令x=0,则y=﹣x2+2x+3=3,∴C(0,3),则OC=3,BC=2,BC∥x轴,∴S△ABC=×BC×OC==3.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+12.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2 5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣66.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+17.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1 8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.49.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?21.如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称,其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上,一个落在对称轴上,求落在对称轴上的点的坐标;(3)如图2,点M为第二象限抛物线上,作MN∥BC交抛物线于点N,直线NB、MC 交于点P,求P点的横坐标.22.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=,则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3).(1)点(﹣5,﹣2)的“可控变点”坐标为;(2)若点P在函数y=﹣x2+16的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′是7,求“可控变点”Q的横坐标;(3)若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,求实数a的取值范围.23.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线解析式;(2)直线AB的函数解析式为,点M的坐标为.(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小,具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA′交y轴于点Q,连接AM,AQ,此时△AMQ的周长最小,请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+1解:A.根据二次函数的定义,y=4x是一次函数,不是二次函数,故A不符合题意.B.根据二次函数的定义,y=3x﹣5不是二次函数,是一次函数,故B不符合题意.C.根据二次函数的定义,y=是反比例函数,不是二次函数,故C不符合题意.D.根据二次函数的定义,y=2x2+1是二次函数,故D符合题意.故选:D.2.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.解:A、由图知a>0,﹣=1,c>0,即b<0,∵已知a>b>c,故本选项错误;B、由图知a<0,而已知a>b>c,且a+b+c=0,必须a>0,故本选项错误;C、图C中条件满足a>b>c,且a+b+c=0,故本选项正确;D、∵a+b+c=0,即当x=1时a+b+c=0,与图中与x轴的交点不符,故本选项错误.故选:C.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)解:∵二次函数可化为y=(x﹣3)2+5,∴二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是(3,5),故选:D.4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2解:y=x2+2x﹣1=(x2+2x+1)﹣2=(x+1)2﹣2,即y=(x+1)2﹣2.故选:D.5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6解:y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2,∴当x<2时,y随着x增大而增大,∴当x=时有最大值y=﹣2(﹣2)2+2=﹣2.5,故选:C.6.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+1解:设所求的抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+1,∵所求抛物线与函数y=的图象相同且开口方向相反,∴a=﹣,∴所求的抛物线解析式为y=﹣(x﹣3)2+1.故选:D.7.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1解:当x=﹣1时,y1=(x﹣1)2=(﹣1﹣1)2=4;当x=1时,y2=(x﹣1)2=(1﹣1)2=0;当x=2时,y3=(x﹣1)2=(2﹣1)2=1,所以y2<y3<y1.故选:C.8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.4解:根据表格数据可知:抛物线的对称轴是直线x==,∴③错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0有两根为x1=﹣2,x2=3;故①正确;从表格可知当x=0时,y=6,∴抛物线与y轴的交点为(0,6);∴②正确;从表格可知:当x<时,y随x的增大而增大,当x>时,y随x的增大而减小,∴抛物线开口向下,故④错误.故选:B.9.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对解:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=∠OCF=45°,∵BE=CF,∴△BOE≌△COF,∴OE=OF,∠BOE=∠COF,∴∠BOE+∠COE=∠COF+∠COE,即∠EOF=∠BOC=90°,且S△COE+S△COF=S△COE+S△BOE,即S四边形OECF=S△BOC=S正方形ABCD=×4×4=4,由垂线段最短可得,当OE⊥BC时,OE=BC=×4=2,△OEF面积取最小值为×2×2=2,∴结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错,故选:A.10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°解:把(25,0.725),(50,0.06),(60,0.09)代入y=ax2+bx+c得:,解得,∴y=0.0001x2﹣0.008x+0.21=0.0001(x﹣40)2+0.05,∵0.0001>0,∴x=40时,y最小为0.05,∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°,故选:B.二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为3.解:∵函数是二次函数,∴m2﹣7=2且m+3≠0,解得:m=3.则m的值为3.故答案为:3.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为5.解:∵y=x2﹣4x+c,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣=2,∴点A,B关于直线x=2对称,∵点A横坐标为﹣1,∴点B横坐标为5,故答案为:5.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=5.解:∵|2﹣a|=3,∴2﹣a=±3,解得:a=﹣1或5,又二次函数y=ax2开口向上,则a>0,故a=5.故答案为:5.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是3.解:∵点A(m,n)在抛物线y=x2﹣3x+1上,∴n=m2﹣3m+1,∴m﹣n=﹣m2+4m﹣1=﹣(m﹣2)2+3,∴当m=2时,m﹣n有最大值为3,故答案为:3.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为﹣.解:设A(x1,0),B(x2,0),令y=0,则y=﹣x2+2x+c=0,由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1•x2=﹣c,则AB=|x1﹣x2|===2,令x=0,则y=c,∴C(0,c),∵CD∥x轴,∴点D纵坐标为c,当y=c时,则﹣x2+2x+c=c,解得:x=2,或x=0,∴D(2,c),∴CD=2,∵AB+CD=3,∴2+2=3,解得:c=﹣,故答案为:﹣.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为142.解:连接AC,过B作BH⊥AC于H,以B为圆心,BG为半径作圆,交BH于G',如图:∵四边形ABCD是矩形,∴∠EBF=90°,∵EF=10,点G是EF的中点,∴BG=EF=10=5,∴G在以B为圆心,5为半径的弧上,当G运动到G'时,S△ACG最小,此时四边形AGCD 面积的最小值,最小值即为四边形AG'CD的面积,∵AB=12=CD,BC=16=AD,∴AC=20,S△ACD=×12×16=96,∴BH==,∴G'H=BH﹣5=﹣5=,∴S△ACG'=AC•G'H=×20×=46,∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=46+96=142,即四边形AGCD面积的最小值是142.故答案为:142.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.解:(1)由图象可知,抛物线经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当y=0时,x的值为﹣1和3;(2)∵抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),(0,﹣3),∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),代入(0,﹣3)得,﹣3=﹣3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3),令y=5得5=(x+1)(x﹣3),解得x1=4,x2=﹣2,∴当y>5时,求x的范围是x>4或x<﹣2;(3)∵y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2+4,∴抛物线开口向上,顶点为(1,4),对称轴为直线x=1,∴y随x的增大而增大时,x的范围是x>1.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.解:(1)y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1;(2)开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,﹣1);(3)x>3时,y随x的增大而增大;x<3时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.解:∵h=﹣5t2+20t=﹣5(t﹣2)2+20,且﹣5<0,∴当t=2时,h取最大值20,答:小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?解:(1)根据题意,降价2元则销售量为60+2×10=80(斤),销售利润为:(30﹣15﹣2)×80=1040(元),。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题;也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥,,,若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是.【答案】3(2)2-,【解析】:函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x -x3,x ≤0,-2x ,x >0.)当x ∈(-∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[-16,+∞),则实数m 的取值X 围是________.【答案】 [-2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[-16,+∞),求出它的值等于-16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定.当x ≤0时,f (x )=12x -x 3,所以f ′(x )=12-3x 2.令f ′(x )=0,则x =-2(正值舍去),所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,此时f (x )单调递减;当x ∈(-2,0]时,f ′(x )>0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (-2)=-16.当x >0时,f (x )=-2x 单调递减,f (0)=0,f (8)=-16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[-2,8].解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力.题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =.(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点;(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式;(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间.解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4);(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤. 当0x =时,上式恒成立;当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =;②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤; 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤; (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞;2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞;3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞.例4,(2018某某期末) 若函数f(x)=(x +1)2|x -a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (-∞,-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72,+∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解.函数f(x)=(x +1)2|x -a|=|(x +1)2(x -a)|=|x 3+(2-a)x 2+(1-2a)x -a|.令g(x)=x 3+(2-a)x 2+(1-2a)x -a,则g ′(x)=3x 2+(4-2a)x +1-2a =(x +1)(3x +1-2a).令g ′(x)=0得x 1=-1,x 2=2a -13.①当2a -13<-1,即a<-1时,令g ′(x)>0,即(x +1)(3x +1-2a)>0,解得x<2a -13或x>-1;令g ′(x)<0,解得2a -13<x<-1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2a -13,(-1,+∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,-1. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,2a -13,(-1,+∞),单调减区间是(-∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,-1,满足条件,故a<-1(此种情况函数f(x)图像如图1). ,图1)②当2a -13=-1,即a =-1时,f(x)=|(x +1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(-1,+∞),单调减区间是(-∞,-1),满足条件,故a =-1.,图2)③当2a -13>-1,即a>-1时,令g ′(x)>0,即(x +1)(3x +1-2a)>0,解得x<-1或x>2a -13;令g ′(x)<0,解得-1<x<2a -13.所以g(x)的单调增区间是(-∞,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,+∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,2a -13. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,2a -13,(a,+∞),单调减区间是(-∞,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a -13,a ,要使f(x)在[-1,2]上单调递增,必须满足2≤2a -13,即a ≥72,又因为a>-1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3).综上,实数a 的取值X 围是(-∞,-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72,+∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x3+x2,x<0,ex -ax ,x ≥0,其中常数a ∈R .(1) 当a =2时,求函数f (x )的单调区间;(2) 若方程f (-x )+f (x )=e x -3在区间(0,+∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围;规X 解答 (1) 当a =2时,f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x3+x2,x<0,ex -2x ,x ≥0.①当x<0时,f ′(x)=-3x 2+2x<0恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上递减;(2分)②当x ≥0时,f ′(x)=e x -2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,+∞)上递增.(4分)因为f(0)=1>0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞).(5分)(2) 当x>0时,f(x)=e x -ax,此时-x<0,f(-x)=-(-x)3+(-x)2=x 3+x 2.所以可化为a =x 2+x +3x在区间(0,+∞)上有实数解.(6分) 记g(x)=x 2+x +3x ,x ∈(0,+∞),则g ′(x)=2x +1-3x2=(x -1)(2x2+3x +3)x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,且g(1)=5,当x →+∞时,g(x)→+∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,+∞),即实数a 的取值X 围是[5,+∞).(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值;② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈,,R . (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示);② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由;规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->,,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<,,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>,,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点; 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:33b a >;(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围.解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>;(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >;(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一:332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=.记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤.法二:下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一.例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,a ∈R .(1) 曲线y =f (x )在x =0处的切线的斜率为3,求a 的值;(2) 若对于任意x ∈(0,+∞),f (x )+f (-x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围;(3) 若a >1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )=M (a )-m (a ),求h (a )的最小值.思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)=6(x -1)(x -a),且a >1,故只需分为两大类:a ≥2,1<a <2.当1<a <2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)=f(2)得到分类的节点a =53.规X 解答 (1) 因为f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,所以f ′(x)=6x 2-6(a +1)x +6a,所以曲线y =f(x)在x =0处的切线的斜率k =f ′(0)=6a,所以6a =3,所以a =12.(2分)(2) f(x)+f(-x)=-6(a +1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,+∞)恒成立,所以-(a +1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)=2lnx x2,x >0,则g ′(x)=2(1-2lnx )x3.令g ′(x)=0,解得x = e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)>0,所以g(x)在(0,e)上单调递增;当x ∈(e,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在(e,+∞)上单调递减.所以g(x)max =g(e)=1e,(6分)所以-(a +1)≥1e ,即a ≤-1-1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-1-1e .(8分)(3) 因为f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6ax,所以f ′(x)=6x 2-6(a +1)x +6a =6(x -1)(x -a),令f ′(x)=0,则x =1或x =a.(10分)f(1)=3a -1,f(2)=4.由f(1)=f(2)得到分类的节点a =53.①当1<a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x ∈(a,2)时,f ′(x)>0,所以f(x)在(a,2)上单调递增.又因为f(1)≤f(2),所以M(a)=f(2)=4,m(a)=f(a)=-a 3+3a 2,所以h(a)=M(a)-m(a)=4-(-a 3+3a 2)=a 3-3a 2+4.因为h ′(a)=3a 2-6a =3a(a -2)<0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1,53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1,53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=827.(12分)②当53<a <2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x ∈(a,2)时,f ′(x)>0,所以f(x)在(a,2)上单调递增.又因为f(1)>f(2),所以M(a)=f(1)=3a -1,m(a)=f(a)=-a 3+3a 2,所以h(a)=M(a)-m(a)=3a -1-(-a 3+3a 2)=a 3-3a 2+3a -1.因为h ′(a)=3a 2-6a +3=3(a -1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53,2时,h(a)>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)=f(1)=3a -1,m(a)=f(2)=4,所以h(a)=M(a)-m(a)=3a -1-4=3a -5,所以h(a)在[2,+∞)上的最小值为h(2)=1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,x3,-1≤x ≤1,)若关于x 的方程f (x )=k (x +1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12【解析】思路分析 方程f (x )=k (x +1)的实数根的个数可以理解为函数y =f (x )与函数y =k (x +1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数.在同一个直角坐标系中,分别作出函数y =f (x )及y =k (x +1)的图像,则函数f (x )max =f (1)=1,设A (1,1),B (-1,0),函数y =k (x +1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )=k (x +1)有两个不同的实数根,则0<k <k AB =12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sinx ,x <1,x3-9x2+25x +a ,x ≥1,)若函数f (x )的图像与直线y =x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________.【答案】 {-20,-16}【解析】当x <1时,f(x)=sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =sinx ,y =x ,得x -sin x =0,令u(x)=x -sin x(x <1),则u ′(x)=1-cos x ≥0,所以函数u(x)=x -sin x(x <1)为单调增函数,且u(0)=0,所以u(x)=x -sin x(x <1)只有唯一的解x=0,这表明当x <1时,函数f(x)的图像与直线y =x 只有1个公共点.因为函数f(x)的图像与直线y =x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y =x 只有2个公共点.当x ≥1时,f(x)=x 3-9x 2+25x +a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x3-9x2+25x +a ,y =x ,得a =-x 3+9x 2-24x,令h(x)=-x 3+9x 2-24x(x ≥1),则h ′(x)=-3x 2+18x -24=-3(x -2)(x -4).令h ′(x)=0得x =2或x =4,列表如下:32数a =-20或a =-16.综上所述,实数a 的取值集合为{-20,-16}.3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)=kx +1,且函数y =f(x)-g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫-9,13【解析】解法1 y =⎩⎪⎨⎪⎧|x +3|-(kx +1),x ≤0,x 3-(k +12)x +2,x>0,若其图像经过四个象限.①当x>0时,y =x 3-(k +12)x +2,当x =0时,y =2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y=x 3-(k +12)x +2<0,则k +12>x 2+2x ,即k +12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2+2x min .令h(x)=x 2+2x (x>0),h ′(x)=2x -2x2=2(x3-1)x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上递增;当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x =1时取得极小值,也是最小值,h(x)min =h(1)=3,所以k +12>3,即k>-9.②当x ≤0时,y =|x +3|-(kx +1),当x =0时,y =2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y =|x +3|-(kx +1)<0,则k<|x +3|-1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x +3|-1x max .令φ(x)=|x +3|-1x=⎩⎪⎨⎪⎧-1-4x ,x ≤-3,1+2x ,-3<x<0,易知φ(x)在(-∞,-3]上单调递增,在(-3,0)上单调递减,当x =-3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max =φ(-3)=13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-9,13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)=x 3-12x +3,f ′(x)=3x 2-12=3(x +2)(x -2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,且 f(2)=-13<0,当x ≤0时,f(x)=|x +3|.g(x)=kx +1恒过(0,1),若要使y =f(x)-g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可(交点不可为(-3,0)和切点).①当k>0时,在(0,+∞)必有交点,在(-∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(-∞,0)必有交点,在(0,+∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)=x 3-12x +3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30-12x 0+3),由k =3x20-12=x30-12x 0+3-1x 0,解得x 0=1,切线斜率k =-9,所以k∈(-9,0).③当k =0也符合题意.综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-9,13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩, ,,的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ .【答案】a <0或a >2【解析】当a <0时,10y ax x =-,≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a <0时显然满足题意; 当a ≥0时,10y ax x =-,≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->,的图象需经过第一,二象限.【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切).如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a >2时,符合.综上,a <0或a >2.【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a >2,则实数a 的取值X 围为a <0或a >2.5,(2019某某期末)已知函数f(x)=ax 3+bx 2-4a(a,b ∈R ).(1) 当a =b =1时,求f (x )的单调增区间;(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值;(3) 当a =0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围.解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a =4x2-x 恰有两个不同的实数解.另外,由g(x)=x 3+kx 2-4恰有两个不同的零点,可设g(x)=(x -s)(x -t)2.展开,得x 3-(s +2t)x 2+(2st +t 2)x -st 2=x 3+kx 2-4,所以⎩⎪⎨⎪⎧-(s +2t )=k ,2st +t2=0,-st2=-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧s =1,t =-2,k =3.解:(1)当a =b =1时,f(x)=x 3+x 2-4,f ′(x)=3x 2+2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<-23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-23和(0,+∞).(4分)(2)法一:f ′(x)=3ax 2+2bx,令f ′(x)=0,得x =0或x =-2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)=0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a =0.当f(0)=0时,得a =0,不合题意,舍去;(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a =0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a +b ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2b 3a 2-4a =0,即-827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3+49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3-4=0,所以ba =3.(10分)法二:由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)=0得,b a =4-x3x2=4x2-x(x ≠0).(6分)设h(x)=4x2-x,h ′(x)=-8x3-1,令h ′(x)=0,得x =-2, 当x ∈(-∞,-2)时,h ′(x)<0,h(x)递减;当x ∈(-2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,+∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a=4-x3x2=4x2-x 恰有一个根-2,此时函数f (x )=a (x +2)2(x -1)恰有两个零点-2和1.(10分)(3)当a =0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )=ln x -bx 2,则g ′(x )=1x-2bx =1-2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,+∞)上递增,且g (1)=-b ≥0,所以在(1,+∞)上,g (x )=ln x -bx 2≥0,不合题意;(11分)当b >0时,令g ′(x )=1-2bx2x=0,得x =12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ,+∞递减, 所以g (x )max =g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b =ln12b -12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b -12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)=-b <0,g (e 12)=12-b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0,g (3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ln2-4b>0,ln3-9b ≤0,解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )=lnx x,则h ′(x )=1-lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增;当x ∈(e,+∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减.所以h (x )max =h (e)=1e>h (2)=ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b <ln24.(16分)(注:用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y =f(x)在x =x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y =f(x)的极值点.设函数f(x)=x 3-tx 2+1(t ∈R ).(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围;(2) 求证:对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行;(3) 当t =3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组.规X 解答 (1)由函数f(x)=x 3-tx 2+1,得f ′(x)=3x 2-2tx.由f ′(x)=0,得x =0,或x =23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)=3x 2-2tx =p,即3x 2-2tx -p =0,Δ=4t 2+12p.当p >-t23时,Δ>0,此时3x 2-2tx -p =0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y =(3x21-2tx 1)x -2x31+tx21+1和y =(3x22-2tx 2)x -2x32+tx22+1.若两切线重合,则-2x31+tx21+1=-2x32+tx22+1,即2(x21+x 1x 2+x22)=t(x 1+x 2),即2=t(x 1+x 2).而x 1+x 2=2t 3,化简得x 1·x 2=t29,此时(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4t29-4t29=0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合.综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.(10分)(3)当t =3时f(x)=x 3-3x 2+1,f ′(x)=3x 2-6x.由(2)知x 1+x 2=2时,两切线平行.设A(x 1,x31-3x21+1),B(x 2,x32-3x22+1),不妨设x 1>x 2,则x 1>1.过点A 的切线方程为y =(3x21-6x 1)x -2x31+3x21+1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d =|2x32-2x31-3(x22-x21)|1+9(x21-2x 1)2=|(x2-x1)|1+9(x21-2x 1)2=4,化简得(x 1-1)6=1+92,(13分)令(x 1-1)2=λ(λ>0),则λ3-1=9(λ-1)2,即(λ-1)( λ2+λ+1)=9(λ-1)2,即(λ-1)( λ2-8λ+10)=0.显然λ=1为一解,λ2-8λ+10=0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解.因为x 1-1>0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组.(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )=(x +a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式;(2) 当a >0时,若函数F (x )=f (x )-g (x )的最小值为M (a ),证明:M (a )<-73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为-a -1,则g ′(-a -1)=0且g ′(x)=0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系.(2) 求导得F ′(x)=(x +a +1)(e x -3x +a +3),解方程F ′(x)=0时,无法解方程e x -3x +a +3=0,构造函数h(x)=e x -3x +a +3,证得h(x)>0,所以-a -1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可.规X 解答 (1) 因为f ′(x)=e x +(x +a)e x =(x +a +1)e x ,令f ′(x)=0,解得x =-a -1.列表如下:所以x =-a -1时,f(x)取得极小值.(2分)因为g ′(x)=3x 2+2ax +b,由题意可知g ′(-a -1)=0,且Δ=4a 2-12b>0,所以3(-a -1)2+2a(-a -1)+b =0,化简得b =-a 2-4a -3.(4分)由Δ=4a 2-12b =4a 2+12(a +1)(a +3)>0,得a ≠-32.所以b =-a 2-4a -3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠-32.(6分)(2) 因为F(x)=f(x)-g(x)=(x +a)e x -(x 3+ax 2+bx),所以F ′(x)=f ′(x)-g ′(x)=(x +a +1)e x -[3x 2+2ax -(a +1)(a +3)]=(x +a +1)e x -(x +a +1)(3x -a -3)=(x +a +1)(e x -3x +a +3).(8分)记h(x)=e x -3x +a +3,则h ′(x)=e x -3,令h ′(x)=0,解得x =ln 3.列表如下:所以x =ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)=e ln 3-3ln 3+a +3=6-3ln 3+a=3(2-ln 3)+a=3ln e23+a>a>0.(10分)所以h(x)=e x -3x +a +3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)=0,解得x =-a -1.列表如下:所以x =-a -1时,F(x)取得极小值,也是最小值.所以M(a)=F(-a -1)=(-a -1+a)e -a -1-[(-a -1)3+a(-a -1)2+b(-a -1)]=-e -a -1-(a +1)2(a +2).(12分)令t =-a -1,则t<-1,记m(t)=-e t -t 2(1-t)=-e t +t 3-t 2,t<-1,则m ′(t)=-e t +3t 2-2t,t<-1.因为-e -1<-e t <0,3t 2-2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增.(14分)所以m(t)<-e -1-2<-13-2=-73,即M(a)<-73.(16分)。
专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)

专题07二次函数的最值问题考点1:定轴动区间;考点2:动轴定区间。
1.在二次函数y =x 2﹣2x ﹣3中,当0≤x ≤3时,y 的最大值和最小值分别是()A .0,﹣4B .0,﹣3C .﹣3,﹣4D .0,0解:抛物线的对称轴是直线x =1,则当x =1时,y =1﹣2﹣3=﹣4,是最小值;当x =3时,y =9﹣6﹣3=0是最大值.答案:A .2.(易错题)已知二次函数y =a (x ﹣1)2﹣a (a ≠0),当﹣1≤x ≤4时,y 的最小值为﹣4,则a 的值为()A .12或4B .43或−12C .−43或4D .−12或4解:y =a (x ﹣1)2﹣a 的对称轴为直线x =1,顶点坐标为(1,﹣a ),当a >0时,在﹣1≤x ≤4,函数有最小值﹣a ,∵y 的最小值为﹣4,∴﹣a =﹣4,∴a =4;当a <0时,在﹣1≤x ≤4,当x =4时,函数有最小值,∴9a ﹣a =﹣4,解得a =−12;综上所述:a 的值为4或−12,答案:D.3.(易错题)当a ≤x ≤a +1时,函数y =x 2﹣2x +1的最小值为1,则a 的值为()A .﹣1B .2C .0或2D .﹣1或2解:当y =1时,有x 2﹣2x +1=1,解得:x 1=0,x 2=2.题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=﹣1,答案:D.4.已知函数y=﹣3(x﹣2)2+4,当x=2时,函数取得最大值为4.解:∵y=﹣3(x﹣2)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),又∵a=﹣3<0,∴抛物线的开口向下,顶点是它的最高点,∴x=2时,函数有最大值为4.答案:2,4.5.若函数y=x2﹣6x+5,当2≤x≤6时的最大值是M,最小值是m,则M﹣m=9.解:原式可化为y=(x﹣3)2﹣4,可知函数顶点坐标为(3,﹣4),当y=0时,x2﹣6x+5=0,即(x﹣1)(x﹣5)=0,解得x1=1,x2=5.如图:m=﹣4,当x=6时,y=36﹣36+5=5,即M=5.则M﹣m=5﹣(﹣4)=9.故答案为9.6.已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a(1)若a=1,则函数y的最小值为﹣1.(2)若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为43或﹣4.解:(1)当a=1时,y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1∵a=1>0∴抛物线的开口向上,当x=2时,函数y的最小值为﹣1.(2)∵二次函数y=ax2﹣4ax+3a=a(x﹣2)2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x=2,∵1≤x≤4,∴当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大,当x=4时y有最大值,a×(4﹣2)2﹣a=4,解得a=43,当a<0时,抛物线开口向下,x=2时y有最大值,a×(2﹣2)2﹣a=4,解得a=﹣4.答案:(1)﹣1;(2)43或−4.7.(易错题)设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于任何一个二次函数,它在给定的闭区间上都有最小值.(1)函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0,5]上的最小值是﹣7(2)求函数=(+12)2+34在区间[0,32]上的最小值.(3)求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2,t﹣1](t为任意实数)上的最小值y min的解析式.解:(1)y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2,顶点坐标为(2,2),函数图象开口向下.如图1所示:当x=5时,函数有最小值,最小值为﹣7.答案:﹣7.(2)=(+12)2+34,其对称轴为直线=−12,顶点坐标(−12,34),且图象开口向上.其顶点横坐标不在区间[0,32]内,如图2所示:当x=0时,函数y有最小值m=1.(3)将二次函数配方得:y=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8其对称轴为直线:x=2,顶点坐标为(2,﹣8),图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2,t﹣1]左侧,则2<t﹣2,即t>4.当x=t﹣2时,函数取得最小值:m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2,t﹣1]上,则t﹣2≤2≤t﹣1,即3≤t≤4.当x=2时,函数取得最小值:y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2,t﹣1]右侧,则t﹣1<2,即t<3.当x=t﹣1时,函数取得最小值:m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论,得m=2−8+8(>4)−8(3≤≤4)2−6+1(<3).8.(易错题)已知二次函数y =﹣x 2+6x ﹣5.(1)求二次函数图象的顶点坐标;(2)当1≤x ≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当t ≤x ≤t +3时,函数的最大值为m ,最小值为n ,若m ﹣n =3,求t 的值.解:(1)∵y =﹣x 2+6x ﹣5=﹣(x ﹣3)2+4,∴顶点坐标为(3,4);(2)∵a =﹣1<0,∴抛物线开口向下,∵顶点坐标为(3,4),∴当x =3时,y 最大值=4,∵当1≤x ≤3时,y 随着x 的增大而增大,∴当x =1时,y 最小值=0,∵当3<x ≤4时,y 随着x 的增大而减小,∴当x =4时,y 最小值=3.∴当1≤x ≤4时,函数的最大值为4,最小值为0;(3)当t ≤x ≤t +3时,对t 进行分类讨论,①当t +3<3时,即t <0,y 随着x 的增大而增大,当x =t +3时,m =﹣(t +3)2+6(t +3)﹣5=﹣t 2+4,当x =t 时,n =﹣t 2+6t ﹣5,∴m ﹣n =﹣t 2+4﹣(﹣t 2+6t ﹣5)=﹣6t +9,∴﹣6t +9=3,解得t =1(不合题意,舍去),②当0≤t <3时,顶点的横坐标在取值范围内,∴m =4,i )当0≤t ≤32时,在x =t 时,n =﹣t 2+6t ﹣5,∴m ﹣n =4﹣(﹣t 2+6t ﹣5)=t 2﹣6t +9,∴t2﹣6t+9=3,解得t1=3−3,t2=3+3(不合题意,舍去);ii)当32<t<3时,在x=t+3时,n=﹣t2+4,∴m﹣n=4﹣(﹣t2+4)=t2,∴t2=3,解得t1=3,t2=−3(不合题意,舍去),③当t≥3时,y随着x的增大而减小,当x=t时,m=﹣t2+6t﹣5,当x=t+3时,n=﹣(t+3)2+6(t+3)﹣5=﹣t2+4,.m﹣n=﹣t2+6t﹣5﹣(﹣t2+4)=6t﹣9,∴6t﹣9=3,解得t=2(不合题意,舍去),综上所述,t=3−3或3.9.已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2,则a的值为()A.3B.﹣1C.4D.4或﹣1解:∵二次函数y=ax2+4x+a﹣1有最小值2,∴a>0,y最小值=4a−24=4oK1)−424=2,整理,得a2﹣3a﹣4=0,解得a=﹣1或4,∵a>0,∴a=4.答案:C.10.设二次函数y=a(x﹣m)(x﹣m﹣k)(a>0,m,k是实数),则()A.当k=2时,函数y的最小值为﹣aB.当k=2时,函数y的最小值为﹣2aC.当k=4时,函数y的最小值为﹣aD.当k=4时,函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解:令y=0,则(x﹣m)(x﹣m﹣k)=0,∴x1=m,x2=m+k,∴二次函数y=a(x﹣m)(x﹣m﹣k)与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0),∴二次函数的对称轴是:=1+22=rr2=2r2,∵a>0,∴y有最小值,当=2r2时y最小,即=o2r2−p(2r2−−p=−24,当k=2时,函数y的最小值为=−224=−;当k=4时,函数y的最小值为=−424=−4,答案:A.11.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2﹣m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有()A.最大值5B.最大值154C.最小值5D.最小值154解:由题意可得:6=m2﹣m,解得:m1=3,m2=﹣2,∵二次函数y=x2+mx+m2﹣m,对称轴在y轴左侧,∴m>0,∴m=3,∴y=x2+3x+6,∴二次函数有最小值为:4a−24=4×1×6−324×1=154.答案:D.12.已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是()A.32B.2C.32或2D.−32或2解:y=x2﹣2mx=(x﹣m)2﹣m2,①若m<﹣1,当x=﹣1时,y=1+2m=﹣2,解得:m=−32;②若m>2,当x=2时,y=4﹣4m=﹣2,解得:m=32<2(舍);③若﹣1≤m≤2,当x=m时,y=﹣m2=﹣2,解得:m=2或m=−2<−1(舍),∴m的值为−32或2,答案:D.13.(易错题)当﹣1≤x≤2时,二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1,则k的值可能是32或−解:对称轴:x=−22=−k,分三种情况讨论:①当﹣k<﹣1时,即k>1时,此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,=(﹣1)2+2k×(﹣1)+1=﹣1,∴当x=﹣1时,y有最小值,y小k=32,②当﹣1≤﹣k≤2时,即﹣2≤k≤1,对称轴在﹣1≤x≤2内,此时函数在﹣1≤x≤﹣k,y随x的增大而减小,在﹣k≤x≤2时,y随x的增大而增大,=(﹣k)2+2k•(﹣k)+1=﹣1,∴当x=﹣k时,y有最小值,y小k2﹣2k2+2=0,k2﹣2=0,k=±2,∵﹣2≤k≤1,∴k=−2,③当﹣k>2时,即k<﹣2,此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y有最小值,y=22+2k×2+1=﹣1,小k=−32(舍),综上所述,k的值可能是32或−2,答案:32或−2.14.已知y=﹣x(x+3﹣a)是关于x的二次函数,当x的取值范围在1≤x≤5时,若y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是a≤5.解:第一种情况:当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时,此时,对称轴一定在1≤x≤5的左边,函数方能在这个区域取得最大值,x=K32<1,即a<5,第二种情况:当对称轴在1≤x≤5内时,对称轴一定是在顶点处取得最大值,即对称轴为x=1,∴K32=1,即a=5综合上所述a≤5.答案:a≤5.15.(易错题)已知二次函数y=x2﹣2hx+h,当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时,函数有最小值n,则n的最大值是14.解:二次函数y=x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x=h.当h≤﹣1时,x=﹣1时y取最小值,此时n=1+2h+h=1+3h≤﹣2;当﹣1<h<1时,x=h时y取最小值,此时n=h2﹣2h2+h=﹣h2+h=﹣(h−12)2+14≤14;当h≥1时,x=1时y取最小值,此时n=1﹣2h+h=1﹣h≤0.综上所述:n的最大值为14.答案:14.16.(易错题)已知二次函数y=x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t,则t的值为1或2.解:y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,分类讨论:(1)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时,有t+1<1,即t<0,此时y随x的增大而减小,=t=(t+1)2﹣2(t+1)+2,∴当x=t+1时,函数取得最小值,y最小值方程无解.(2)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时,即有t≤1≤t+1,=1,解这个不等式,即0≤t≤1.此时当x=1时,函数取得最小值,y最小值∴t=1.(3)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时,即t>1时,y随x的增大而增大,=t=t2﹣2t+2,解得t=2或1(舍弃),∵当x=t时,函数取得最小值,y最小值∴t=1或2.答案:1或2.17.已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.解:(1)把(0,﹣3),(﹣6,﹣3)代入y=﹣x2+bx+c,得b=﹣6,c=﹣3.(2)∵y=﹣x2﹣6x﹣3=﹣(x+3)2+6,又∵﹣4≤x≤0,∴当x=﹣3时,y有最大值为6.(3)①当﹣3<m≤0时,当x=0时,y有最小值为﹣3,当x=m时,y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3,∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)=2,∴m=﹣2或m=﹣4(舍去).②当m≤﹣3时,当x=﹣3时y有最大值为6,∵y的最大值与最小值之和为2,∴y最小值为﹣4,∴﹣(m+3)2+6=﹣4,∴m=−3−10或m=−3+10(舍去).综上所述,m=﹣2或−3−10.18.(易错题)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,求二次函数的最小值;(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.解:(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴当x=﹣1时,二次函数取得最小值﹣4;(Ⅱ)当c=5时,二次函数的解析式为y=x2+bx+5,由题意得,x2+bx+5=1有两个相等是实数根,∴△=b2﹣16=0,解得,b1=4,b2=﹣4,∴二次函数的解析式y=x2+4x+5,y=x2﹣4x+5;(Ⅲ)当c=b2时,二次函数解析式为y=x2+bx+b2,图象开口向上,对称轴为直线x=−2,①当−2<b,即b>0时,在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而增大,∴当x=b时,y=b2+b•b+b2=3b2为最小值,∴3b2=21,解得,b1=−7(舍去),b2=7;②当b≤−2≤b+3时,即﹣2≤b≤0,∴x=−2,y=34b2为最小值,∴34b2=21,解得,b1=﹣27(舍去),b2=27(舍去);③当−2>b+3,即b<﹣2,在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而减小,故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值,∴3b2+9b+9=21.解得,b1=1(舍去),b2=﹣4;∴b=7时,解析式为:y=x2+7x+7b=﹣4时,解析式为:y=x2﹣4x+16.综上可得,此时二次函数的解析式为y=x2+7x+7或y=x2﹣4x+16.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
三次函数专题一、定义:定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数,称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠,把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究: 1、单调性。
一般地,当032≤-ac b 时,三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数;当032>-ac b 时,三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
(根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论) 2、对称中心。
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称,且对称中心为点))3(,3(abf a b --,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明:设函数的对称中心为(m ,n )。
按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以化简得:上式对恒成立,故,得,。
所以,函数的对称中心是()。
可见,y =f(x)图象的对称中心在导函数y =的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题。
(1)当△=01242≤-ac b 时,由于不等式0)(≥'x f 恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根。
(2)当△=01242>-ac b 时,由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ,不妨设21x x <,可知,))(,(11x f x 为函数的极大值点,))(,(22x f x 为极小值点,且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增,在[]21,x x 上单调递减。
此时:①若0)()(21>⋅x f x f ,即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧,图象均与x 轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根。
若0)()(21<⋅x f x f ,即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧,图象与x 轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根。
③ 若0)()(21=⋅x f x f ,即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等。
4、极值点问题。
若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x)),则称函数f(x)在点x 0处取得极大值(或极小值),称点x 0为极大值点(或极小值点)。
当0∆>时,三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。
当0∆≤时,三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若,且,则:()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =;。
三、例题讲解:例1、(函数的单调区间、极值及函数与方程的)已知函数f (x )=x 3-3ax 2+3x+1。
(Ⅰ)设a=2,求f (x )的单调期间;(Ⅱ)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a 的取值范围。
解:①式无解,②式的解为5543a <<, 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 例2、已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')((其中C 为常数).(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根,求常数C ;(3)在(2)的条件下,若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ,求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积.解:(1)由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(,得132'23)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f .取32=x ,得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ,解之,得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ,∴C x x x x f +--=23)(.从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f , 列表如下:x )31, (--∞31-)1 , 31(- 1 ) , 1(∞+)(' x f + 0 - 0 + )(x f↗ 有极大值 ↘ 有极小值↗∴)(x f 的单调递增区间是)31,(--∞和),1(∞+;)(x f 的单调递减区间是)1,31(-. (2)由(1)知,C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值;C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值.∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根,等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f . ………8分∴常数275-=C 或1=C .(3)由(2)知,275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f . 而031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,所以1)(23+--=x x x x f .令01)(23=+--=x x x x f ,得0)1()1(2=+-x x ,11-=x ,12=x . ∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 123 1dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=.例3、(恒成立问题)已知函数3211()32f x x x cx d =-++有极值. (1)求c 的取值范围;(2)若()f x 在2x =处取得极值,且当0x <时,21()26f x d d <+恒成立,求d 的取值范围.解:(1)∵3211()32f x x x cx d =-++,∴2()f x x x c '=-+,要使()f x 有极值,则方程2()0f x x x c '=-+=有两个实数解,从而△=140c ->,∴14c <.(2)∵()f x 在2x =处取得极值,∴(2)420f c '=-+=,∴2c =-.∴3211()232f x x x x d =--+,∵2()2(2)(1)f x x x x x '=--=-+,∴当(,1]x ∈-∞-时,()0f x '>,函数单调递增, 当x ∈(1,2]-时,()0f x '<,函数单调递减.∴0x <时,()f x 在1x =-处取得最大值76d +,∵0x <时,21()26f x d d <+恒成立,∴76d +<2126d d +,即(7)(1)0d d +->, ∴7d <-或1d >,即d 的取值范围是(,7)(1,)-∞-+∞U .例4、(信息迁移题)对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。
定义:(1)()f x 的导数()f x '(也叫()f x 一阶导数)的导数()f x ''为()f x 的二阶导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”;定义:(2)设0x 为常数,若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ,都有000()()2()f x x f x x f x ++-=恒成立,则函数()y f x =的图象关于点00(,())x f x 对称。
(1)己知32()322f x x x x =-++, 求函数()f x 的“拐点”A 的坐标; (2)检验(1)中的函数()f x 的图象是否关于“拐点”A 对称;(3)对于任意的三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠写出一个有关“拐点”的结论(不必证明)。
解:(1)依题意,得:2()362f x x x '=-+ ,()66f x x ''∴=-。
由()0f x ''= ,即660x -=。
∴1x =,又 (1)2f =,∴32()322f x x x x =-++的“拐点”坐标是(1,2)。
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。
而(1)(1)f x f x ++-=32(1)3(1)2(1)2x x x +-++++32(1)3(1)2(1)2x x x +---+-+=222666444x x +--++==2(1)f ,由定义(2)知:()32322f x x x x =-++关于点(1,2)对称。
(3)一般地,三次函数()32f x ax bx cx d =+++(0)a ≠的“拐点”是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭,它就是()f x 的对称中心。
或者:任何一个三次函数都有拐点; 任何一个三次函数都有对称中心; 任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .例5、(与线性规划的交汇问题)设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解:,据题意得解得故为所求.(2)据题意,,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A 到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6:(1)已知函数f(x)=x 3-x ,其图像记为曲线C.(i ) 求函数f(x)的单调区间;(ii )证明:若对于任意非零实数x 1 ,曲线C 与其在点P 1 (x 1,f(x 1)))处的切线交于另一点P 2(x 2,f(x 2)),曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3,f(x 3)),线段P 1 P 2, P 2 P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2,则12S S 为定值; (2)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx 2+cx+d(a ≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii )的正确命题,并予以证明。
解法一:(1)(i )有f(x)=x 3-x 得f ’(x)=3x 2-1=3(x-33)(x+33). 当x ∈(-∞,33-)和(33,+∞)时,f ’(x)>0; 当x ∈(3-,3)时,f ’(x)<0。