线面积分计算

z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
a2 k 2d
0
1 ka2 a2 k2 . 2
例3. 计算曲线积分
线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
高等数学
李苹 计算机科学学院
三、对弧长曲线积分的计算
定理
设 f ( x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数方程为
x y
( t ), ( t ),
( t )其中
(t), (t)在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt
2 3a4.
四、小结
1．对面积的曲面积分的概念;
n
f (x,
y, z)dS
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
2．对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上
的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三
坐标面上）
注意：一投、二代、三换．
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
Dxy
2. 若曲面 ： y y(x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
Dxz
3. 若曲面 ： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
D
.
.
.
.
i (xi , yi)
z = f (x,y)
S i
y
D
11. 锥面z x y 被圆柱面 x y x 所割下部分的曲面面积
z
y
1
o
x
11. 锥面z x y 被圆柱面 x y x 所割下部分的曲面面积
z
y
1
.
o
1
x
11. 锥面z x y 被圆柱面 x y x 所割下部分的曲面面积
xoz
Dxz
2 x
Dxz
1
1
x
2
x
2
dxdz
1
2
x
x2
dx dz
1 1 x2 0
,
xdS 0 0 .
例4 计算 ( x2 y2 z2 )dS , 其中 为内接于球面
x2 y2 z2 a2的八面体| x | | y | | z | a 表面.
解 被积函数 f ( x, y, z) x2 y2 z2 ,
显然 , xdS xdxdy换元,成r与角，
1
D1
积分角时为零
xdS x 1 1dxdy 0,
2
D1
讨论3时, 将投影域选在xoz 上.
（注意： y 1 x2 分为左、右两片）
（左右两片投影相同）
xdS xdS xdS
3
31
32
2 x 1 yx2 yz2dxdz
3
几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
z f (x, y)
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 s 柱面在点( x, y)处的高时,
S柱面面积
f ( x, y)ds.
L
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 ,
b
(令u
a2 sin2 t b2 cos2 t )
ab(a2 ab b2 ) . 3(a b)
例2 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
故 ( x y z)ds
2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdy
Dxy
Dxy
2
5
20 d0 (5 r cos )rdr 125 2.
例 2 计算 | xyz | dS ,
其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1）.
z
解 依对称性知：
抛物面z x2 y2 关于z轴对称，
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 125 5 1.
4
420
例3 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1：z 0 , 2：z x 2,
3： x2 y2 1. 投影域D1：x2 y2 1
关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面 也具有对称性 ,
故原积分 8 ,
1
(其中1 表示第一卦限部分曲面)
1：x y z a, 即z a x y
dS 1 zx2 zy2dxdy 3dxdy
( x2 y2 z2 )dS 8 ( x2 y2 z2 )dS
1
8[ x2 y2 (a x y)2 ] 3dxdy Dxy
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
D yz
例1 计算 ( x y z)ds , 其中 为平面
y z 5被柱面x2 y2 25所截得的部分.
解 积分曲面 ：z 5 y ,
投影域 ： Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
上
1
的
区
域A在π
上
2
的
投
影
为σ
,
证 当A是矩形, 且一边与l平行
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
引理成立
一般情况，将A分割成
若干个上述类型的小矩形，
对每一个用引理，
然后迭加
再取极限即可。
证毕
注：这. 里 即 两平面法矢量的夹角
10. 曲面的面积
x
.
z Pi
z = f (x,y)
被积函数| xyz |关于
xoz、 yoz 坐标面对称
y x
有 4 成立，(1为第一卦限部分曲面)
1
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy Dxy
S i
0
i
y
(xi , yi)
D
10. 曲面的面积
z ni
i
Si Ai
Ai
1
cos i
i
（由引理）
1 f x2 ( xi , yi ) f y2 ( xi , yi ) i
ni
f x ( xi , yi ), f y( xi , yi ),1
0
Pi Ai
x
S f x ( x, y) f y ( x, y)dxdy
Ix
x 2 ds,
L
Iy
y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
x L xds , L ds
y L yds . L ds
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算 3.对弧长曲线积分的应用
10. 曲面的面积
引理
l
平
面
与
的
夹
角
为
,
则面积 A σ cosγ
1
b
A
a
2
.
π
L
( )
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
特殊情形
(1) L : y ( x) a x b.
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx. (a b)
L
a
(2) L : x ( y) c y d.
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
利用极坐标 x r cos t , y r sin t ,
4
2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
1 4r 2rdr
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr
令u 1 4r 2
f ( x, y)ds
d
f [ ( y), y]
1 2( y)dy.
L
c
(c d)
推广: : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
例1
S P Q dxdy
z
D
y 其中 P z x
x x 2 y 2
1
z
y
Q
y x 2 y 2
S dxdy
D
2 S
o
.
D
:
x2 z 0
y2
2x
.
D
1
. .. .
x
四、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
求I
L xyds,
L
:
椭圆
x y
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a b
cos t, sin t,
(第象限).
解 I 2 a cos t b sin t (a sin t)2 (b cos t)2dt 0
ab 2 sin t cos t a2 sin2 t b2 cos2 tdt 0
ab a2 b2
a u2du