对数函数提高版 无答案

对数函数提高版

知识点1对数型复合函数的单调性

复合函数y ＝f [g (x )]是由y ＝f (x )与y ＝g (x )复合而成，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为__________；若f (x )与g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为__________.

对于对数型复合函数y ＝log a f (x )来说，函数y ＝log a

f (x )可看成是y ＝

log a

u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增

异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．

知识点2对数型复合函数的值域

对于形如y ＝log a

f (x ) (a >0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

(1)分解成y ＝log a

u ，u ＝f (x )两个函数；(2)解f (x )>0，求出函数的定义域；

(3)求u 的取值范围；(4)利用y ＝log a

u 的单调性求解．

1．函数f (x )＝log a

x 在(0，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

3．(2019·大连市高一期末测试)函数f (x )＝lg(x 2

－2x －3)的单调递减区间是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，1)

C ．(1，＋∞)

D ．(3，＋∞)

2．已知函数f (x )＝2log 12

x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )

A ．⎣

⎢

⎢⎡

⎦

⎥⎥⎤

22，2 B ．[－1,1]

C ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤

12，2 D ．⎝

⎛

⎦

⎥⎥

⎤－∞，

22∪[2，＋∞)

题型一 对数型复合函数的单调性

例1讨论函数f (x )＝log a

(3x 2

－2x －1)的单调性．

[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y ＝f (u )，u ＝φ(x )的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．

2．复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).

4．已知log 0.3(3x )

2，＋∞) B ．(－∞，1

2) C ．(－12，12)

D ．(0，1

2)

5．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知x 满足(log 12

x )2－log 12

x －6≤0，求f (x )＝(1＋log 2x )log 2x

4的最大值与最小值及相应x 的值．

【对点练习】❶ (2020·河北沧州市高一期末测试)函数f (x )＝log 12

(x 2－3x －10)的单调递增区间为( ) A(－∞ －2) B ．(－∞，3

2) C ．(－2，3

2)

D ．(5，＋∞)

题型二 对数型复合函数的值域

例2求下列函数的值域：

(1)y ＝log 2(x 2＋4)； (2)y ＝log 12

(3＋2x －x 2)．

[归纳提升] 1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．

2．对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y ＝log a

u ，

u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a

u 的单调性求解．

【对点练习】❷ 函数f (x )＝log 2(3x

＋1)的值域为( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

题型三 对数型复合函数的奇偶性

例3(2019·云南泸西县一中)已知函数f (x )＝log a

(x ＋1)－log a

(1－x )(a >0且a ≠1)．

(1)求f (x )的定义域；

(2)判断函数f (x )的奇偶性并加以证明．

[归纳提升] 判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．

【对点练习】❸函数f(x)＝lg(

1

x2＋1＋x

)是()

A．奇函数B．偶函数

C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数

忽视对数函数的定义域

例4若函数y＝log

a

(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是() A．(0,1) B．(1,2)

C．(0,2) D．(1，＋∞)

•[方法点拨]对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．

综合应用所学知识分析解决问题的能力

例5已知f(x)＝ln 1－mx

x－1是奇函数．

(1)求m；

(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

•[归纳提升](1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：

•①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．

•②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．

•(2)用定义证明形如y＝log

a f(x)函数的单调性时，应先比较与x

1

，x

2

对应的两真数间

的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．