第五章 异方差性 答案

第五章 异方差性
一、判断题
1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）
2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）
3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）
4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）
5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ） 二、单项选择题
1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）
A.异方差性
B.自相关性
C.随机解释变量
D.多重共线性 2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）
A.一阶差分法
B.广义差分法
C.工具变量法
D.加权最小二乘法 3.White 检验方法主要用于检验（ A ）
A.异方差性
B.自相关性
C.随机解释变量
D.多重共线性 4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）
A.戈德菲尔特——匡特检验
B.怀特检验
C.戈里瑟检验
D.方差膨胀因子检验 5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）
A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用
B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用
C.重视小误差和大误差的作用
D.轻视小误差和大误差的作用 6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式
的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二
乘法估计模型参数时，权数应为（ B ） A. B.
C. D.
7.设回归模型为，其中
()2i
2i x u Var σ=，则
b 的最有效估计量为（ D ）
A. B.
C. D. ∑=
i
i x y n 1
b ˆ
8.容易产生异方差的数据是（ C ）
A. 时间序列数据
B.平均数据
C.横截面数据
D.年度数据
9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2
i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模
i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1
i
x 1i i i u bx y +=∑∑=
2
ˆx
xy b 2
2
)(ˆ∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n b x
y
b
=
ˆ
型时，应将模型变换为（ C ）。

A.
X u X X X Y ++=βα B.X u
X X Y ++=βα C.
X u X X Y ++=βα D.222X
u X X X Y ++=βα 10.设回归模型为i i i u X Y +=β，其中()2
i 2i X u Var σ=，则β的普通最小二乘估计量为
（ A ）
A.无偏但非有效
B.无偏且有效
C.有偏但有效
D.有偏且非有效
11.以21σ表示包含较小解释变量的子样本方差，2
2σ表示包含较大解释变量的子样本方差，则检验异方差的戈德菲尔德—匡特检验法的零假设是（ D ） A.021=σ B.02
2=σ C.02221=≠σσ D.2
221σσ=
12.线性模型 i i 22i 110i u X X Y +++=βββ不满足哪一假定称为异方差现象?（ B ）
A.()
0u u Cov j i =, B.()2
i u Var σ=
C.()
0u X Cov j i =, D.()0X X Cov i 2i 1=,
13.在异方差的众多检验方法中，既能判断随机误差项存在异方差，又能给出异方差具体存在形式的检验方法是（ C ）
A.DW 检验
B.怀特检验
C.戈里瑟检验
D.图示检验法 14.设回归模型为
，其中
，则
的最有效估计量为（ C ）。

A. B.
C.
D. 15．对于模型
，如果在异方差检验中发现
，则用模型
变换法估计模型参数时，原模型左右两边应乘以（ D ）。

A.
B.
C. D.
i
i i u X Y +=βi
i X u Var 2)(σ=β2ˆX XY ∑∑=β22)(ˆX X n Y X XY n ∑-∑∑∑-∑=βX Y =βˆX Y n ∑=1ˆβi
i i X Y μββ++=102
)(σμi i X Var =i X i X i
X 1i
X 1
三、多项选择题
1.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（ AB ） A.线性 B.无偏性 C.最小方差性 D.有效性
2.异方差性将导致（ BCDE ）。

A.普通最小二乘法估计量有偏和非一致
B.普通最小二乘法估计量非有效
C.普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏
D.建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效
E.建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变得不准确 3.下列哪些方法可用于异方差性的检验（ CD ）。

A. DW 检验
B.方差膨胀因子检验法
C.戈德菲尔德—匡特检验法（样本分段比较法）
D.戈里瑟检验（残差回归检验法） 4.当模型存在异方差现象时，加权最小二乘估计量具备（ ABCD ）。

A.线性 B.无偏性 C.有效性 D.一致性 5.下列说法正确的有（ BE ）。

A.当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性
B.当异方差出现时，常用的t 和F 检验失效
C.异方差情况下，通常的OLS 估计一定高估了估计量的标准差
D.如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性
E.如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势 6.在计量经济学中，产生异方差的原因主要有（ ABCD ） A.模型中遗漏了某些解释变量 B.模型函数形式的设定误差 C.样本数据的测量误差 D.截面数据中总体各单位的差异 E.非随机因素的影响 四、简答题
1. 什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。

答：异方差性是指模型违反了古典假定中的同方差假定，它是计量经济分析中的一个专门问题。

在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此
不同，则称随机项i u 具有异方差性，即()n 21i u Var 2
i i ,,,, ==σ。

例如，利用横截面数据
研究消费和收入之间的关系时，对收入较少的家庭在满足基本消费支出之后的剩余收入已经不多，用在购买生活必需品上的比例较大，消费的分散幅度不大。

收入较多的家庭有更多可自由支配的收入，使得这些家庭的消费有更大的选择范围。

由于个性、爱好、储蓄心理、消费习惯和家庭成员构成等那个的差异，使消费的分散幅度增大，或者说低收入家庭消费的分散度和高收入家庭消费得分散度相比较，可以认为牵着小于后者。

这种被解释变量的分散幅度的变化，反映到模型中，可以理解为误差项方差的变化。

2. 产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS 估计有何影响。

答：产生原因：（1）模型中遗漏了某些重要的解释变量；（2）模型函数形式的设定误差；
（3）样本数据的测量误差的变化；（4）截面数据中总体各单位的差异。

产生的影响：如果线性回归模型的随机误差项存在异方差性，会对模型参数估计、模型检验及模型应用带来重大影响，主要有：（1）参数的OLS 估计仍然具有无偏性；（2）参数的OLS 估计式的方差不再是最小的；（3）解释变量的显著性检验失效；（4）预测精度降低,区间预测面临困难。

3. 检验异方差性的方法有哪些？
答：检验方法：（1）图示检验法；（2）戈德菲尔德—匡特检验；（3）怀特检验；（4）戈里瑟检验（残差回归检验法）；（5）ARCH 检验（自回归条件异方差检验） 4. 异方差性的解决方法有哪些？
答：解决方法：（1）模型变换法；（2）加权最小二乘法；（3）模型的对数变换等 5.什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？
答:加权最小二乘法的基本原理：最小二乘法的基本原理是使残差平方和∑2
t e 为最小，在
异方差情况下，总体回归直线对于不同的t t e x ,的波动幅度相差很大。

随机误差项方差2
t σ越小，样本点
t y 对总体回归直线的偏离程度越低，残差t e 的可信度越高（或者说样本点的
代表性越强）；而2
t σ较大的样本点可能会偏离总体回归直线很远，t e 的可信度较低（或者说样本点的代表性较弱）。

因此，在考虑异方差模型的拟合总误差时，对于不同的2
t e 应该区别对待。

具体做法：对较小的2
t e 给于充分的重视，即给于较大的权数；对较大的2t e 给
于充分的重视，即给于较小的权数。

更好的使∑2
t e 反映)var(i u 对残差平方和的影响程
度，从而改善参数估计的统计性质。

6. 戈德菲尔特——匡特检验（即样本分段法）检验异方差性的基本原理及其使用条件。

答：戈德菲尔特—匡特检验（即样本分段法）的基本原理：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样本的残差平方和应该大致相等；如果是异方差的，则两者差别较大，以此来判断是否存在异方差。

使用条件：（1）样本容量要尽可能大，一般而言应该在参数个数两倍以上；（2）t u 服从正态分布，且除了异方差条件外，其它假定均满足。

7.简述异方差性检验方法的共同思路。

答：由于异方差性，相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。

各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。

五、计算题 1.设消费函数为
01i i i y b b x u =++，其中i y 为消费支出，i x 为个人可支配收入， i u 为
随机误差项，并且22()
0,()i i i E u Var u x σ==（其中2σ为常数）。

试回答以下问题：
（1）选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；（2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

解：（1）原模型：
01i i i y b b x u =++
①等号两边同除以i x ，新模型：
011
i i i i i
y u b b x x x =++ ②令*
*1
,,i i i
i i i i i
y u y x v x x x ===
则：②变为
**10i i i
y b b x v =++，此时222
21
()()()i i i i i
u Var v Var x x x σσ===，新模型不存在异方差性。

（2）对
**10i i i y b b x v =++进行普通最小二乘估计
****
0*2*2**
10()()i i i i i i i i n x y x y b n x x b y b x ⎧-=
⎪-⎨⎪=-⎩
∑∑∑∑∑ 其中*
*1
,i i i i i
y y x x x =
=
（进一步带入计算也可）
2.检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。

0112233t t t t t y b b x b x b x u =++++
样本共40个，本题假设去掉c=12个样本，假设异方差由1i x 引起，数值小的一组残差平方和为10.46617RSS E =-，数值大的一组平方和为20.3617RSS E =-。

0.05(10,10) 2.98F =
解：（1）01:; :;t t H u H u 为同方差性为异方差性 （2）120.46617
1.290.3617
RSS E F RSS E -=
==- （3）0.05(10,10) 2.98F =
（4）0.05(10,10)F F ≤，接受原假设，认为随机误差项为同方差性。

3.假设回归模型为：i i i u x y +=β，其中：()()
;,;,~j i 0u u E x 0N u j i i 2
i ≠=σ；并且i x 是
非随机变量，求模型参数β的最佳线性无偏估计量及其方差。

解：原模型：i i i u x y +=β 根据()()
;,;,~j i 0u u E x 0N u j i i 2
i ≠=σ
为消除异方差性，模型等号两边同除以i x 模型变为：
i
i i i i i x u x x x y +=β 令i
i i i i i i i i x u v x x x x y y ===
,*,* 则得到新模型：i i i v x y +=**β
此时221
()()i i i
Var v Var x x σσ==
=新模型不存在异方差性。

利用普通最小二乘法，估计参数得：()
x y x y x x y x x x y x i i i i i i i 2
==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∑∑***ˆβ 4.根据我国1985——2001年城镇居民人均可支配收入和人均消费性支出资料，按照凯恩斯绝对收入假说建立的消费函数计量经济模型为：
y 7220422137c ⨯+=..
t=)875.5( )09.127(
999.02=R ；9.51..=E S ；205.1=DW ；16151=F
y
e t ⨯+-=871.09.451
t=)283.0(- )103.5(
634508.02=R ；3540.=E S ；91.1=DW ；04061.26=F
其中：y 是居民人均可支配收入，c 是居民人均消费性支出。

要求：（1）解释模型中137.422和0.772的意义；（2）简述什么是模型的异方差性；（3）检验该模型是否存在异方差性； 解答：（1）0.722是指，当城镇居民人均可支配收入每变动一个单位，人均消费性支出资料平均变动0.722个单位，也即指边际消费倾向；137.422指即使没有收入也会发生的消费支出，也就是自发性消费支出。

(2) 在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此
不同，则称随机项i u 具有异方差性。

(3) 存在异方差性，因为辅助回归方程634508.02
=R ，04061.26=F ，整体显著；并且
回归系数显著性地不为0。

戈里瑟检验就是这样的检验过程。

5.根据下列检验结果()050.=α，说明：
（1）这是何种检验？（2）检验结果说明了什么？（3）采用何种方法消除存在的问题。

答：（1）这是怀特检验；（2）276nr 2.=，概率为0.043490<0.05，说明模型存在异方差性； （3）采用加权最小二乘法去消除异方差性。