高中数学-解三角形应用举例练习

高中数学-解三角形应用举例练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．

①.北偏东10°；②北偏西10°；③南偏东10°；④南偏西10°

解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.

答案②

2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300 3 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为________m.

解析如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，

AD＝300 3 m，由正弦定理，得

900 sin 4α＝

3003 sin 2α

，

解得cos 2α＝

3 2

，

则sin 2α＝1

2

，sin 4α＝

3

2

，

所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝3003sin 4α＝3003×

3

2

＝450(m)．

答案450

3．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．

解析由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定

理，得

AB

sin∠ACB

＝

AC

sin∠CBA

，即

2

sin 45°

＝

AC

sin 60°

，解得AC＝6(千米)．

答案 6

4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是________m.

解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．

答案500

5．(·广州调研)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝________m.

解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.

由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82

－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝

5

16

，所以sin α＝

231

16

，所

以

tan α＝sin α

cos α

＝

231

5

.

答案231 5

6．(·哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，

50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．

解析依题意可得AD＝2010 m，AC＝30 5 m，又CD＝50 m，所以在△ACD

中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2

2AC·AD

＝

3052＋20102－502

2×305×2010

＝

6 000

6 0002

＝

2

2

，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看

建筑物CD的张角为45°.

答案45°

7.(·杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东

30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

解析设航速为v n mile/h，

在△ABS中，AB＝1 2

v，BS＝8 2 n mile，

∠BSA＝45°，

由正弦定理，得

82

sin 30°

＝

1

2

v

sin 45°

，∴v＝32 n mile/h.

答案32

8．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进

1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.

解析过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，

故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝

AD sin∠ADB

sin∠ABD

＝

1 000sin 150°

sin 15°

＝500(6＋2)(m)．

所以在Rt△ABC中，BC＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)．

答案500(3＋1)

二、解答题

9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的