第4章 多元函数微积分学

11.无界区域上简单的反常二重积分
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考试要求
1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义 . 2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续 函数的性质 .
3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、 二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数 .
4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的 必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最 小值,并会解决简单的应用问题 . 5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角 坐标、极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算 .
• 极限
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y) A ,
x x0 y y0
lim f ( x, y ) A ,
lim f ( x, y) A , 其中 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 .
0
( x , y ) ( x0 , y 0 )
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10.二重积分的概念、基本性质和计算 •二重积分的概念
直角坐标系下,面积元素 d d xdy. 极坐标系下,面积元素 d d d .
f ( x, y) dxdy f (r cos , r sin ) r drd
D D
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•二重积分的性质
与一元函数定积分的性质完全类似. •二重积分的计算 将二重积分转化成累次积分.
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典型例题分析
xy , ( x,y ) (0 ,0) , 2 2 例1 已知设 f ( x, y ) x y 讨论 f ( x, y) 0 , ( x,y ) (0,0) . 在 (0,0) 处的连续性、可偏导性和可微性.
解
先考察 f ( x, y) 当 ( x, y) (0,0) 时的极限.
f x2 y 2 ye , x
2 f x
2
f x2 y2 xe , y
x y
2 2
2 xy e
3
,
2 f y
2
2 x y e
3
x2 y2
,
2 f 2 2 x2 y2 (1 2 x y ) e , xy
x 2 f 2 f y 2 f x2 y2 所以 2 2e . 2 2 y x xy x y
(sin cos ) cos 2 0 ( 0),
故由夹逼准则知
( x , y ) ( 0, 0 )
lim
( y x) x x2 y2
0.
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例4
解
设 f ( x, y)

xy 0
e t
2
x 2 f 2 f y 2 f 2 . dt ,求 2 2 y x xy x y
4.有界闭区域上二元连续函数的性质
有界定理, 最值定理, 介值定理.
5.多元函数偏导数的概念与计算
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
本质上仍然是一元函数求导数,故一元函数中的求 导公式,求导法则都适用于求偏导数.
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9.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值
•二元函数的 z f ( x, y)极值求法
0 ,得到驻点 M 0 ( x0 , y0 ) , 令 f x 0, f y
记 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ).
求出极值可能点,再根据具体问题判断.
如果目标函数是三元函数 u f ( x, y, z ) ,且约束条件有两个:
( x, y, z ) 0 , ( x, y, z ) 0 ,
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z, , ) f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) .
f f dx dy . z f ( x, y) 的全微分计算公式: dz x y 多元函数连续、可偏导与可微的关系
连 续
可偏导
可 微
连续的偏导数
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8.多元复合函数的求导法与隐函数求导法
•全导数公式 •链导公式 (1) 若 z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y ) , 则
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例3 求极限 解
( x , y ) ( 0, 0 )
lim
( y x) x x2 y2
.
令
x cos , y sin , ( 0)
则 ( x, y) (0,0) 等 价 于 0.
2 (sin cos ) cos ( y x) x 0 x2 y2
z z u z v z z u z v , . x u x v x y u y v y
(2) 若 z f ( x, u, v) , u ( x, y) , v ( x, y ) , 则
z f z u z v z z u z v , . x x u x v x y u y v y
c o
Y-型
x
D {( x , y ) | c y d , ( y ) x ( y )}
3
• n元函数: u f ( x1 , x2 ,, xn ), D R n .
2.二元函数的几何意义
二元函数 z f ( x, y) 的图形是空中的一张曲面.
4
3.二元函数的极限与连续的概念
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分析:
解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y x
y 0
x 1 时 , x 1 y
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步未考 虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 .
1 1, x
解法2
此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x 2 x 时
求 z f ( x, y) 在约束条件 ( x, y) 0 下的极值.
构造拉格朗日函数
其中 为参数,称为拉格朗日乘数.
Fx f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 , 令 Fy F ( x, y ) 0

令 y k x,
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解法3

令 x r cos , y r sin ,
此法忽略了 的任意性, 极限不存在! 由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自 变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,本题极限实际上不存在 . 特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但 要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
若 B 2 AC 0 , 有极值 , 且当 A 0 时有极大值 , 当 A 0 时有极小值;
若 B 2 AC 0 ,没有极值;
若 B 2 AC 0 ,需另作讨论.
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•条件极值
(拉格朗日乘数法)
F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) ,
6
6.二阶偏导数 z 2 Fra Baidu bibliotek z 2 z ( x, y), ( x, y) 2 f yy 2 f xx x x x y y y
2 z 2 z z z ( x, y), f xy ( x, y) f yx y x xy x y yx
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y 例5 设 z x f ( xy , ) , ( f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 )， 求: x z 2 z 2 z , 2, . y y xy
3
z 1 3 解 x ( f 1 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2, y x 2z 1 1 4 2 x f12 ) x ( f 21 x f 22 ) x ( f11 2 x x y 2 x 3 f12 xf 22 , x 5 f11 2z 2z y 3 4 x [ f11 y f12 ( 2 )] 2 xf 2 4 x f 1 xy yx x y 2 y f 22 ( 2 )] x [ f 21 x 3 4 y f 22 . 4 x f1 2 x f 2 x y f11
lim
f ( x, y ) 若存在 , 则沿任何线路极限都
存在且相等;
反之,若沿不同的线路得到不同的极限,则原极 限不存在. (此结论常用于证明极限不存在)
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•连续
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
一切多元初等函数在其定义区域内连续.
考试内容
1.多元函数的概念
• 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ )
•(开)区域 连通的开集


外点

E
边界点
若点集 E 的点都是内点 ,则称 E 为开集. 若集 E 中任意两点都可用 一完全属于 E 的折线相连 , 则称 E 是连通的. 开区域连同它的边界一起 称为闭区域.
再用定义求 f ( x, y) 在 (0,0) 处的偏导数，
(0,0) lim fx
x0
f (0 x, 0) f (0,0) 0 lim 0; x0 x x
(0,0) 0 ； 同理, f y
最后考察可微性:
(0,0)x f y (0,0)y z f (0 x,0 y) f (0,0) f x
注意
z x
与
f 的区别. x
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•隐函数求导法
设方程 F ( x, y, z ) 0 确定了 z 为关于 x 与 y 的函数
z z ( x, y ) ,欲求
z z 和 . y x
方法一: 方程两边关于x 或 y 求偏导数; 方法二: (公式法) 当 Fz 0时,
Fx z , x Fz Fy z . y Fz
f (x, y )
xy x 2 y 2
o( x 2 y 2 ) ,
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最后一步是因为,若 k 0 ,则
lim xy x 2 y 2 x y
2 2
x 0 y kx
lim
kx 2 (1 k 2 ) x 2 | x |
x0 y kx
lim
xy x y
2 2
lim
x 0
kx 2 x k x
xy x y
2 2
2
2 2
lim
k
2
x 0 1 k
0,
因此,当 ( x, y) (0,0) 时,
无极限,
故 f ( x, y) 在 (0,0) 处不连续；
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xy , ( x,y ) (0 ,0) , 2 2 f ( x, y ) x y 0 , ( x,y ) (0,0) .
3 2
x 0
,
所以 f ( x, y) 在 (0,0) 处不可微.
实际上,可微一定连续,不连续当然不可微.
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例2 讨论二重极限
时, 下列算法是否正确?
解法1
1 原式 lim 1 1 0 x 0 y x
y 0
解法2 令 解法3 令
y kx, x r cos , y r sin ,

内点
1
用不等式(组)表示区域:
y
{( x, y) | x y 0}
y
o x
y f ( x)
y g( x )
X-型
b
x
a o
D {( x , y ) | a x b , g( x ) y f ( x ) }
2
用不等式(组)表示区域: y
d
x ( y)
x ( y)
2z 2z 若二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连 y x x y
续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
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7.全微分 如果 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 可以表
示 为 z Ax By o( x 2 y 2 ) , 其 中 A, B 与 x, y 无关.