绕x轴旋转体的体积
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ox
y
R
x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
y
( x, y )
A( y) 2 x y tan
2 tan y R y
2
R 0
o
R
2
x
2 2 2 tan y R y dy V
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例2. 求由曲线 y x , 直线 x 1及 x轴所围成的平 面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
Vx ( x ) dx
2 0
1
xdx
x 2
0 1 2
0
1
2
2 x 例3 求由曲线 4 y，直线 y 1及 y 轴所围成的图形
2 2
2
y
o
3 a sin 6 0
2
a
2 a x
利用对称性
2
3 a (1 cos t )3 d t 0
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3
5 a
5 3 1 a 6 4 2 2
t t d t (令 u ) 2 2
x
y f ( x)
x
x dx
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴 旋转而成的薄片的体积为体积微元，
d V [ f ( x)]2 dx
V [ f ( x )] dx
2 a b
2 y a dx
b
类似的当考虑连续曲线段 绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
V [ ( y )]2 d y c
d
y
d y c o
x ( y)
x
例1 由曲线
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 b 2 y a x 2 (a x a) a
则
y
b
o
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
练习题
1.求y sin 的体积.
x, y 0,0 x
绕
x轴和
y 轴旋转一周的旋转体
解：由公式有
Vx sin 2 xdx
0
2
0
(1 cos 2 x)dx
2
2
3 3 x a cos t , y a sin t 0t 例20. 求由星形线
1应用平行截面函数求旋转体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
d V A( x) d x
因此所求立体体积为
y
y f ( x)
V A( x) d x
a
b
o
a
b
x
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例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心， 并 与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
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方法2 利用椭圆参数方程 x a cos t y b sin t 则
a
V 2 y 2 dx 2 2 ab 2 sin 3t d t 0 0 2 2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
第八章
第五节 定积分的应用
求旋转体的体积
一 旋转体的体积
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
在[a, b] 上任取小区间[ x, x dx] 取积分变量为 x x [ a, b] o
x2 y 2 R2 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 1 2 2 A( x) ( R x ) tan ( R x R) 2 利用对称性 R1 V 2 ( R 2 x 2 ) tan d x 0 2 1 3 R 2 2 tan R x x 0 3
y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 分别绕 x 轴，
y
y
x x
解：绕 x 轴旋转体的体积
x2 2 V x 1 2 ( ) dx 2 0 4 16
2 2
2
0
x 4 dy
x 2 16 5
5 2
0
8 5
y
绕 y 轴旋转体的体积
Vy
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积. 解: 利用公式有
V a 2 sin 7 t 3a cos2 tdt
0
6 a
3
2 0
32 (sin t sin t )dt a3 105
7 9
1
0
( 4 y ) dy 4 ydy
2 0
2 1
1
y 2 4 2 0
源自文库
例3 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a 0
0
y dx
a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t
ox
y
R
x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
y
( x, y )
A( y) 2 x y tan
2 tan y R y
2
R 0
o
R
2
x
2 2 2 tan y R y dy V
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例2. 求由曲线 y x , 直线 x 1及 x轴所围成的平 面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
Vx ( x ) dx
2 0
1
xdx
x 2
0 1 2
0
1
2
2 x 例3 求由曲线 4 y，直线 y 1及 y 轴所围成的图形
2 2
2
y
o
3 a sin 6 0
2
a
2 a x
利用对称性
2
3 a (1 cos t )3 d t 0
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3
5 a
5 3 1 a 6 4 2 2
t t d t (令 u ) 2 2
x
y f ( x)
x
x dx
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴 旋转而成的薄片的体积为体积微元，
d V [ f ( x)]2 dx
V [ f ( x )] dx
2 a b
2 y a dx
b
类似的当考虑连续曲线段 绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
V [ ( y )]2 d y c
d
y
d y c o
x ( y)
x
例1 由曲线
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 b 2 y a x 2 (a x a) a
则
y
b
o
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
练习题
1.求y sin 的体积.
x, y 0,0 x
绕
x轴和
y 轴旋转一周的旋转体
解：由公式有
Vx sin 2 xdx
0
2
0
(1 cos 2 x)dx
2
2
3 3 x a cos t , y a sin t 0t 例20. 求由星形线
1应用平行截面函数求旋转体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
d V A( x) d x
因此所求立体体积为
y
y f ( x)
V A( x) d x
a
b
o
a
b
x
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例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心， 并 与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
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方法2 利用椭圆参数方程 x a cos t y b sin t 则
a
V 2 y 2 dx 2 2 ab 2 sin 3t d t 0 0 2 2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
第八章
第五节 定积分的应用
求旋转体的体积
一 旋转体的体积
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
在[a, b] 上任取小区间[ x, x dx] 取积分变量为 x x [ a, b] o
x2 y 2 R2 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 1 2 2 A( x) ( R x ) tan ( R x R) 2 利用对称性 R1 V 2 ( R 2 x 2 ) tan d x 0 2 1 3 R 2 2 tan R x x 0 3
y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 分别绕 x 轴，
y
y
x x
解：绕 x 轴旋转体的体积
x2 2 V x 1 2 ( ) dx 2 0 4 16
2 2
2
0
x 4 dy
x 2 16 5
5 2
0
8 5
y
绕 y 轴旋转体的体积
Vy
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积. 解: 利用公式有
V a 2 sin 7 t 3a cos2 tdt
0
6 a
3
2 0
32 (sin t sin t )dt a3 105
7 9
1
0
( 4 y ) dy 4 ydy
2 0
2 1
1
y 2 4 2 0
源自文库
例3 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a 0
0
y dx
a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t