绕 轴旋转体的体积

如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan
2 tan y R2 y2
V 2 tan
R
y
R2 y2 dy
0
y
o
R (x, y) x
练习题
1.求y sin x, y 0,0 x 绕 x轴和 y轴旋转一周的旋转体
的体积.
解：由公式有
Vx
sin 2 xdx
方法2 利用椭圆参数方程
x a cos t
y
b
sin
t
则
V 2 a y2 dx 2
2 ab2 sin3t d t
0
0
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4
3
a3 .
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例2. 求由曲线 y , 直x 线 及 x轴所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积.
上连续, 则对应于小区间
dV A(x) d x
的体积元素为
y
y f (x)
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
oa
bx
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例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
32
a3
0
105
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
ox
R x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
Vx
1
(
0
x)2 dx
1
xdx
0
x2
2
1 0
2
例3 求由曲线 x2 4 y，直线y 1及 y 轴所围成的图形
分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积
y
y
x x
解：绕 x 轴旋转体的体积
Vx 12 2
2 ( x 2 )2 dx 04
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
y b a2 x2 (a x a) a
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
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第八章
第五节 定积分的应用
求旋转体的体积
一 旋转体的体积
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
在[a,b]上任取小区间[x, x dx]
y f (x)
取积分变量为 x x [a,b]
0
2
(1 cos 2x)dx 2
0
Leabharlann Baidu
2
例20. 求由星形线x a cos3 t , y a sin3 t 0 t
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积. 解: 利用公式有
V a2 sin7 t 3a cos2 tdt 0
6 a3
2
(sin7 t sin9 t)dt
y
o
a 2 a x
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2
a3 0
(1 cos t)3 d t
16
a3 0
sin 6
t 2
dt
(令 u
t) 2
32
a3 2 0
sin 6
u
du
32
a3
5 6
3 4
1 2
2
5 2a3
1应用平行截面函数求旋转体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
o
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴
x
x x dx
旋转而成的薄片的体积为体积微元，
dV [ f (x)]2 dx
V b [ f ( x)]2 dx b y2dx
a
a
类似的当考虑连续曲线段 绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
V
d
[
(
y)]2
d
y
c
y
d y x (y) c
ox
例1 由曲线
2
16
2 x4dy
0
2 x5 2 8
16 5
5
y
0
绕 y 轴旋转体的体积
Vy
1
(
0
4 y )2 dy
1
4 ydy
0
4
y2
1
2
2 0
例3 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2 a y2 dx
0