哈工大结构动力学课件
哈尔滨工业大学结构动力学第五次课
当 f ( t ) 为非函数表达时，应求助于数值解。
一、力插值法
1、分段常数插值 将力作用时间的间隔 T 分成n等分
t t i 1 t i
f i ( f i f i 1 ) 2
上次课程回顾
单位脉冲响应函数
1 ( t ) e n sin ( d ( t )) m d h (t ) 0
t t
单位阶跃响应 冲击响应谱
1 x t 1 k
e
nt 2
1
sin d t
i
i 1
m i cx i kx i f i x
m i 1 cx i 1 kx i 1 f i 1 x
将两式相减 ｝
i i 1 i x x x
x i x i 1 x i
x i x i 1 x i
2
ac 2
1
2
ac ac c a b 2 2
2
—— , 分别称为一阶固有频率和二阶固有频率。 将两阶固有频率分别回代特征方程，得
A1
1 1
b a 1
b a 2
2
A2
2
c 1 c
2
1
1
,
A 1 1 1 A1 1 A2
*
k i xi f i
*
2
2c t
4m t
fi fi [
【哈工大 结构动力学】SD 第1章 运动方程 2020
实际动荷载产生的位移相等！
29
已经知道柔度
和刚度 k
之间的关系为：k 1
表达式成为：
比较：
简支梁： 刚架：
my cy ky FE (t) my cy ky FP (t)
基本质量弹簧体系： my cy ky F(t)
（2-3）
结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一
质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：
FIGURE 2-3 (a) Motion of system
(b) Equilibrium forces
46
体系的力的平衡条件为 ： 惯性力为 ：
因为地面加速度可以表示为结构的特定动力输入，运 动方程可表示为：
等效支座 激励荷载
47
另一种推导方法：
将 v（t t及）其导数代入方程
地震运动一般测量的是加速度，此时的等效荷载 需要由地震记录积分一次和二次而获得地面位移和速 度来计算，因此很难获得这种形式方程的解答。
q ( t)
q ( t)
EI
m
y(t )
l
[解]
FD FI
1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移： 1个自由度。
2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移： y(t )
3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！
4） 列位移方程：
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
思考题:
• 地震动输入 (ground motions inputs) • 大跨度结构非一致激励 (Spatial Variability) • 地震动如何传递到结构
58
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
哈工大结构力学精品课件
结构力学张金生绪论§1 . 结构力学的内容和任务一.对象结构分为:杆系结构,板壳结构,实体结构三.内容 结构组成;内力,位移,临界力计算.二.任务 研究结构的刚度,强度,稳定性的 计算原理和计算方法结构：承受并传递荷载的骨架部分确定计算简图的原则： 1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容:1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)半铰结点铰结点刚结点确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)4.体系的简化: 空间结构 平面结构确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)4.体系的简化: 空间结构 平面结构5.荷载的简化: 集中力、集中力偶、分布荷载§3 . 杆件结构的类型1.梁2.拱3.桁架4.刚架5.组合结构第一章杆件体系的几何组成分析(Geometric construction analysis)§1. 几何组成分析本章假定:所有杆件均为刚体§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系几何可变体系不能作为建筑结构结构必须是几何不变体系本章目的:判定一个体系是否能作为结构结构是如何构造的几何形状不能变化的平面物体几何不变体系的自由度一定等于零几何可变体系的自由度一定大于零§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系二. 刚片几何形状不能变化的平面物体三. 自由度确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置1. 链杆2. 单铰§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系 几何可变体系二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置1. 链杆 2. 单铰 3. 链杆与单铰的关系4. 虚铰3. 链杆与单铰的关系4. 虚铰§1. 几何组成分析2. 单铰 5. 复铰1. 链杆连接N 个刚片的复铰相当于N-1个单铰§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系 几何可变体系二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置五. 计算自由度0632=−×=W 02936=×−×=W 032333=−×−×=W§1. 几何组成分析五. 计算自由度0632=−×=W 08936=×−×=W 032333=−×−×=W 链杆数单铰数刚片数链杆数结点数−×−×=−×=232W W 计算自由度大于零一定可变;若等于零则一定不变吗§1. 几何组成分析五. 计算自由度链杆数单铰数刚片数链杆数结点数−×−×=−×=232W W 计算自由度大于零一定可变;若等于零则一定不变吗六. 多余约束 必要约束计算自由度小于零一定不变吗计算自由度小于零一定有多余约束§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系二. 刚片三. 自由度四. 约束(联系) 链杆单铰复铰虚铰实铰五. 计算自由度六. 多余约束必要约束P N=构成无多余约束的几何不变体系构成无多余约束的几何不变体系.§1. 几何组成分析§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则一. 三刚片规则二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个新结点的装置.二. 两刚片规则在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质.三. 二元体规则§1. 几何组成分析§1-1 基本概念§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则§1-3 几何组成分析举例例1: 对图示体系作几何组成分析解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.§1. 几何组成分析§1-3 几何组成分析举例例2: 对图示体系作几何组成分析解:该体系为无多余约束的几何不变体系.方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分例3: 对图示体系作几何组成分析解: 该体系为无多余约束的几何不变体系.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.例4: 对图示体系作几何组成分析解: 该体系为瞬变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.例5:对图示体系作几何组成分析解: 该体系为常变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法4: 去掉二元体.例6:对图示体系作几何组成分析解: 该体系为无多余约束几何不变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.例7: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.几何组成思考题§几何组成分析的假定和目的是什麽？§何谓自由度？系统自由度与几何可变性有何联系？§不变体系有多余联系时，使其变成无多余联系几何不变体系是否唯一？§瞬变体系有何特点？可变体系时如何区分瞬变还是常变？§瞬铰和实际铰有何异同？§无多余联系几何不变体系组成规则各有什麽限制条件？不满足条件时可变性如何？§按组成规则建立结构有哪些组装格式？组装格式和受力分析有无联系？§如何确定计算自由度？§对体系进行组成分析的步骤如何？几何组成作业题§1-1 b c§1-2 a d g h i j k l §交作业时间:本周 5§1. 几何组成分析作业:1-1 (1-1 (b)b)试计算图示体系的计算自由度 解:由结果不能判定其是否能作为结构1321138−=−×−×=W 110222531−=−×−×+×=W 或:§1. 几何组成分析作业:1-1 (c)试计算图示体系的计算自由度解:由结果可判定其不能作为结构131216=−×=W 13240328=−×−×=W 或:§1. 几何组成分析作业:1-2 (a)试分析图示体系的几何组成从上到下依次去掉二元体或从基础开始依次加二元体.几何不变无多余约束§1. 几何组成分析作业:1-2 (d)试分析图示体系的几何组成依次去掉二元体.几何常变体系§1. 几何组成分析作业:1-2 (f)试分析图示体系的几何组成有一个多余约束的几何不变体系§1. 几何组成分析作业:1-2 (h)( i)试分析图示体系的几何组成瞬变体系几何不变无多余约束作业:试分析图示体系的几何组成有一个无穷远铰:四杆不平行不变平行且各自等长常变平行不等长瞬变§1. 几何组成分析作业:1-2 (j)试分析图示体系的几何组成瞬变体系§1. 几何组成分析L)试分析图示体系的几何组成1-2 (L)作业:1-2 (几何不变无多余约束§1. 几何组成分析例:试分析图示体系的几何组成瞬变体系§1. 几何组成分析练习:试分析图示体系的几何组成几何不变无多余约束一个单刚结点相当于三个约束.单刚结点与其它约束的关系:复刚结点:刚片复刚结点相当于练习:试分析图示体系的几何组成无多余约束几何不变体系有两个多余约束的几何不变体系练习:试分析图示体系的几何组成无多余约束几何不变体系无多余约束的几何不变体系。
于开平-结构动力学第十一讲
结 构 动 力 学
第三章 连续体振动的精确解法
（第十一讲）
主讲教师：于开平
哈尔滨工业大学航天学院
1.4 剪切变形与转动惯量对固有频率的影响
������ 截面剪力作用：受剪切变形影响梁轴线偏离了截面 ������ = ������������������ 法线，偏离角度������，称为剪切角。
梁轴线实际转动角度为：������������ = ������ − ������ 改变了截面转角与梁轴线转角原来 的简单一阶导数关系，不能用横向位移 完全描述梁的运动，需要用两个量。 剪切角与剪力关系：������ = ������������������ ������ − ������������
2
− ������������������ 2 ������
2
������
2
=0
������ 2 1 − ������ ������
2
2 2 ������ 4 ������ 2 ������ ������ ������������ + ������������ − ������������������ 2 =0 ������ ������ ������ ������
������ = ������������
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
1
..
..
..
书后习题
拉格朗日方法
通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析 方法,例如Lagrange第2类方程。
拉格拉日方程， L T U ，
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可，常用的牛顿法、达朗贝尔原理、Lagrange 第二 类方程、有限元方法等。 牛顿法：
dt qi
M q Kq 0
..
无阻尼受迫振动
d T 对于有耗散力的方程为
dt qi qi 有阻尼受迫振动
U Qi d T dt qU qi i Q
qi
i
d T dt qi
.. .. ..
m
y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23 11 l 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 12 EI 3 3 .. 7 .. l 16 l .. l y F 31 22 3 F1 m1 y111 31 2 9 m2 y 2 1332 F3 m3 y3 33 33 y12 EI1 m1 y1 11 F2 m2 F 12 EI 1 12 EI
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
哈尔滨工业大学结构动力学课件第七次课
无阻尼自由振动
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两个主振型，其形 ）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两个主振型， 状是确定的，都只与系统物理参数有关，与初始条件无关。 状是确定的，都只与系统物理参数有关，与初始条件无关。 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的叠加，只有当两 ）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的叠加， 个固有频率比之为有理数时，才是周期振动， 个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动 ， 振幅和相位与初始 条件有关。 条件有关。
A1 同除(k1m2 ) = xst
2
2 (ωa − ω 2 )2 + (ω ⋅ 2 ⋅ ξ ⋅ ωa )2 m1ω 2 k2 k m m [(1 − )( − ω 2 ) − 2 ω 2 ]2 + [ω ⋅ 2ξωa (1 − 1 ω 2 − 2 ω 2 )]2 k1 m2 k1 k1 k1
2 同除ω0
(k2 − m2ω2 )2 + (cω)2 A = F0 1 [(k1 − m1ω2 )(k2 − m2ω2 ) − k2m2ω2 ]2 +[cω((k1 − m1ω2 ) − m2ω2 )]2
振幅不仅与激振力力幅大小和频率有关， 振幅不仅与激振力力幅大小和频率有关，还与组成系统的参数有关
2 k2 + (cω)2 A2 = F0 [(k1 − m1ω2 )(k2 − m2ω2 ) − k2m2ω2 ]2 +[cω((k1 − m1ω2 ) − m2ω2 )]2
有阻尼自由振动
x1 = x + x
(1) 1
(2) 1
= A1 e
1
(1)
− n1t
sin (ωd1t + α
哈尔滨工业大学结构动力学PPT课件
x0 x0 ， x0 x0 xt c1n cosnt c2n sinnt
c1 x0 n ， c2 x0
第36页/共42页
x
t
x0
n
sin nt
x0
cos nt
令
x0 cos n
， x0 sin
则可化为
其中：
xt sinnt
2
x02
x0
n
tg x0n arctg x0n
T1
1 2
l 0
d
l
2
x2
1 2
(1 3
l)x2
1 m1 23
x2TΒιβλιοθήκη T1Tm1 2
m1 3
m
x2
1 2
meq x2
又因为: 弹簧的势能与弹簧质量无关, 则
V 1 kx2 2
由能量法，可得
meq x kx 0 弹性元件质量不能忽略时，利用等
效质量，将质量折算到质量块上， 弹性元件仍看作无质量的。
• 18世纪线性振动理论成熟期。
第11页/共42页
• 19世纪非线性振动理论，各种工程实际结构振动的近似 求解方法。
• 20世纪50年代初由于航空航天工程的发展，原本确定性 理论无法解释包含随机变化的工程问题，发展了随机振 动理论。
• 20世纪后期计算机技术的飞速发展，数值计算方法和理 论成为主要研究方法之一。
第7页/共42页
三、结构动力学研究的内容
结构动力学就是研究结构系统在激励力作用下产生的响 应规律的科学，研究激励力、结构和响应三者关系的科 学。
现代结构动力学主要研究以下三个方面的内容 第一类问题：响应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
于开平-结构动力学第二讲
(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角 根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
������������ሷ 1 + ������������ሶ 1 + ������������1 = ������0 sin������������ 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ������������ሷ 2 + ������ ������ሶ 2 + ������������2 = ������0 cos������������ （2） （1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为������ ������ = ������������ ������ ������������������ ，代入运动控制方程得： (−������2 ������������������ + ������������������������������ + ������������������ )������ ������������������ = ������0 ������ ������������������ 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数������ ������������������ 前系数相等，由此可得： ������������ = ������0 ������ − ������������ 2 + ������������������
结构动力学-2(哈工大结构动力学)
m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
令 c / 2m y 2y 2 y 0
设 y(t) Aet
2 2 2 0 特征方程
根为 i 1 2 由初始条件
小阻尼情况
y(0) y0 , y(0) v0
1 (c 2m)
c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0
k
k
k
PROBLEMS：
3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系 运动方程
y(t) 11[my(t)] k11y(t) my(t) 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
m
my(t)
y(t)
l EI
km
运动方程的通解 y(t) c1 cost c2 sin t
令 D 1 2
方程的通解为
y(t) Aet sin( Dt D )
A
y02
( v0
y0 D
)2
y(t) et (c1 sin Dt c2 cosDt) tan D y0D /(v0 y0 )
哈工大高等结构动力学第四次课-PPT文档资料
图2.6-1 单盘转子示意图
图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力
设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹 性轴的弯曲刚度为EJ ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。
§2.6 转子系统临界转速的概念
由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e 。当 转子以等角速度ω 自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生 动挠度，并随之带动圆盘公转。 设圆盘在瞬时t 的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为 F ，它在坐标轴上的投影分别为
c Rx Fx m x c Ry Fy m y 由图2.6-4的几何关系知
（2-4）
xc x ecos t yc y esin t
对上式求两次导数，可得
（2-5）
图2.6-4
2 x x e cos t c 2 e y sin t c y
和 O'之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也 叫偏心转向。
§2.6 转子系统临界转速的概念
根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转 速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，r于是可利用条件 dr （2-13） 来确定临界转速，并以ωCr 表示。由（2-13）式得
2 2 2 e 2 2 dr n n n 0 3 d 2 2 22 2 2 2 n n 2
r
Fx kx F y ky
（2-1）
由材料力学可知，对于图2.6-3所示的模型
48 EJ k l3
（2-2）
图2.6-3
哈工大研究生课程-高等结构动力学-第三章2
解：选用广义坐标 x 和
T
V
1 2
1 2
Mx
2
2
1 2
2 2 2 2 m [( x l co s ) l sin ]
K x m g l (1 co s )
对于线性系统运动，运动是微幅的 代入动能和势能：
1 x M m T 2 m l
x1 x2
2
A1
(i)
i 1
2
1 ( i ) sin ( it i ) u2
A1 sin ( it i )
(i) i
x u
i 1
u1 u2
(1)
(1)
u1
(2)
u i
振型，主振型也称为主模态。
u1 1 (i) (i ) u2 u2
3
2
2 10
3
A1 0 3 2 2 1 0 1 0 .2 2 A 2 2 10
11 16 11
17 11 9
设 q
l
3
768EI
则有
0 1 0 0 0 1
K
1
1 M m 0 0
23 1 22
9 22 23
V V0
( q
i 1
n
V
i
) qi
0
1
( q q 2
i 1 j 1 i
n
n
V
2
)0 qi q j
j
为势能在平衡位置处的大小，(0)0表示(0) 在平衡位置处的值。
结构动力学-4 25 一般动载下的时域分析 动力学课程教学课件(哈工大)
Pi k
sin t
Pi 1 (1 cost) k t
yi1 APi BPi1 Cyi Dyi yi1 APi BPi1 Cyi Dyi
yi1 APi BPi1 Cyi Dyi yi1 APi BPi1 Cyi Dyi
其中
A 1 (sint t cost) kt
B 1 (t sin t) kt
T
t1
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开时。 2
t1/T 0 0.01 0.02 0.05 0.10 1/6 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.063 0.126 0.313 0.618 1.0 1.176 1.618 1.902 2
二. 瞬时冲量最大反应 P(t)
当t1与T相比非常小时
(
2
D 2
n
Dt)
c ost ]
2n D 2
B
n D 1 2
仅适用于线性系统
二. 加速度插值法（逐步积分法）
加速度插值法分为常加速度法和线加速度法。
常加速度法
y(t )
yi1
yi
1 2
( yi yi1)t (a)
yi 1 yi
yi1
yi
yi t
1 4
(
yi
yi1)t 2
0
yst
1
1 2
2 sin2 2 (1 cos )2
yst
1
2
2 cos 2
yst
1( ) 时的情况
1( ) 时的情况
荷载离开前
y (t )
1 2
yst
(sint
t
c ost )
y(t)
1 2
哈工大结构动力学第六讲
k ( y)
m( y) y(t ) c( y) y(t ) k ( y)y(t ) Fp (t )
或
m( y) u g (t )
----非线性体系的增量方程 观察增量方程与上图, 给出与线性体系比较的结论 当Δt足够小时, 上面割线的斜率可用切线斜率来代替, 既有:
例2. 用线加速度法计算此题.
§5.3 多自由度体系的逐步积分法-线加速度法 既可以用于线性体系, 又可以用于非线性体系. 它也是处理 耦合的线性振型方程的有效方法.
(T 5c)
(6) 按 y(t ) (K * )1 Fp* (t ) 计算第一步增量位移 y (t )
(7) 将增量位移代入式 (T 4)， 计算增量速度 y (t )
3 1 y (t ) ( y (t ) y (t ) t y (t ) t 2 ) t 6
要求： 1. 手算两步； 2. CAI作业； 3. 通过CAI中例题，体现精度、收敛性、稳定性问题。
5.2.5 算例
例1. 用线加速度法计算体系的反应. 手算前两步. 对照电算结果检查对错.
Fp (t )
m 0.2k s 2 /m
c=0.4kN· s/m
K=8kN/m
Fs ( y)
Fs ( y) [8 y 4(2 y / 3)3 ] kN
或
m(t ) u g (t )
5.2.2 单自由度体系非线性运动的线加速度法
基本假设: 设体系加速度在[t+Δt]间隔内线性变化, 既有:
y (t ) y (t )
线加速度逐步积分基本公式推导: (1)对(T-1)式积分, 得: (2)由(T-2)第二式, 得:
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二. 自由度的简化 常用简化方法有：集中质量法，广义坐标法，有限元法。
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几
何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由 度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
m
y(x) aii (x)
ai ---广义坐标
y(x)
i 1 n
§1.4 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的简化
§1.4 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的简化
二. 自由度的简化
实际结构都是无限自 由度体系，这不仅导致分 析困难，而且从工程角度 也没必要。
三. 自由度的确定
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
m
结点位移个数即 为自由度个数
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
三. 自度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
3EI l3
y(t)
P(t)
3.令该位移等于体系位移。
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
刚度法步骤：
y
k11
k11y(t) P(t) my(t)
k11 y(t )
k11
3EI l3
§1.5 体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结 构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有 虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的 “动静法”。
m y(t)
P(t)
m
P(t) P(t)
my(t) P(t) 运动方程 P(t) my(t) 惯性力 P(t) [my(t)] 0
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构
上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分
析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐 标和时间的函数。
二.动荷载的分类
动荷载
确定 不确定
周期 非周期
简谐荷载
非简谐荷载 冲击荷载
突加荷载
风荷载
其他确定规律的动荷载
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。
铝质与有机玻璃试件的 自由振动试验
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。 一、离散系统、连续系统 二、线性系统、非线性系统 三、确定性系统、非确定性系统
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。寻找结
构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系， 即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠 性（安全、舒适）设计提供依据。
弹性支座不减少动力自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
三. 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
《结构动力学-理论及其在地震工程中的应用》
Anil K.Chopra 谢礼立等译 高教出版社
《结构动力学》
邹经湘主编 哈工大出版社
《应用分析动力学》
王光远编著 科学出版社
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
W=2
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。 7)
EI
W=1
三. 自由度的确定
11)
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
12)
9)弹性地面上的平面刚体
W=1
10)
m
W=3
W=13
EI W=2
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
结构动力学
哈尔滨工业大学 土木工程学院 张金生
2011年8月
结构动力学
目录
第一章 绪论 第二章 单自由度体系的振动分析 第三章 有限自由度体系的振动分析 第四章 实用计算方法 第五章 无限自由度体系的振动分析 第六章 动力有限元分析 第七章 分析动力学基础
主要参考书
《结构动力学》
R.克拉夫
王光远等译 高教出版社
i (x) ---基函数
y(x) aii (x)
i (0) i (l) 0
i 1
2) 广义坐标法
y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
3) 有限元法
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由 度问题化为有限自由度来解决。
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
P(t) m my(t) =1 11
y(t)
l EI
11[P(t) my(t)]
P(t) my(t)
y(t) 11[P(t) my(t)]
11
l3 3EI
柔度系数
柔度法步骤：
1.在质量上沿位移正向l 加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移；
my(t)