第 讲 镜像法

来确定。
镜像法应用的关键点： ➢ 镜像电荷的确定 ：像电荷的个数、位置及其电量 ➢ 明确等效求解的“有效场域”。
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域 q
h
h
原电荷：q, h 镜像电荷: q q, h h (求解域外)
h
q
等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同。由唯一 性定理，知解唯一正确。
位于导体空腔外，且在点电荷q与球
心的连线的延长线上。
q a q, d a2
d
d
• | q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
• 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
接地导体球壳的静电问题
➢ 球壳内的电位函数为
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
镜像电荷的确定
如图所示接地空心导体球壳的内半径 为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内， 与球心相距为d ( d < a )。
a
P rR
R′ q′
bO
q
d
d’
• 感应电荷是如何分布的？ 分布在球壳的内表面上。
• 镜像电荷q′应位于何处？
qh y2
h2 )3/2
qin
s sds
2 (x2
qh y2
h2 )3/2
dxdy
q
点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考 • 无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
上半空间内的电位分布为：
(x, y, z) q ( 1 1 ) 4 R R '
q(
1
4 x2 y2 (z h)2
1
)(z 0)
x2 y2 (z h)2
接地导体分界面上感应电荷分布
s
Dn
En
n
z
z0
2
(x2
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
设镜像电荷的线密度为l，且距圆柱的轴线为 d ，则由 l 和l共同
产生的电位函数
P( , )
l ln
1
2 2 d 2 2d cos
l ln
1
C
2 2 d2 2dcos
0
a
o
d
l
d
l x
线电荷与导体圆柱的镜像
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
d2 R3
1
d1
R
R2
q d2
2
d2
1
dq 601° d 2
2
q3 d1
d1
q2
对于非垂直相交的两导体平面
构成的边界，若夹角为 ，则
所有镜像电荷数目为2n-1个。n
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
点电荷q 位于半径为a 的接地导体 球外，距球心为d 。
球面上的感应电荷可用镜像电荷q' 来等效。q'应位于导体球内（不影响原 方程），且在点电荷q与球心的连线上， 距球心为d'。则有
l
l
a
a
hh
图1 两平行导体圆柱
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长
带电细线来等效替代。
b a
l
h
b a
l
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 利用线电荷与接地导体圆柱面的
镜像确定b 。由对称性
由 d a2 d
第八讲 镜像法
电磁场与电磁波
第八讲 镜像法
电子工程学院 陈其科
第八讲 镜像法
本讲内容
• 镜像法的基本原理 • 接地导体平面的镜像 • 导体球面的镜像 • 导体圆柱面的镜像 • 点电荷与无限大电介质平面的镜像 • 线电流与无限大磁介质平面的镜像
第八讲 镜像法 问题的提出
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
荷分布，但总的感应电荷为零。
P r R′ R
-q′ q′
q
d2 d1
问题：如何确定镜像电荷？
负电荷分布与接地球球分布相同
与 q 共同使使球面电位为0
正电荷均匀分布
使球面为电位非0的等势面
a
q
=a
+a
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不Hale Waihona Puke Baidu地导体球面外
a
q
=a
+a
q" a
P
r
R
R' q
为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的 轴线平行且到轴线的距离为d。
特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱
外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。
问题：如何确定镜像电荷？
分析方法：根据电位边界条件确定。
0 a
o
l
x d
线电荷与导体圆柱
P( , )
0
a
o
d
l
d
l x
线电荷与导体圆柱的镜像
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 2a(dq '2 d ' q2 ) cos 0
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 0
2a(dq
'2
d
'
q
2
)
0
q
'
a d
q
d
'
a2
d
q ' q
或
(舍去）
d ' d
——导体球面镜像电荷
P
r
R
a
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题
P
r
R
a
R' q
q'
➢ 球外的电位函数为
q
4π
1
r2 d 2 2rd cos d
d' d
a
r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
q
h
q
h
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
等效问题： 'l l z ' h
上半空间的电位分布为：
z
l
h
x
(x, y, z) l (ln 1 ln 1 ) C
导体
2 R R '
l ln
x2 (z h)2 C
(z 0) 有效区域
2 x2 (z h)2
ra
R r2 d 2 2rd cos
R ' r2 d '2 2rd 'cos
1
ra
4
(
q
a2 d 2 2ad cos
q'
)0
a2 d '2 2ad 'cos
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 2a(dq '2 d ' q2 ) cos 0
第八讲 镜像法
l ln
1
l ln
1
C 0
2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d 2 2ad cos
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
l ln
1
l ln
1
C 0
2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d 2 2ad cos
将上式对φ求导，可以得到
ld (a2 d 2 ) ld (a2 d 2) 2add(l l) cos 0
(r a)
➢ 球面上的感应电荷面密度为
S
r
ra
4πa(a2
q(d 2 a2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 导体球面上的总感应电荷为
qin
S
S dS
q(d 2 a2) 4πa
2π 0
π 0
(a2
a2 sin d d d 2 2ad cos )3 2
a d
q
导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等。
1 ( q q ) 4π R R
问题： d ? q ?
P
r
R
a
q
d
P
r
R
a
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
P
镜像电荷的确定
由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域， a
且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球
r
R
R' q
q'
面上电位为0，即：
d' d
1 [q q'] 0 ra 4 R R '
q'
d' d
q a q, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
q q a q，d 0 d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 d
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 40 R R r
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
l ln d 2 2 a 4 2da 2cos
2 a2 2 a2d 2 2da2 cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
l (d 2 a2 ) 2 a(a2 d 2 2ad
cos )
导体圆柱面上单位长度的感应电荷
感应电荷与镜像电荷相等
a q"
P
r
R
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
4、点电荷位于不接地空心球壳内
a b
oq d
P a r R R'
d q q'
d'
q a q, d a2
d
d
q’’= q，位于球
心
（为什么？）
a b
oq
P
b
r
q"
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像 问题：密度为ρl 的无限长线电荷位于半径
S
S dS
q(a2 d 2) 4πa
2π 0
π a2 sin d d 0 (a2 d 2 2ad cos )3 2 q
导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷不相等。
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
a
导体球不接地时的特点：
• 导体球面是电位不为零的等位面
• 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电
b
a O
P rR
q
R′ q′
d
d’
q
1
4π0 r2 d 2 2rd cos d
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
a
r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
(r a)
S
0
r
ra
4πa(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
qin
(h b)(h b) a2
b h2 a2
b a
l
h
b a
l
h
两平行导体圆柱的等效电荷
通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
问题：求解空间中的电位分布（上半空间 及下半空间）。
in
S
S dS
l
(d 2
2 a
a2)
2 0
a2
ad
d 2 2ad
cos
l
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 问题：两平行导体圆柱半径均为a，轴线间
距为2h，单位长度分别带电荷 l 和 l 。
特点：两圆柱带电导体的电场互相影响，
使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电 荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。
非均匀感应面电荷
q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效点 电荷产生的电位替代。
第八讲 镜像法 问题的提出
几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
非均匀感应电荷
等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置——镜像法。
镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。
h
引入像电荷后满足原问题的边界条件，
所得解正确。
h
l R R
l
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
3、点电要荷满对足相在交导半体无平限面上大电接位地为导零体，平面的q1 镜像d1
则必须引入3个镜像电荷。
q q1 q2 q3
d2 R1
电位： q ( 1 1 1 1 ) 4π R R1 R2 R3
第八讲 镜像法
一、镜像法原理
方法：在求解区域外设置等效电荷，替代边界上分布电荷的作用 目的：将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题
问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
回顾：静电场的惟一性定理 条件： • 已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性
• 已知 场域V的边界面S上的 或 的值
S n S 结论：场域V 内的位函数具有惟一确定解。
第八讲 镜像法
一、镜像法原理
根据唯一性定理，若镜像电荷的引入满足：
电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 则可确保求得的解就是正确的。
引入镜像电荷的两条原则：
等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域的边界条件
l l
d (a2
l
d2 0
)
ld
(a2
d
2)
0
P( , )
0
a
o
d
l
d
l x
线电荷与导体圆柱的 镜像
l
l
d
a2 d
——导体柱面镜像电荷
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
导体圆柱面外的电位函数： l ln
d 2 2 a 4 2da 2cos
C
2 d 2 d 2 2d cos
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h
x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像