线性规划典型习题
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所谓合理利用原材料，就是要使废料最少，因此考虑如何在原 材料上合理套裁，以下几种方法都是能节省材料的较好方案：
方案
2.9米 2.1米 1.5米 合计（米） 废料（米）
1
1
2
2
3
4
1
5
2 3 7.4 0 1 7.3 0.1 2 7.2 0.2
2
1 3
7.1 0.3
6.6 0.8
1 2.9米 2.1米 1.5米 合计 废料
（4）单纯形法：掌握单纯形法的计算方法，包括寻找初始基本可行解、最 优解的判别、基变换，熟练掌握单纯形表的计算过程。 （5）特殊的线性规划问题：掌握不能直接获得符合要去的初始基本可行解 情况下的单纯形法，掌握大M法的计算过程。 （6）线性规划在道路交通工程的应用：了解线性规划问题在道路交通工程 中的主要应用。
MAX Z=2X1+3X2+4X3+7X4 S.T. 2X1+3X2-X3-4X4=8 -X1+2X2-6X3+7X4=3
X1,X2,X3,X40
2 P 1 - 1
3 P2 2
-1 P3 - 6
- 4 P4 7
非可行解
习题三
求解如下的线性规划问题
max Z 10x1 15x2 12x3 5 x1 3 x2 x3 9 5 x1 6 x2 15x3 15 2 x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0
化标准型
max Z 10x1 15x2 12x3 5 x1 3 x2 x3 9 5 x1 6 x2 15x3 15 2 x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0
可行解
P2、P3
3 -1 取子矩阵D4，D4 2 - 6
D4 0
D4为一个基
对于D4 ，基变量为X2、X3，X1、X4为非基变量，令 X1、X4=0 X2 =45/16、X3 =7/16
可行解
P2、P4
3 - 4 取子矩阵D5， D5 2 7
max Z 10x1 15x2 12x3 Mx7 5 x1 3 x2 x3 x4 9 5 x1 6 x2 15x3 x5 15 2 x1 x2 x3 x6 x7 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0
第二章
线性规划
本章学习要求
（1）线性规划问题及其数学模型：线性规划问题建模方法、线性规划问题
标准形式，非标准线性规划问题向标准线性规划问题的转化。
（2）线性规划问题的图解法及其几何意义：图解法的适用条件与计算过程， 通过图解法了解线性规划问题解的几何意义。
（3）线性规划问题基本性质：掌握描述线性规划问题基本性质的4个定理。
P1、P2
2 3 取子矩阵D1， D1 -1 2
D1 0
D1为一个基
对于D1 ，基变量为X1、X2，X3、X4为非基变量，令 X3、X4=0 X1 =1、X2 =2
可行解
P1、P3
2 -1 取子矩阵D2，D2 -1 - 6
D5 0
D5为一个基
对于D5 ，基变量为X2、X4，X1、X3为非基变量，令 X3、X1=0 X2 =68/29、X4 =-7/29
非可行解
P3、P4
1 - 4 D 取子矩阵D6， 6 -6 7
D6 0
D6为一个基
对于D6 ，基变量为X3、X4，X1、X2为非基变量，令 X1、X2=0 X3 =-68/31、X4 =-45/31
2X3+2X4+X5=100
3X1+X2+2X3+3X5=100 Xj0, j=1,2,3,4,5
目标函数为
MIN Z=0.1X2+0.2X3+0.3x4+0.8x5
min Z 0.1x2 0.2 x3 0.3x4 0.8 x5 x1 2 x2 x4 100 2 x3 2 x4 x5 100 3x1 x2 2 x3 3x5 100 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
化标准型
max Z 0.1x2 0.2 x3 0.3 x4 0.8 x5 Mx6 Mx7 Mx8 x1 2 x2 x4 x6 100 2 x3 2 x4 x5 x7 100 3 x1 x2 2 x3 3 x5 x8 100 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
线性规划典型习题
线性规划建模 单纯性表求解
大 M 法
习题一
桥梁工地要制作100套钢筋架子，每套需要长 2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1根。现有原材 料（钢筋）长7.4米，问如何下料最省（废料
最少）？
在每根7.4米长的原料钢筋上截取2.9米、2.1米和1.5米的料各1 根，这样每根原料就都剩下了0.9米长的废料无法利用。
D2 0
D2Biblioteka Baidu一个基
对于D2 ，基变量为X1、X3，X2、X4为非基变量，令 X2、X4=0 X1 =45/13、X3 =-14/13
非可行解
P1、P4
2 - 4 取子矩阵D3，D3 -1 7
D3 0
D3为一个基
对于D3 ，基变量为X1、X4，X2、X3为非基变量，令 X2、X3=0 X1 =34/5、X4=7/5
10
15
12
0
0
0
-M
b 9 15 5
θi
9/5 5/2
CB
0 0 -M
XB
x4 x5 x7
x1
5 -5 2 10+2M 1 0 0 0 1
x2
3 6 1 15+M 3/5 9 -1/5 9-M/5 39/80
x3
1 15 1 12+M 1/5 16 3/5 10+3M/5 0
x4
1 0 0 0 1/5 1 -2/5 -2-2M/5 3/16
x5
0 1 0 0 0 1 0 0 -1/80
x6
0 0 -1 -M 0 0 -1 -M 0
x7
0 0 1 0 0 0 1 0 0 3/2 9/5 24 7/5 9 3/2 7/3
j C j CB Pj
10 0 -M
x1 x5 x7
j C j CB Pj
10
x1
0
-M
x3
x7
0
0 0
0
0 27/8-43M/80
9/16
-43/80 0
1/16
-7/16 -21/8-7M/16
1/16
-3/80 -5/8-3M/80
0
-1 -M
0
1 0
3/2
1/2
j C j CB Pj
所有的检验数σj０，且人工变量x7＝1/2，所以原线性规划问题无可行解。
采用大M法，列单纯形表可解
习题二
在下面的线性规划问题中找出满足约束条 件的所有基解，指出哪些是基可行解，并 确定哪一个是最优解。
MAX Z=2X1+3X2+4X3+7X4 S.T. 2X1+3X2-X3-4X4=8 -X1+2X2-6X3+7X4=3
X1,X2,X3,X40
系数矩阵
基
基解
基本可行解
2 2
3 2
4 1 2 7.1 0.3
5 1 3 6.6 0.8
1 3 7.4 0
1 7.3 0.1
2 7.2 0.2
为得到100套钢筋架子，需要混合使用各种下料方案。 设按第j种方案下料的原材料根数为xj（j=1,2,3,4,5）。 根据表中的数据可以列出约束条件为：
X1+2X2+X4=100
方案
2.9米 2.1米 1.5米 合计（米） 废料（米）
1
1
2
2
3
4
1
5
2 3 7.4 0 1 7.3 0.1 2 7.2 0.2
2
1 3
7.1 0.3
6.6 0.8
1 2.9米 2.1米 1.5米 合计 废料
（4）单纯形法：掌握单纯形法的计算方法，包括寻找初始基本可行解、最 优解的判别、基变换，熟练掌握单纯形表的计算过程。 （5）特殊的线性规划问题：掌握不能直接获得符合要去的初始基本可行解 情况下的单纯形法，掌握大M法的计算过程。 （6）线性规划在道路交通工程的应用：了解线性规划问题在道路交通工程 中的主要应用。
MAX Z=2X1+3X2+4X3+7X4 S.T. 2X1+3X2-X3-4X4=8 -X1+2X2-6X3+7X4=3
X1,X2,X3,X40
2 P 1 - 1
3 P2 2
-1 P3 - 6
- 4 P4 7
非可行解
习题三
求解如下的线性规划问题
max Z 10x1 15x2 12x3 5 x1 3 x2 x3 9 5 x1 6 x2 15x3 15 2 x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0
化标准型
max Z 10x1 15x2 12x3 5 x1 3 x2 x3 9 5 x1 6 x2 15x3 15 2 x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0
可行解
P2、P3
3 -1 取子矩阵D4，D4 2 - 6
D4 0
D4为一个基
对于D4 ，基变量为X2、X3，X1、X4为非基变量，令 X1、X4=0 X2 =45/16、X3 =7/16
可行解
P2、P4
3 - 4 取子矩阵D5， D5 2 7
max Z 10x1 15x2 12x3 Mx7 5 x1 3 x2 x3 x4 9 5 x1 6 x2 15x3 x5 15 2 x1 x2 x3 x6 x7 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0
第二章
线性规划
本章学习要求
（1）线性规划问题及其数学模型：线性规划问题建模方法、线性规划问题
标准形式，非标准线性规划问题向标准线性规划问题的转化。
（2）线性规划问题的图解法及其几何意义：图解法的适用条件与计算过程， 通过图解法了解线性规划问题解的几何意义。
（3）线性规划问题基本性质：掌握描述线性规划问题基本性质的4个定理。
P1、P2
2 3 取子矩阵D1， D1 -1 2
D1 0
D1为一个基
对于D1 ，基变量为X1、X2，X3、X4为非基变量，令 X3、X4=0 X1 =1、X2 =2
可行解
P1、P3
2 -1 取子矩阵D2，D2 -1 - 6
D5 0
D5为一个基
对于D5 ，基变量为X2、X4，X1、X3为非基变量，令 X3、X1=0 X2 =68/29、X4 =-7/29
非可行解
P3、P4
1 - 4 D 取子矩阵D6， 6 -6 7
D6 0
D6为一个基
对于D6 ，基变量为X3、X4，X1、X2为非基变量，令 X1、X2=0 X3 =-68/31、X4 =-45/31
2X3+2X4+X5=100
3X1+X2+2X3+3X5=100 Xj0, j=1,2,3,4,5
目标函数为
MIN Z=0.1X2+0.2X3+0.3x4+0.8x5
min Z 0.1x2 0.2 x3 0.3x4 0.8 x5 x1 2 x2 x4 100 2 x3 2 x4 x5 100 3x1 x2 2 x3 3x5 100 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
化标准型
max Z 0.1x2 0.2 x3 0.3 x4 0.8 x5 Mx6 Mx7 Mx8 x1 2 x2 x4 x6 100 2 x3 2 x4 x5 x7 100 3 x1 x2 2 x3 3 x5 x8 100 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
线性规划典型习题
线性规划建模 单纯性表求解
大 M 法
习题一
桥梁工地要制作100套钢筋架子，每套需要长 2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1根。现有原材 料（钢筋）长7.4米，问如何下料最省（废料
最少）？
在每根7.4米长的原料钢筋上截取2.9米、2.1米和1.5米的料各1 根，这样每根原料就都剩下了0.9米长的废料无法利用。
D2 0
D2Biblioteka Baidu一个基
对于D2 ，基变量为X1、X3，X2、X4为非基变量，令 X2、X4=0 X1 =45/13、X3 =-14/13
非可行解
P1、P4
2 - 4 取子矩阵D3，D3 -1 7
D3 0
D3为一个基
对于D3 ，基变量为X1、X4，X2、X3为非基变量，令 X2、X3=0 X1 =34/5、X4=7/5
10
15
12
0
0
0
-M
b 9 15 5
θi
9/5 5/2
CB
0 0 -M
XB
x4 x5 x7
x1
5 -5 2 10+2M 1 0 0 0 1
x2
3 6 1 15+M 3/5 9 -1/5 9-M/5 39/80
x3
1 15 1 12+M 1/5 16 3/5 10+3M/5 0
x4
1 0 0 0 1/5 1 -2/5 -2-2M/5 3/16
x5
0 1 0 0 0 1 0 0 -1/80
x6
0 0 -1 -M 0 0 -1 -M 0
x7
0 0 1 0 0 0 1 0 0 3/2 9/5 24 7/5 9 3/2 7/3
j C j CB Pj
10 0 -M
x1 x5 x7
j C j CB Pj
10
x1
0
-M
x3
x7
0
0 0
0
0 27/8-43M/80
9/16
-43/80 0
1/16
-7/16 -21/8-7M/16
1/16
-3/80 -5/8-3M/80
0
-1 -M
0
1 0
3/2
1/2
j C j CB Pj
所有的检验数σj０，且人工变量x7＝1/2，所以原线性规划问题无可行解。
采用大M法，列单纯形表可解
习题二
在下面的线性规划问题中找出满足约束条 件的所有基解，指出哪些是基可行解，并 确定哪一个是最优解。
MAX Z=2X1+3X2+4X3+7X4 S.T. 2X1+3X2-X3-4X4=8 -X1+2X2-6X3+7X4=3
X1,X2,X3,X40
系数矩阵
基
基解
基本可行解
2 2
3 2
4 1 2 7.1 0.3
5 1 3 6.6 0.8
1 3 7.4 0
1 7.3 0.1
2 7.2 0.2
为得到100套钢筋架子，需要混合使用各种下料方案。 设按第j种方案下料的原材料根数为xj（j=1,2,3,4,5）。 根据表中的数据可以列出约束条件为：
X1+2X2+X4=100