不可压缩流体动力学基础

不可压缩流体动力学基础

1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。

解：（1）线变形速度：y x x

u x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u y

y θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222

121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x

θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω 2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x

，x z u y 32+=，y x u z 32+=。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。 解：旋转角速度：2

121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2

121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y

z ω 角变形速度：2

521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2

521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：

1c x y +=，2c x z +=

3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x

+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量

及涡线方程。

解：流场的涡量为： 0=∂∂-∂∂=z

u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=∂∂-∂∂=

Ω 2

2z y cy y u x u x y

z +-=∂∂-∂∂=Ω 旋转角速度分别为：0=x

ω 222z

y cz

y +=ω 222z y cy

z +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰

可得涡线的方程为：

c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x

=+,0=z 的速度环量。（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。其中A 为常数。

解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。

在z =0的平面上速度分布为：

Ax u x =，0=y u

涡量分布为：0=z Ω

根据斯托克斯定理得：0==⎰z A z s

dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω

根据斯托克斯定理得：2b A dA z A

z s

πΩΓ-==⎰

（3）由于0=r u ，r A u =θ 则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x -=-=，2b

Ax u y = 则22b

A y u x u x y

z =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z A

z s πΩΓ2==⎰ 5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？

答：不可压缩流体连续性方程 直角坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u z y x （1） 柱面坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂+z

u r u r u r u z r r θθ （2） （1）0,,=-==z y x

u ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入（1） 满足

（3）0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x

k u 代入（1） 不满足 （4）0,sin ,sin =-==z y x

u xy k u xy k u 代入（1） 不满足 （5）0,,0===z r

u kr u u θ 代入（2） 满足 （6）0,0,==-=z r

u u r k u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入（2） 满足

6．已知流场的速度分布为y x u x

2=，y u y 3-=，22z u z =。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。 解：y x y x x y xy y x z

u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y z u u y u u x u u t

u a y z y y y x y

y 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 28z z

u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：

27=x a ，9=y a ，64=z a

7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-=，222y x x u y +=。求0=t 时，在（1，1）点上

流体质点的加速度。

解： ()()()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()

2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将（1，1）代入得3=x a

()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x

u u t u a y y y x y

y +-⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 当t=0时，将（1，1）代入得：1-=y a

8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。

解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=

运动方程：z 方向：2210dx

u d z p υρ+∂∂-= x 方向：→∂∂-

-=x p g ρ10 积分：)(z f gx p +-=ρ

∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z p dy

u d ∂∂=μ122 积分：212

2

1C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件：h x ±=，0=u

得：01=C ，221h z

p C ∂∂-=μ ∴⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层的速度分布为()θμ

γsin y by u 222-=；（2）