不可压缩流体动力学基础习题问题详解

不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xy x u x+=2，y xy u y 522+=。

求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。

解：（1）线变形速度：y x xu x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u yy θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x，x z u y 32+=，y x u z 32+=。

试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。

解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x yz ω 角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。

解：流场的涡量为： 0=∂∂-∂∂=zu y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=∂∂-∂∂=Ω 22z y cy y u x u x yz +-=∂∂-∂∂=Ω旋转角速度分别为：0=x ω222zy czy +=ω 222z y cyz +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。

（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。

其中A 为常数。

解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。

在z =0的平面上速度分布为：Ax u x =，0=y u涡量分布为：0=z Ω根据斯托克斯定理得：0==⎰z Az s dA ΩΓ （2）涡量分布为：A z -=Ω根据斯托克斯定理得：2b A dA z Az s πΩΓ-==⎰（3）由于0=r u ，r A u =θ 则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x -=-=，2bAx u y = 则22bA y u x u x yz =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z Az s πΩΓ2==⎰ 5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？答：不可压缩流体连续性方程 直角坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u z y x （1） 柱面坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂+zu r u r u r u z r r θθ （2） （1）0,,=-==z y xu ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入（1） 满足（3）0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入（1） 不满足（4）0,sin ,sin =-==z y xu xy k u xy k u 代入（1） 不满足 （5）0,,0===z ru kr u u θ 代入（2） 满足 （6）0,0,==-=z ru u r k u θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入（2） 满足6．已知流场的速度分布为y x u x2=，y u y 3-=，22z u z =。

求（3，1，2）点上流体质点的加速度。

解：y x y x x y xy y x zu u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y z u u y u u x u u tu a y z y y y x yy 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 28z zu u y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：27=x a ，9=y a ，64=z a7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-=，222y x x u y +=。

求0=t 时，在（1，1）点上流体质点的加速度。

解：()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-=将（1，1）代入得3=x a()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u xu u t u a y y y x yy +-⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 当t=0时，将（1，1）代入得：1-=y a8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。

试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。

解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=运动方程：z 方向：2210dxu d z p υρ+∂∂-= x 方向：→∂∂--=x p g ρ10 积分：)(z f gx p +-=ρ∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z p dyu d ∂∂=μ122 积分：21221C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件：h x ±=，0=u得：01=C ，221h zp C ∂∂-=μ ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为()θμγsin y by u 222-=；（2）单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。

解：x 方向速度与时间无关，质量力θsin g f x =，θcos g f y -=运动方程：x 方向：221sin 0dy ud x p g υρθ+∂∂-= ①y 方向：y pg ∂∂--=ρθ1cos 0 ②②→积分)(cos x f gy p +-=θρb y = a p p = )(cos x f gb a +-=θρρ∴θρcos )(y h g p p a -+=∵=b 常数 ∴p 与x 无关①可变为μθρsin 22g dy u d -=积分)21(sin 212C y C y g u ++-=μθρ边界条件：0=y ，0=u ；b y =， 0=dy du∴b C -=1，02=C∴θμμθρsin )2(2)2(2sin 2y by ry b y g u -=-=θμγθμγsin 3sin )2(23200b dy y by udy Q b b =-==⎰⎰10.描绘出下列流速场解：流线方程： yx u dy u dx =（a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=43直线族（b ）4=x u ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=283抛物线族（c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=232抛物线族（e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243椭圆族（f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22双曲线族（g ）y u x 4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22同心圆（h ）4=x u ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=22抛物线族（j ）x u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（k ）xy u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（l ）rc u r =，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y += 220y x cx r x r c u x +=-=，220y x cy r y r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =直线族（m ）0=r u ，r c u =θ，220y x cy r x r c u x +-=-=，220y x cx r x r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =+22同心圆 11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。

如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？ 解：无旋流有：x u y u y x ∂∂=∂∂（或r r u u r ∂∂=∂∂θθ）（a ），（f ），（h ），（j ），（l ），（m ）为无旋流动，其余的为有旋流动对有旋流动，旋转角速度：)(21yu x u x y ∂∂-∂∂=ω （b ）23=ω （c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）27-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω 12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。

解：势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ流函数⎰-=dx u dy u y x ψ（a ）⎰+=+=y x dy dx 3434ϕy x dx dy 4334--=-=⎰ψ（e ）⎰⎰⎰⎰-+=-+=yy x x xdy dx y xdy ydx 0034340ϕ取),(00y x 为)0,0(则积分路线可选其中0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,)34()30(0000⎰⎰⎰⎰-++-+=y y x x xdy ydx xdy dx ϕxy xy 3)30()00(-=-++=2223234x y xdx ydy +=--=⎰⎰ψ其他各题略13.流速场为r c u u a r==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达式。