资产定价理论-BS公式
bs模型名词解释
bs模型名词解释
BS模型也被称为Black-Scholes模型，是一种用于定价期权的数学模型。
它基于几个假设，包括该资产无风险收益率为固定值、期权价格服从对数正态分布等。
BS模型的主要公式包括Black-Scholes方程和Greeks指标。
Black-Scholes方程用来计算期权的理论价格，其主要成分包括期权价格、标的资产价格、无风险收益率、标的资产波动率以及期权到期日等。
Greeks指标则是用来描述参数变化对期权价格的影响，包括Delta、Gamma、Theta等。
BS模型在金融市场中广泛应用，因为它可以提供客观的价格估计，并且可以帮助投资者进行风险管理。
但是，BS模型也存在一些局限性，包括假设过于简单、波动率难以确定等。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况对模型进行适当调整和修正。
总的来说，BS模型是一种重要的金融工具，能够帮助投资者制定更为合理的投资策略，但也需要在实践中不断完善和优化。
金融工程学BS公式
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实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
d2
ln
S0
X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明
布莱克-斯科尔斯公式
布莱克-斯科尔斯公式摘要：1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响正文：【1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景】布莱克- 斯科尔斯公式，简称BS 公式，是由美国金融学家费舍尔·布莱克和迈克尔·斯科尔斯于1973 年提出的。
该公式主要用于估算欧式期权的理论价格，是现代金融学领域的一项重要成果。
在BS 公式提出之前，期权的定价问题一直是金融界的难题，BS 公式的诞生为金融市场带来了革命性的变革。
【2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程】布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程基于以下几个关键假设：1) 股票价格遵循几何布朗运动；2) 无风险利率为常数；3) 市场无摩擦，即不存在交易成本等影响。
在这些假设下，布莱克和斯科尔斯运用了随机微分方程和风险中性定价原理，最终得到了欧式期权价格的表达式。
【3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域】布莱克- 斯科尔斯公式在金融领域的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1) 期权定价：BS 公式为金融机构提供了一种科学、有效的期权定价方法，有助于降低交易成本和风险。
2) 风险管理：BS 公式为投资者提供了一种衡量期权风险的工具，有助于优化投资组合。
3) 金融产品创新：BS 公式为金融市场带来了丰富的衍生品交易，如期权、期货等，为投资者提供了更多的投资机会。
【4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响】自20 世纪90 年代以来，我国金融市场取得了快速发展。
布莱克- 斯科尔斯公式在我国也得到了广泛应用，为我国金融市场的繁荣和稳定做出了贡献。
一方面，我国金融机构运用BS 公式进行期权定价和风险管理，提高了金融服务水平；另一方面，我国政府借鉴BS 公式的原则，加强金融市场监管，保障金融市场安全。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
6_期权定价的连续模型及BS公式
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
2020/11/28
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从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
38
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
2020/11/28
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习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
金融工程学 第六讲 BS公式
30
5. 欧式二值期权定价公式
• 二值看涨期权价值
• 二值看跌期权价值
e
r (T t )
(d2 )
e
r (T t )
[1 (d2 )]
31
6. B-S期权定价公式扩展
• 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定： 股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期 的时间、无风险利率以及标的股票的波动率 • 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由 于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个 问题的办法是： 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而 得到欧式期权的价值
cpa bs定价公式
cpa bs定价公式CPA BS定价公式是一种用于计算期权价格的模型，被广泛应用于金融领域。
在这篇文章中，我们将对CPA BS定价公式进行详细介绍，并解释其原理和应用。
CPA BS定价公式是由Black-Scholes模型和CPA（Constant Proportion Portfolio Insurance）策略相结合而成的。
Black-Scholes模型是一种用于期权定价的数学模型，其基本假设包括股票价格服从几何布朗运动、市场无套利机会等。
CPA策略是一种动态风险管理策略，通过调整股票和债券的比例，以保护投资组合免受市场波动的影响。
CPA BS定价公式的核心思想是，在Black-Scholes模型的基础上，引入CPA策略来调整标的资产的比例。
通过持有一定比例的股票和债券，可以在一定程度上降低投资组合的风险。
具体而言，CPA BS 定价公式可以通过以下方式计算：1. 首先，根据Black-Scholes模型计算出期权的理论价格。
这需要输入一些参数，包括标的资产价格、执行价格、剩余时间、无风险利率和标的资产的波动率等。
这些参数可以通过市场数据或者历史数据来估计。
2. 接下来，根据CPA策略计算出期权价格的调整值。
这需要输入一些参数，包括投资组合价值、投资组合的风险敞口和CPA策略的比例等。
这些参数可以根据投资者的风险偏好和市场情况来确定。
3. 最后，将期权的理论价格和调整值相加，即可得到经过CPA策略调整后的期权价格。
CPA BS定价公式的应用范围非常广泛。
首先，它可以用于期权交易中的定价和风险管理。
通过使用CPA策略，投资者可以在获得期望收益的同时，降低投资组合的风险。
其次，CPA BS定价公式也可以用于其他金融衍生品的定价，如期货、期权等。
最后，CPA BS定价公式还可以用于评估投资组合的价值和风险敞口，帮助投资者做出更明智的投资决策。
然而，需要注意的是，CPA BS定价公式也存在一些限制和假设。
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
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RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
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结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
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参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
资产定价理论BS公式
值为 Maxu d S K, 0
根据单期二叉树模型的结论，如果股票价格在1时期为u S ，
我们可以倒推在1时期的期权价值为：
Cu
Cuu
Cud 1+r
1-
如果股票价格在1时期为d S ，则1时期的期权价值为：
Cd
Cuu
Cud 1+r
其中：
d1
ln
S
/
X
r
q
T t
2
2
T t
d2
ln S
/
X
r
q
T t
2
2
T t
此模型也能用于股指期权的定价。此时S表示股票指数的值，
表示指数波动率，q表示指数的红利收益率。
关于货币期权的改进
为货币期权定价时，定义S为即期汇率， 为汇率变r动f 波动率，
为外汇在其发行过程中的无风险利率，同时假设汇率与股票价格 遵循相同的随机过程。可以证明外汇持有者收入的“红利收益率”
ud
1 r
整理得：
C
Cu
1 u
rd d
Cd
ur u
1 d
1 r
定义：
1 r d ud
公式可进一步简化得：
C Cu Cd 1-
1+r
对于上述公式的直观理解可以是：期权的的价 值等于到期时期权价值的加权平均现值。公式中的 权数 通常被解释为风险中性概率，而这种衍生品 定价方法也被称为风险中性定价法。
Cu Maxu S K, 0 Cd Maxd S K , 0
可以用下图描述：
Cu Maxu S K, 0
C
Cd Maxd S K , 0
7.2 BS定价公式及应用
例10：股票价格为100， 股票波动率年平均标准差 为0.5，无风险利率为10%，期权执行价为95，存 续期为3个月。试计算该股票欧式期权价格。 解： >> [Call,Put] = blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497 把数据输入excel文件计算结果是一样的。
因此,无收益资产看涨期权的内在价值S-Xe-r(T-t),而有收益欧式看 涨期权的内在价值=S-D-Xe-r(T-t)；同理,无收益资产欧式看跌期权 的内在价值都为Xe-r(T-t) –S,有收益资产欧式看跌期权的内在价值 都为Xe-r(T-t) +D–S。
• 美式期权由于可以提前执行,所以,美式期权的内在价值 就应该等于其即时执行的收益,而无需对X进行贴现。对 于美式看涨期权来说,如果标的资产是没有现金收益的, 在期权到期前提前行使无收益美式看涨期权是不明智的 （因为S-X≤S-Xe-r(T-t）） • 因此,无收益资产美式看涨期权内在价值等于欧式看涨 期权内在价值,也就是等于S-Xe-r(T-t),即等于欧式看涨 期权的内在价值。此外,有收益资产美式看涨期权虽然 也有提前执行的可能,但可能性较小,也认为其内在价值 等于S-D-Xe-r(T-t) • 对于美式看跌期权来说,如果无收益,其内在价值等于XS；如果有收益,内在价值等于X+D-S。
Ch 7期权类工具
Section 2 期权定价与计算
（二）Black-scholes模型
1．欧式期权定价公式 （1）无收欧式看涨期权（现货） c=SN(d1)-Ke-rTN(d2)
S 2 ln (r )T 2 d2 K d1 T T
(一)欧式期权定价公式
bs模型资料
BS模型
Black-Scholes模型是一个用于定价金融期权的数学模型。
它由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出，后来Robert Merton也为其做出了贡献，并因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
BS模型被广泛应用于金融市场，尤其是股票期权市场，它提供了一种计算期权的公平价格的方法。
模型原理
BS模型基于一些基本假设：市场不存在交易成本、无风险收益率是恒定的、资产价格的波动率是已知且恒定的等。
它通过假设资产价格的变化服从几何布朗运动来描述资产价格的演变。
BS模型的主要方程式是一个偏微分方程，称为Black-Scholes方程，它描述了期权价格随时间和资产价格的变化而变化的过程。
BS模型的优点和局限
BS模型是一个非常有用的工具，能够提供期权价格的合理估计。
它的优点在于计算简单、结果清晰，并且广泛适用于欧式期权。
然而，BS模型也存在一些局限，例如对市场变动的敏感度较高、无法直接适用于美式期权等。
实际应用
虽然BS模型存在局限，但在实际金融市场中仍然被广泛使用。
许多金融从业者使用BS模型来评估期权的价格，进行风险管理和对冲等操作。
除了股票期权，BS模型也可以应用于其他金融产品的定价，如利率期权、商品期权等。
总结
Black-Scholes模型作为金融领域的一个重要工具，为理解和定价期权提供了一个坚实的基础。
虽然其基本假设可能与实际市场情况不完全符合，但BS模型的简单性和有效性使其在金融实践中得到广泛应用。
对于金融从业者来说，了解BS模型的原理和应用是至关重要的。
金融工程学 第六讲 BS公式
6
S (t ) S0e
对数正态分布
• 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数 为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对 数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作 是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可 以看作是对数正态分布。一个典型的例子是 股票投资的长期连续收益率，它可以看作是 每天连续收益率的乘积。 对于 x > 0，对数 正态分布的概率分布函数为
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t
N T t
i 1
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于
T
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股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t ) S (t )dt S (t )dZ(t )
标的资产支付连续红利的 欧式期权定价
• 下述两种股票在T时刻的价格分布相同
–当前股价为 S0 ，支付连续红利，红利率为q qT S e –当前股价为 0 ，不支付红利
• 定价原则：在标的股票支付连续红利的欧式 期权定价时，可以把它当作标的股票不支付 S0e qT 红利的欧式期权，只要用 替代 当前股价
U (
2
2
Hale Waihona Puke ) t16S 2 2 t
无套利市场中的 股票价格过程
• 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立
ES (t ) S 0 e rt 又根据S (t )满足对数正态分布，得 到 ES (t ) S 0 e t 可见，在无套利市场中 ，＝r
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
python bs公式
python bs公式Python BS 公式BS公式，又称为Black-Scholes公式，是用于计算欧式期权价格的一种数学公式。
欧式期权是指只能在到期日当天行权的期权，与美式期权不同。
BS公式是由Black和Scholes两位金融学家在1973年提出的，是现代金融学中最重要的公式之一，也是金融衍生品定价和风险管理的基础。
BS公式的基本假设是市场是有效的，且股票价格变动是以随机游走的方式进行的。
该公式的主要参数包括股票价格、行权价格、到期时间、无风险利率和股票波动率。
其中，股票价格和行权价格是市场提供的实时数据，而到期时间、无风险利率和股票波动率需要通过一些计算得出。
BS公式的具体表达式为：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)，其中C表示欧式看涨期权的价格，S表示股票价格，X表示行权价格，r 表示无风险利率，T表示到期时间，N表示标准正态分布函数，d1和d2分别为：d1 = [ln(S/X) + (r+0.5*σ^2)*T] / [σ*sqrt(T)]d2 = d1 - σ*sqrt(T)其中，σ表示股票价格的波动率。
如果计算的是欧式看跌期权的价格，则公式为：P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)。
BS公式的应用范围非常广泛，除了期权定价和风险管理外，还可以用于金融工程、投资组合管理、资产定价等领域。
不过，BS公式也存在一些局限性，比如它只适用于欧式期权，无法处理美式期权和其他类型的期权；它假设股票价格变化是以随机游走的方式进行的，但实际上市场并不是完全有效的，股票价格变化也不一定是随机游走的。
BS公式的计算也需要一定的数学和计算机技能，对于一般投资者来说可能较为困难。
不过，在现代金融市场中，有许多金融衍生品的定价和交易都是基于BS公式进行的，因此了解和掌握BS公式对于金融从业者和投资者来说还是非常重要的。
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
6
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2011/12/7
广义维纳过程
接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T 中的变化情形： 令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然 该变量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt，因此 定义变量的期望值为漂移率（drift rate），方差 为变量的方差率（variance rate）。则维纳过程 的漂移率为0，方差率为1.
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数， 因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 例：如果远期合约中股票价格S服从伊藤过程， 证明远期合约的价格F也遵循伊藤过程。
G G 1 2G 2 G x t x x t 2! x 2 2G 1 2G 2 x t t x t 2! t 2
21
股价模型中参数的理解
σ ——证券价格的年波动率，又是股票价格对数 收益率的年标准差。一般从历史的证券价格数据 中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一 般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天 数
22
B-S-M微分方程的推导
前提假设： 1. 证券价格遵循几何布朗运动，即μ 和σ 为常数； 2. 允许卖空标的证券； 3. 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4. 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5. 不存在无风险套利机会； 6. 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7. 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数 8. 只能在交割日执行期权
B-S期权定价公式
B-S期权定价公式Black-Schole期权定价模型一、Black-Schole期权定价模型的假设条件Black-Schole期权定价模型的七个假设条件如下：1.风险资产（Black-Schole期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。
S遵循几何布朗运动，即dSSdtdz。
dt其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
和都是已知的。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5.在期权有效期内，无风险利率r保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Schole期权定价模型在上述假设条件的基础上，Black和Schole得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole微分方程：ftrSfS122S22f2rfS其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black和Schole得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：c其中，d1ln(S/某)(r2SN(d1)某er(Tt)N(d2)/2)(Tt)Tt2/2)(Tt)d1Ttd2ln(S/某)(rTtc为无收益资产欧式看涨期权价格；N（某）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于某的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有N(某)1N(某)。
（二）Black-Schole期权定价公式的理解1.SN(d1)可看作证券或无价值看涨期权的多头；Ker(Tt)N(d2)可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
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基本特征
跨期性
F1
F4
不确定性、高 风险性
杠杆性
F2 F3
联动性
23/0232/220/232/23
衍生工具具有强大构造特 性，多级合成新衍生产品
，还可复制基础产品
3
衍生工具分类
可按照产品形态、交易场所、基础工具种类、自身交易方法与特点等进行分类
金融远期 期货 期权 互换
结构化金融衍生工具
基本类型
E
0
P
d. 卖出看跌期权收益曲线
多空头 项目 权利与义务
期权费 最大损失 最大获利 合约选择
看涨期权多头
看涨期权空头
看跌期权多头
看跌期权空头
有选择是否执行 期权的权利，无 义务
支付期权费
期权费
无限获利
预期未来行情上 涨
只有根据多头要 求执行或不执行 期权的义务
收取期权费
无限损失
期权费
预期未来行情下 跌
期末时，如果股票价格下跌，则该证券组合的价值为： d S Cd
u S Cu
S C
d S Cd
可以选择一个 使得总体的证券组合是无风险的，即不论
股价如何变动，证券组合的价值相同。
uS
Cu
d
S
Cd
n!
r!n r !
可以得到：
Cu Cd S (u d )
当 为上值时，持有这一证券组合的投资者不承担风险，
有选择是否执行 期权的权利，无 义务
支付期权费
期权费
无限获利
预期未来行情下 跌
只有根据多头要 求执行或不执行 期权的义务
收取期权费
无限损失
期权费
预期未来行情上 涨
期权合约的定价模型
二叉树模型
单期二叉树模型
假设一个距离到期日还有一期的股票欧式买入期 权，行权价格为K。假定在期权有效期内，股票不会 支付任何现金红利。
期权的价值体现在期权费(option premium)上， 期权费的多少及为期权的价格。
期权费=内在价值(intrinsic value) + 时间价值(time value)
期权的收益曲线
俱乐部收益
0
签入成本
球员表现
E
0
P
a. 买入看涨期权收益曲线
E
0
P
c. 买入看跌期权收益曲线
E
0
P
b. 卖出看涨期权收益曲线
期权合约的分类
按标的物不同分类
商品期权
石油类 有色金属及贵金属 农产品 ······
金融期权
股票 外汇 指数（股票指数、天气指数） 利率 ······
欧式期权(European option)
按权利有效行使时间不同
美式期权(American option)
百慕大式期权(Bermuda option)
且该证券组合的终值确定已知。因此，投资者应该期望在该 期内赚取无风险利率(r)：
S C d S Cd u S Cu
1 r
1 r
带入 的表达式，可得：
C
Hale Waihona Puke Cu CdS u d
1
rS
Cd
Cu Cd
S u d
d
S
1 r
Cu Cd 1 r Cd u d d Cu Cd
ud
1 r
整理得：
C
Cu
1 u
rd d
Cd
ur u
1 d
1 r
定义：
1 r d ud
公式可进一步简化得：
C Cu Cd 1-
1+r
对于上述公式的直观理解可以是：期权的的价 值等于到期时期权价值的加权平均现值。公式中的 权数 通常被解释为风险中性概率，而这种衍生品 定价方法也被称为风险中性定价法。
货币衍生工具 利率衍生工具 股权类产品衍生工具 信用衍生工具 其他衍生工具
按基础工具分类
金融衍生工具功能
资源配置
宏观功能
A 套期保值
降低交易成本 D
微观功能
B 投机
容纳社会游资
价格发现 C
降低国家风险
23/0232/220/232/23
5
产生与发展动因
1
20世纪70年代利市、汇市、债市、股市剧烈波动，商业银 行、投资机构、企业需要寻找避险工具
Cu Maxu S K, 0 Cd Maxd S K , 0
可以用下图描述：
Cu Maxu S K, 0
C
Cd Maxd S K , 0
构造这样一个证券组合：(1)卖出一份买入期权；(2)买入 份的标的股
票。
期初时，该证券组合的价值为： S C
期末时，如果股票价格上涨，则该证券组合的价值为： u S Cu
其他新型期权
亚式期权(Asian option)也称平均比率期权(average rate option)、 两值期权(binary option)也称或有期权(all or nothing option)、 障碍期权(barrier option)、 回顾期权(look back option)、 任选期权(chooser option)、 彩虹期权(rainbow option)、 复合型期权(compound option)“期权的期权” ······
第五讲 BS公式
金融衍生工具概念
• 金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基 础产品、变量上，价格取决于基础金融产 品价格变动派生金融产品。
（1）基础金融产品既有现货金融产品：债券、股票、银行定期存款订单；也 有衍生金融工具； （2）基础变量：利率、各类价格指数（CPI、PPI、航运价格指数...）、天气 (温度、湿度）指数
2
20世纪80年代以来金融自由化推动
3
金融机构利润驱动
4
新技术革命提供物质基础与手段
23/0232/220/232/23
6
期权合约的基本概念
期权(option)是最基本的金融衍生工具之一。根据较为 严谨的定义，期权是一种衍生性合约(derivative contract)， 即当合约买方付出期权费(option premium)后，其在特定时 间内可以根据合约载明的执行价格(exercise price)，享有向合 约卖方买入或卖出一定数量标的物(underlying assets)的权利， 但无需承担必须买入或卖出该标的物的义务。如果上述权利 的执行结果是买进标的物，则此期权称为“买入期权”或 “看涨期权”(call option)，简称为“买权(call)”；如果上述 权利的执行结果是卖出标的物，则此期权称为“卖出期权” 或“看跌期权”(put option)，简称为“卖权(put)”
二叉树模型假设的标的股票价格S服从简单的平 稳二项过程。在任何时点，价格可能上升至u S 或者 下降至 d S 。这一简单过程可以用二叉树表示为：
uS
S
d S
设C 表示买入期权的当前价值，Cu 表示期末股价上涨到u S 时的期权价值，而Cd 表示期末股价下跌到d S时的期权价值。
因为在买入期权的有效期内只剩下一期，可以得到：