等腰三角形性质和判定的应用
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A E
D A
E
D A
E
B
CB
CB
C
练习
已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于Ｄ， 求证：∠ＢＡＣ＝２∠ＤＢＣ
Ａ Ｄ
发散思考：
此题是否可以通过加倍∠ＣＢＤ，
另作∠ＦＢＤ＝∠ＣＢＤ？
Ｂ
Ｃ
已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ点在 ＡＢ上，Ｅ点在ＡＣ的延长线上，且ＢＤ＝ＣＥ， 连结ＤＥ，交ＢＣ于Ｆ，求证：ＤＦ＝ＥＦ
（证明略）
图2
N
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。 D
证明：
过E点做AB的平
A
行线，交BC于M
点，并延长DE交
BC于F点
E
图3
（证明略）
B
MF C
已知：如图，在 △ABC中， AB=AC,E在AC上， D在BA的延长线 上，AD=AE，连 结DE。
求证：DE⊥DC。 B
D A
E C
F
证明：
过B点做AC的平 行线，交DE的延 长线于G点
（证明略）
图4
G
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。 D
证明：
过D点做AC的平
行线，交BC的延
A
长线于H点，并延
长DE交BC于F点
图5
等腰三角形性质和判定的应用
本节重点： 灵活掌握等腰三角形的性质和判定 本节难点： 如何添加辅助线
复习： 1、等腰三角形的性质 2、两条线段垂直的判断方法。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
A
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC
上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
证明：
过C点做DE的平行 线，交BA的延长
A
线于R点，并延长
DE交BC于F
E （证明略）
B
FC
图10
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
证明： 过A点做DE的平 行线，交BC于R 点，并延长DE交 BC于F点
求证：DE⊥DC。
D
证明：
过A点做BC的平行线， A
交DE于P点，并延长 DE交BC于F点
P
图7
（证明略）
E
B
FC
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D 证明：
过E点做BC的平
行线，交AB于K
A
点，并延长DE交 BC于F点
E （证明略）
B
FC H
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
O
D
证明：
过D点做BC的平行 线，交CA的延长线
A
于O点，并延长DE 交BC于F点
图6
E （证明略）
B
FC
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
Ａ
Ｄ
发散思考：
Ｂ
如果把已知中的ＢＤ＝ＣＥ与
结论ＤＦ＝ＥＦ互换，而其它
条件不变，那此题是否成立？
Ｆ
Ｃ
Ｅ
上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
证明： 延长DE交BC边 于F点
（证明略）
A E
B
FC
图1
已知：如图， 在△ABC中， AB=AC,E在AC 上，D在BA的 延长线上， AD=AE，连结 DE。
求证： DE⊥DC。 B
D
A
E C
F
证明： 过C点做AB的平 行线，交DE的延 长线于N点
图8
（证明略）
K
E
B
FC
已知：如图，在△ABC中， Q AB=AC,E在AC上，D在 BA的延长线上，AD=AE， 连结DE。
求证：DE⊥DC。
证明：
过B点做DE的平 行线，交CA的延 长线于Q点，并 延长DE交BC于F
（证明略） B
D
A
图9
E
FC
已知：如图，在△ABC中，
R
AB=AC,E在AC上，D在BA的延长线
（证明略）
B
D 图中AR这条线段的
引出可以看成是：
A
1、过A点做DE的平
行线
2、过A点做BC的垂 E线
3、∠BAC的角平分 线
R F C 4、BC边的中线
图11
D A
E
B
CB
D
A
B
E C
D
A E CB
D
A E C
除了第一种辅助线的作法外，大部分同学能 发现其余的辅助线都是作了AB的平行线， AC的平形线，BC的平行线和DE的平行线，。
A E
D A
E
D A
E
B
CB
CB
C
练习
已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于Ｄ， 求证：∠ＢＡＣ＝２∠ＤＢＣ
Ａ Ｄ
发散思考：
此题是否可以通过加倍∠ＣＢＤ，
另作∠ＦＢＤ＝∠ＣＢＤ？
Ｂ
Ｃ
已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ点在 ＡＢ上，Ｅ点在ＡＣ的延长线上，且ＢＤ＝ＣＥ， 连结ＤＥ，交ＢＣ于Ｆ，求证：ＤＦ＝ＥＦ
（证明略）
图2
N
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。 D
证明：
过E点做AB的平
A
行线，交BC于M
点，并延长DE交
BC于F点
E
图3
（证明略）
B
MF C
已知：如图，在 △ABC中， AB=AC,E在AC上， D在BA的延长线 上，AD=AE，连 结DE。
求证：DE⊥DC。 B
D A
E C
F
证明：
过B点做AC的平 行线，交DE的延 长线于G点
（证明略）
图4
G
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。 D
证明：
过D点做AC的平
行线，交BC的延
A
长线于H点，并延
长DE交BC于F点
图5
等腰三角形性质和判定的应用
本节重点： 灵活掌握等腰三角形的性质和判定 本节难点： 如何添加辅助线
复习： 1、等腰三角形的性质 2、两条线段垂直的判断方法。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
A
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC
上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
证明：
过C点做DE的平行 线，交BA的延长
A
线于R点，并延长
DE交BC于F
E （证明略）
B
FC
图10
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
证明： 过A点做DE的平 行线，交BC于R 点，并延长DE交 BC于F点
求证：DE⊥DC。
D
证明：
过A点做BC的平行线， A
交DE于P点，并延长 DE交BC于F点
P
图7
（证明略）
E
B
FC
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D 证明：
过E点做BC的平
行线，交AB于K
A
点，并延长DE交 BC于F点
E （证明略）
B
FC H
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
O
D
证明：
过D点做BC的平行 线，交CA的延长线
A
于O点，并延长DE 交BC于F点
图6
E （证明略）
B
FC
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC 上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
Ａ
Ｄ
发散思考：
Ｂ
如果把已知中的ＢＤ＝ＣＥ与
结论ＤＦ＝ＥＦ互换，而其它
条件不变，那此题是否成立？
Ｆ
Ｃ
Ｅ
上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
证明： 延长DE交BC边 于F点
（证明略）
A E
B
FC
图1
已知：如图， 在△ABC中， AB=AC,E在AC 上，D在BA的 延长线上， AD=AE，连结 DE。
求证： DE⊥DC。 B
D
A
E C
F
证明： 过C点做AB的平 行线，交DE的延 长线于N点
图8
（证明略）
K
E
B
FC
已知：如图，在△ABC中， Q AB=AC,E在AC上，D在 BA的延长线上，AD=AE， 连结DE。
求证：DE⊥DC。
证明：
过B点做DE的平 行线，交CA的延 长线于Q点，并 延长DE交BC于F
（证明略） B
D
A
图9
E
FC
已知：如图，在△ABC中，
R
AB=AC,E在AC上，D在BA的延长线
（证明略）
B
D 图中AR这条线段的
引出可以看成是：
A
1、过A点做DE的平
行线
2、过A点做BC的垂 E线
3、∠BAC的角平分 线
R F C 4、BC边的中线
图11
D A
E
B
CB
D
A
B
E C
D
A E CB
D
A E C
除了第一种辅助线的作法外，大部分同学能 发现其余的辅助线都是作了AB的平行线， AC的平形线，BC的平行线和DE的平行线，。