第6章组合数学初步

t
t
t
(qi 1) qi t qi t 1
i 1
i 1
i 1
从而产生矛盾。所以定理成立。
当q1=q2=…=qt=r时，上述原理可叙述为：
如果把t(r-1)+1件物品装入t个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r件物品。
这种情况的另一种提法为：
t
如果t个整数q1,q2,…,qt的算术平均数 ( qi ) / t
A1是前1000个正整数中能被5整除的整数集 合。
A2是前1000个正整数中能被6整除的整数集 合。
A3是前1000个正整数中能被8整除的整数集 合。
于是
A1
1000 5
200
,
A2
1000 6
166
,
A3
1000 8
125
集合 A1 A2中的整数可同时被5、6整除，当
且仅当它能被lcm(5,6)整除。
计算机的运行需要编程来控制，然而编程的基础 往往是求解问题的组合学算法。组合数学主要研 究离散对象的安排或配置方案的存在性、计数、 枚举构造和优化等问题。同时用计算机解决某个 问题如果有多种算法可供选择时，就要考虑算法 的复杂度问题。衡量时间复杂度的一个重要指标 就是算法的运算次数，即求出在最坏情况下的运 算次数或按概率分布的平均运算次数。而衡量空 间复杂度的主要指标就是所占用的存储空间大小。 为此，就要用到组合数学的方法和技巧。
72 23 9 ，
64 26 1.
由于1 ai 200 ，所以 ri (1 i 101) 只能取1， 3，5，… ，199这100个奇数，而共有101项， 由鸽笼原理知，存在 1 i j ， 1使01得
ri rj
不妨设 si s j ，则
即 a j 能被 a i 整除。
aj ai
6.1.2 包含排斥原理
包含排斥原理是计数中常用的一种方法，先举一例 说明如下。
例，求不超过20的正整数中为2或3的倍数的数。
不超过20的数中2的倍数有10个：
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
不超过20的数中3的倍数有6个：
3,6,9,12,15,18
但其中为2或3的倍数的数只有13个，而不是 10+6=16个，即
解： 用集合A表示男生，B表示女生，则该 班中的学生要么属于A，要么属于B.根据加法 原理，全班共有18+12=30个学生，故有30种 选法。
例6.2 在所有六位二进制数中，至少有连续4 位是1的有多少个？
解：所有满足要求的二进制数分成如下3类：
（1）恰有4位连续的1.它们可能是*01111， 011110，11110*，其中“*”可能取0或1.故 在此情况下，共有5个不同的六位二进制数。
或当集合A，B是有限集U的子集时，则有
ABC U A B C AB AC BC ABC
定理6.6 设n个有限集合 A1, A2 , , An ，则
n
n
n
Ai Ai
n
Ai Aj
Ai Aj Ak
i1
i1
i1 ji
i1 ji k j
(1)n1 A1 A2 An
即该学校共有336人。
例6.6 求从1到1000不能被5、6和8整除的整 数个数。
解：为解决这个问题我们引入一个概念。对
于实数x，x 代表不超过x的最大整数。此外，
我们将两个整数a，b或三个整数a，b，c的最 小公倍数相应地记为lcm(a,b)或lcm(a,b,c).
令： U是由前1000个正整数组成的集合。
第6章 组合数学初步
组合数学是既古老又年轻的数学分支，它的 渊源可以追溯到公元前2200年的大禹治水时 代，大禹治水时，就已观察到神龟背上的3阶 幻方。中外历史上许多著名的数学游戏是它 古典部分的主要内容。
例如数学游戏幻方问题：给定自然数1，
2，…，n 2将其排成n阶方阵，要求每行、每
列和每条对角线上各数字之和都相等。这样 的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或 对角线）之和称为幻和。图6.1是一个3阶幻 方，其幻和等于15。
i 1
大于r-1，则qi(1≤i≤t)中至少有一个不能小于r.
证明：若不然，则qi≤r-1(1≤i≤t).因此
，
t
( qi ) / t r 1 i 1
从而产生矛盾。
例6.8 证明每个长为n2+1的实数序列 a1 , a2 ,
… an2 1 , 含有一个长为n+1的递增子序列或长 为n+1的递减子序列。
8
1
6
3
5
7
4
9
2
图6.1 3阶幻方
首先人们要问：
1) 存在性问题：即n阶幻方是否存在？
2) 计数问题：如果存在，对某个确定的n， 这样的幻方有多少种？
3) 构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n 阶幻方？
组合数学就是研究上述提出的问题。特别是 近年来，随着电子计算机科学、计算数学、 通信以及许多学科的发展，组合数学这门历 史悠久的学科得到了迅速发展。
解：
令：A为修数学课的学生集合；
B为修物理课的学生集合；
C为修化学课的学生集合；
由题意 A 170, B 130, C 120 ，
A B 45, A C 20, B C 22 ，
ABC 3 ，
由包含排斥原理知
ABC A B C AB AC BC ABC
170 130 120 45 20 22 3 336 。
A1 A2 A3 U ( A1 A2 A3 ) ( A1 A2 A1 A3 A2 A3 ) A1 A2 A3
1000 (200 166 125) (33 25 41) 8 600
§6.2 鸽笼原理
鸽笼原理 (又叫抽屉原理)指的是一个简单明 了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的 鸽笼里，则至少有一个鸽笼飞进了两只或更 多的鸽子。
（2）恰有5位连续的1.它们可能是011111， 111110，共有2个。
（3）恰有6位连续的1.即111111，共有1种可 能。
（4）综合以上分析，由加法原理知共有 5+2+1=8个满足题意要求的六位二进制数。
乘法原理
如果完成一件事情需要两个步骤，而第一步 有m种方法，第二步有n种方法去实现，则完
成该件事情共有 m n 种方法。
乘法原理也可以用集合语言描述为：设有限 集合A有m个元素，B有n个元素，a A, b B， 记(a，b)为一有序对，所有有序对构成的集 合称为A和B的积集（或笛卡尔乘积），记
作 A B，那么 A B 共有个元素。
定理6.3 设A，B为有限集，A m, B n ，则
例6.7 从1到200的所有整数中任取101个， 则这101个整数中至少有一对数，其中的一个 一定能被另一个整除。
证明：设 a1, a2 , , a101是被选出的101个整数， 对任一 ai ，都可以唯一地写成如下的形式：
ai 2si ri (i 1, 2, , 101) ，
其中 si为正整数，ri 为奇数。例如：
如果我们用符号表示有限集合A的元素的个数， 上述可描述为
定理6.1 设A，B为有限集，A B ，则
AB A B .
一般情况有
定理6.2 设n个有限集合 A1, A2 , , An ，满足 Ai Aj (1 i j n) ，则
n
n
Ai Ai
i1
i1
例6.1 某班有男生18人，女生12人，从中选 出一名代表参加会议，问共有多少种选法？
2sj 2 si
rj ri
2s j si=整数，
6.2.1鸽笼原理的加强形式
t
定理6.8 设q1,q2,…,qt是正整数，把 qi t 1
件物品放入t个盒子里，则存在某一i(1i≤1i≤t)使 第i个盒子里至少装qi件物品。
证明：倘若对所有的i(1≤i≤t)均有第i个盒子至 多装有qi-1件物品，从而这t个盒子装有的物 件总数至多为
(1 k1 k2 kn1 n2 1)
此时必有 aki aki1（1≤i≤n）.若不然，存在某 一i，使 aki ak，i1 取以元素 ak开i1 始的最长子
或当n个集合 A1, A2 , , An 是有限集U的子集 时，则
n
n
n
Ai U Ai
n
Ai Aj
Ai Aj Ak
i1
i1
i1 ji
i1 ji k j
(1)n A1 A2 An
例6.5 一个学校只有3门课程：数学、物理、 化学。已知修这3门课的学生分别有170、 130、120人；同时修数学、物理两门课的学 生有45人；同时修数学、化学的有20人；同 时修物理、化学的有22人；同时修三门课的 学生有3人。假设学校的学生至少修一门课程， 问这个学校共有多少学生？
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而 易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合 问题，得到一些很重要的结论，它在数学的 历史上起了很重要的作用。
6.2.1鸽笼原理
鸽笼原理的简单形式可以描述为： 定理6.7 如果把n+1个物品放在n个盒子中，
那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。 证明：倘若每个盒子中至多有一个物品，那
Βιβλιοθήκη Baidu
AB A B mn
一般情况有
定理6.4 设n个有限集合 A1, A2 , , An ，则 A1 A2 An A1 A2 An
例6.3 仍设某班有男生18人，女生12人，现 要求从中分别选出男女生各一名代表全班参 加比赛,问共有多少种选法?
解： 仍像例6.1那样, 用集合A表示男生，B表 示女生，那么根据乘法原理，共有种选法。
由于lcm(5,6)=30，lcm(5,8)=40，lcm(6,8)=24.
于是
A1 A2
1000 30
33,
A1 A3
1000 40
25,
A1 A3
1000 24
41
于是
A1 A2 A3
1000 120
8
这样，由包含排斥原理知，从1到1000不能
被5、6和8整除的整数个数为
因此，组合数学已成为计算机学科各专业的基础 知识。
§6.1计数基本原理
人们把所研究的对象叫做元素，把某些元素 的总体叫做集合，只有有限个元素的集合称 为有限集。在通常情况下，组合数学研究的 对象是有限集。组合计数问题是求n元集合中 满足某些给定条件的子集的个数。常常用到 下面两个基本原理。
6.1.1 加法原理和乘法原理
AB A B AB
定理6.5 设A，B为有限集，则
AB A B AB .
如果A，B是有限集U的子集，若记 A U A， 则 A U A ，由集合的德摩根定律，
A B A B ，定理6.5 可写成
AB U AB U A B AB
定理6.5可推广为
ABC A B C AB AC BC ABC
么n个盒子中至多有n个物品，而我们共有 n+1个物品，矛盾。故定理成立。
例如，在13个人中必有两人生日的月份是相 同的，在367个人中必有两人在同一天过生日。
鸽笼原理只断言存在一个盒子，该盒子中有 两个或两个以上的物品，但它并没有指出是 哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能 逐个检查这些盒子。所以，这个原理只能用 来证明某种安排的存在性，而对找出这些安 排却毫无帮助。
6.1.1 加法原理和乘法原理
如果完成一件事情有两个方案，而第一种方 案有m种方法，第二种方案有n种方法可以实 现，只要选择任何方案中的某一种方法，就 可以完成这件事情，并且这些方法两两互不 相同，则完成这件事情共有m+n种方法。
若用集合语言，加法原理则可以描述为：设 有限集合A有m个元素，B有n个元素，且A与 B不相交，则A与B的并共有m+n个元素。
证明：倘若不存在长为n2+1的递增子序列，
我们将证明一定存在长为n+1的递减子序列。
令qk是以ak为首元素的最长递增子序列的长
度，则1≤qk≤n.由鸽笼原理的加强形式，取
r=n+1，知n2+1个数qk（1≤k≤n2+1），当
1≤mk≤n时，至少有n+1个数相等。设
qk1 qk2 qkn1
2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
其中6,12,18同时为2和3的倍数。若计算10+6=16， 则重复计算了一次6，12，18。
我们知道加法原理是指 A B 时， AB A B
若 A B 时，会怎样？包含排斥原理回答 了这个问题。正如上面的例子，这时，A B 将 A B 计算了两回，所以