清华大学-蛋白质晶体学课件-1

n次旋转轴 基本操作
Cn ˆ1 C
n
Cn 轴对应的操作一共有n个，即： ˆ1, C ˆ 2, C ˆ n 1 , E ˆ C
n n n
1
ˆ1 C 3
3 1
3
ˆ1 C 3
2 3
2
ˆ1 C 3
1 2
1
2
ˆ2 C ˆ 1C ˆ1 C 3 3 3
3
ˆ3 C ˆ 1C ˆ 1C ˆ1 C 3 3 3 3
向量a、b、c的长度及其间的夹角


分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表。x、y、z就是分数坐 标，它们永远不会大于1。
Z
分数坐标分别为：
Cs CI﹣:
＋:
Y X CsCI晶胞
Cs
+
:1 11 222
CI : 000
具体的实际结构 晶体 (结构基元) (晶棱) (晶面) 晶胞
空间点阵与空间格子
正当空间格子的标准: 1. 平行六面体 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
空间格子有7种形状，14种型式
空间格子净含点阵点数：
每个格子顶点位置的阵点为八个格子所公用，每个格子占1/8； 每个格子棱心位置的阵点为四个格子所公用，每个格子占1/4； 每个格子面心位置的阵点为两个格子所公用，每个格子占1/2；
sin q cos q 0
表示成矩阵形式：

x cos q y sin q z 0
0 x 0 y 1 z
2 k n 2 k cos n 0 0 0 1
x ' x cos q y sin q y ' x sin q + y cos q z' z
x' ˆk y ' D C n z'
x ' x cos q y sin q + z 0 y ' x sin q + y cos q + z 0 z ' x 0 + y 0 + z 1
石墨层
小黑点为平面点阵. 为比较二者关系, 暂以
石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.
为什么不能将每个C原子作为一个结构基元？
NaCl (100)晶面
三 维 周 期 性 结 构 与 空 间 点 阵
Mn
(立方简单)
Li Na K Cr Mo W…...
(立方体心)
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
晶体的定义及其性质
晶体是原子，离子或分子按照一定的周期性在空 间排列所形成的具有一定规则几何外形的固体。
按周期性规律重复排列
无定形态物质(玻璃体、非晶态物质)内部排列杂乱无 章，或仅仅是短程有序，没有周期性规律。
晶体具有如下性质： • 均 匀 性： 晶体内部各个部分的宏观性质是相同 的，如有相同的密度、相同的化学组成。 • 各向异性： 晶体种不同的方向上具有不同的物理 性质。
立方面心是一种常见的金属晶体结构,例如Ni，Cu， Pt等，其中每个原子都是一个结构基元，都可被抽象 成一个点阵点.
六方Mg金属晶体
CsCl
CsCl
NaCl
晶体结构是在每个点阵点上安放一个结构基元。
晶体结构 = 结构基元@点阵
晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的. 只要从点阵
中取一个点阵单位即格子，就能认识这种点阵. 如何从点阵中取出一个点阵单位呢？
蛋白质晶体学
王新泉
医学科学楼C226
62789401
xinquanwang@mail.tsinghua.edu.cn 王佳伟
医学科学楼C328
62782124
jwwang@mail.tsinghua.edu.cn
本课程将主要采取课堂讲述的方式，介绍蛋白质晶体 学的基本概念，原理和实验方法。主要内容包括： （1）晶体对称元素，等效点系，点群和空间群等几何晶 体学内容； （2）X-射线的发生和衍射测量装置； （3）蛋白质晶体生长； （4）晶体X-射线衍射原理； （5）结构因子； （6）同晶置换法和反常散射方法求解相角问题原理； （7） 相角优化； （8）分子置换法； （9）直接法在蛋白质晶体学中的应用； （10）蛋白质晶体结构修正； （11）蛋白质晶体结构质量检测。
旋转操作的矩阵：
z z
取z轴为旋转轴，进行如下操作：
P’(x’,y’,z’)
P x, y, z P ' x ', y ', z '
ˆk C n
P(x,y,z) r’
显然：
q y
P P ' r r ', z z '
假设旋转的角度为q，可得：

x r
x r cos y r sin
x ( 2) x 1 0 0 x x y ( 2) 4 2 [001] y 0 1 0 y y ( 2 ) z z z z 0 0 1
3
C
1
1 3
C32
1 2
E
3 2
1
2
3
C
2 3
2
1 C3Biblioteka Baidu
3
1
1 ˆ2 2 ˆ1 ˆ ˆ ˆ C3C3 C3 C3 E
操作和逆操作
ˆ 的逆，反之 A ˆ为A ˆ ˆ BA ˆˆ E ˆ ,则 B ˆ 也为 逆操作: 若 AB ˆ 的逆。 B
写为
ˆB ˆ 1 A
ˆ 1 ˆA B
x' r cos + q r cos cos q r sin sin q y ' r sin + q r sin cos q + r cos sin q
x ' x cos q y sin q
即
y ' x sin q + y cos q z' z
平面格子有4种形状，5种型式（其中矩形有带心与不带心两种 型式）： 正方形格子 a b a＝b a∧b=90° b 矩形格子 a
矩形带心格子 a
b
a≠b 。 a∧b=90
a≠b 。 a∧b=90 平行四边形格子 a b a≠b 。 a∧b≠120
六方格子 a b a=b 。 a∧b=120
空间点阵与空间格子
一 维 周 期 性 结 构 与 直 线 点 阵
一 维 周 期 性 结 构 与 直 线 点 阵
点阵的数学定义
按连接其中任意两点的向量将所有 的点平移而能复原的一组无限多个点.
二 维 周 期 性 结 构 与 平 面 点 阵
Cu （111面）密置层（每个原子就是一个结构基元，对应 一个点阵点）：
Cu （111面）的点阵. 红线画出的是一个平面格子：
两年后，这一发现为劳厄赢得了1914年诺贝 尔物理学奖 。
点阵理论
晶体的周期性是我们能够把它抽象为“点阵”来 研究，将晶体中重复出现的最小单元称为为结构基元 (structural motif), 结构基元的化学组成相同、空 间结构相同、排列取向相同、周围环境相同。用一个 数学上的点来代表结构基元, 称为点阵点。整个晶体 被抽象成一组点，称为点阵。
旋转操作和旋转轴
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分子复 原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴。 旋转轴：绕某轴反时针旋转q =360/n度， n称为旋转轴的次数 (或重数)，符号为n (Cn)。
注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因HermannMauguin符号，括号内为熊夫利斯Schönflies 符号。
晶体具有如下性质： • 晶体对X-射线的衍射：晶体的周期性结构使它成 为天然的三维光栅，周期与X光波长相当, 能够对 X光产生衍射。
1912 年，德国物理学家劳厄（ Max von Laue）发现了X-射线衍射现象，证明了X-射线 的波动性和晶体内部结构的周期性，并第一次 对晶体的空间点阵理论作出了实验验证，进而 使得X-射线晶体学成为在原子水平研究三维物 质结构的首枚探测器。
参考书
X-射线晶体学基础 (2nd edition) 晶体结构的周期性和对称性 梁栋材 周公度
Fundamentals of Crystallography (2nd edition) C. Giacovazzo, et al. Principles of Protein X-ray crystallography Jan Drenth International Tables for Crystallography Volume F: Crystallography of Biological macromolecules
直线点阵与素向量、复向量
连接直线点阵任意两个相邻阵点间的向量a,称为素向量。
平面点阵与平面格子
平面点阵与平面格子
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点阵点者是 复格子；平面素格子、复格子的取法都有无限多种。所以需 要规定一种 “正当平面格子”标准。 正当平面格子的标准 1. 平行四边形 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
x (3) x 0 1 0 x y y (3) 4 3 [001] y 1 0 0 y x ( 3 ) z z z z 0 0 1
x' x 1 1 0 x y' 6[001] y 1 0 0 y z' z 0 0 1 z
每个格子内部位置的阵点为该格子所独用，每个格子占1。
晶胞
晶胞是一个大小和形状与晶格相同的平行六面体，既包括 晶格的形式与大小，也包括对应于晶格结点的结构基元内 容。它代表了晶体结构的基本重复单位。
晶胞的两个基本要素
晶胞的大小和形状 用晶胞参数来表示 用分数坐标来表示
晶胞
晶胞中各原子的坐标位置
晶胞参数
sin
如果2（C2）轴与 z 轴重合，其矩阵表示为:
等效点系 晶胞中对称元素按照一定的方式排布。在晶胞 中某个坐标点有一个原子时，由于对称性的要 求，必然在另外一些坐标点也要有相同的原子。
这些由对称性联系起来，彼此对称等效的点，
称为等效点系。
如果4（C4）轴与 z 轴重合，其矩阵表示为:
x (1) x 0 1 0 x y y (1) 4[001] y 1 0 0 y x z 0 0 1 z z z (1)
点阵 抽象的数学模型 (点 ) (线 ) (面 ) 格子(晶格)
对称操作和对称元素
• 对称性—经过不改变几何构型中任意两点距离的动作 后，和原几何构型不可区分的性质。 • 对称操作—能使几何构型复原的动作。 如：旋转、反映、反演等 • 对称元素—进行对称操作所依据的几何要素。 对称操作所依据的几何要素 （点、线、面及组合）
石墨
石墨晶体在平行于石墨层 方向上比垂直于石墨层方 向上导电率大一万倍。
晶体具有如下性质：
• 规则外形： 理想环境中生长的晶体应为凸多边形 （自范性）。
F(晶面数)+V(顶点数)=E(晶棱数)+ 2
6+8=12+2
8+6=12+2
晶体具有如下性质： • 晶体的对称性：理想晶体的外形与其内部的微观 结构是紧密相关的，都具有特定的对称性，而且 其对称性与性质的关系非常密切。
等效点坐标为： (x,y,z), (-y, x, z), (-x, -y, z), (y, -x, z).
我们在六角坐标系中讨论3，6重轴 ,六角坐标系 中X，Y轴交角为120，且与Z轴垂直. • 6（C6）旋转轴永远与z轴平行。 • 任意点（x, y, z）在6（C6）的作用下， • 运动到（x-y, x, z）的位置，如下图 所示。即:
由此可得旋转操作的矩阵表示为：
cos q ˆ k ) sin q D(C n 0 sin q cos q 0
2 k cos n 0 2 k q n ˆ k ) sin 2k 0 D(C n n 1 0