2-3 向量间的线性关系解析
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2.3 向量间的线性关系
一、向量的线性组合 二、线性相关与线性无关 三、线性相关性的判定
四、小结 思考题
一、向量的线性组合
在平面解几中已知： R 2中的两个向量 α (a1 , a2 )T 与β (b1 , b2 )T 的关系只有两种： （ 1 ） 共线(或成比例)；
（2） 不共线(或不成比例 ).
组合的充分必要条件是 s元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1s xs b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2s s 2 an1 x1 an 2 x2 ans xs bn 有解.
(14)
由于齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2s s an1 x1 an 2 x2 ans xs 0
(15)
至少存在零解，故由定 义2.8可知：零向量 0 Rn , 可
( x1 , x2 ,, xn )T , β (b1 , b2 ,, bm )T )有解 x (c1 , c2 ,, cn )
T
α β,有 时, 对于A的各个列向量 1 ,α 2 ,,α n和常数列向量 c1 α α α 1 c2 2 cn n β 这时也称β可以表为α . 1 ,α 2 ,,α n的线性组合
例如α (2,1)T ,β (2,2)T , γ (1 ， 2)T ，则有
1 γ α β（见课本图 2 1 ） . 2 1 1 对上述 β α或γ α β，分别称 β可以表示为 2 2 α的线性组合或 γ可以表示为 α与β的线性组合 .
Ax β(其中A (aij )mn , x 又如：当n元线性方程组
1源自文库 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线性无关就是 线性相关 .
3.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 . (见课本第92页例3的证明) 4.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说
解 如果存在数 k1, k2 ,, ks1, ks R，使
k1 β β β β 1 k2 2 ks 1 s 1 ks s 0
即 k1 (α α2 α3 ) ks 1 (αs 1 αs ) ks (αs α 1 α 2 ) k2 ( 1) 0 整理得 (k1 ks )α α2 (ks 1 ks )αs 0 1 (k1 k2 )
成立，亦即线性方程组 2 x1 x2 2 x2 2 x 2 x 2 x 1 1 2 2 4 x1 3 x2 2 x2 5 x1 4 x2 5 x2 4 是否有解，由
1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 r2 (1) 2 A 4 3 2 5 r1 r2 4 3 2 5 1 4 5 4 1 4 5 4 1 2 1 1 1 2 1 1 r2 2r1 r3 4r1 0 5 0 0 r2 5 0 1 0 0 r4 r1 0 5 6 9 r3 5r2 0 0 6 9 r4 2r2 0 2 4 5 0 0 4 5 1 2 1 1 0 r ( A) 3 r ( A) 4, r3 3 0 1 0 r4 2r3 0 0 2 3 故该方程组无解 . 0 0 0 11
例1 设α 1 (1,2,1), α 2 (2,3,0), α 3 (4,7,2), 容 易看出
α α 3 2 1 α 2,
说明 α α . 3可以表为 1，α 2的线性组合
例2 设向量组α1 (2,1,4,1) T , α2 (1,2,3,4) T , α3 (2,1,2,5)T 和向量 β (2,1,5,4) T , 问：β是否 可以表示为α1 , α2 , α3的线性组合？
因此，β不能表为α . 1, α 2, α 3的线性组合
一般地，有
T α ( a , a , , a ) , 向量β (b1, b2 ,, bn ) 可表为向量组 1 11 21 n1
T
T T α ( a , a , , a ) , , α ( a , a , , a ) ,的线性 2 12 22 n2 s 1s 2s ns
β k1 α α α 1 k2 2 ks s
则称向量β可以表为向量组 α 1 ,α 2 , ,α s的线性组合, 或 或称β可由向量组α . 1 ,α 2 , ,α s 线性表出
由以上定义可得如下事 实： 1 ） 向量组中任一个向量都 可经该向量组线性表出 . α α α α α i 0 1 0 i 1 1α i 0 i 1 0 m. 2） 零向量是任意 m个向量的线性组合 .
向量组α (12)的系数行 1 ,α 2 , ,α n 线性无关 方程组 列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0. an1 an 2 ann
例4 R n中，设ε1 (1,0,,0)T , ε2 (0,1,0,,0)T ,, εn (0,,0,1)T .则向量组ε1 , ε2 ,, εn线性无关.且R n中的 任意向量α都可表为ε1 , ε2 ,, εn的线性组合 .
以上 两种情形反映出一个向量组中各 个向量之间 的两种完全不同的关系 .
由此引出如下概念 .
二、线性相关与线性无关
定义2.9 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
设α R ，且α (a1, a2 ,, an ) , 则显然有
n T
α a1ε1 a2 ε2 an εn .
例5 设向量组α αs ( s 2)线性无关, 又向量 1 ,α 2 , 组β β2 α2 α3 ,,βs 1 αs 1 αs ,βs αs 1 α 1 α 2, α β β2 ,,βs的线性相关性 . 1.试确定向量组 1,
在α与β共线的情况下 , 不妨设存在常数 k, 使 β kα . 1 T 1 T 例如 α (2,1) ,β (1, ) , 则β α . 2 2 在α与β不共线的情况下 , 对于任意一个 R 2中的向量
γ (c1, c2 )T ,由平行四边形法则可知 ，必可找到两个常
数k1 , k2使γ k1 α k2 β .
由于α α 1 ,α 2 , s 线性无关, 故有
k1 k s 0 k k 0 1 2 k s 1 k s 0 该齐次线性方程组的系 数行列式
1 0 0 1 1 1 0 0 1 (1)1 s 0 0 0 1 0 0 1 1
α 由R n中的任意向量组 1 ,α 2 ,,α s 线性表示，其中
αj (a1 j , a2 j ,, anj )T , j 1,2,, s.
因为齐次线性方程组 (15)总有解, 且其解只有两种 不同情况：一是只有零 解，二是有无穷多个非 零解.
也就是说零向量在表成 向量组的线性组合时 , 其组 合系数有两种不同情况 ：一是组合系数只能全 为零, 全为零的组合系数 . 二是至少可以找到一组不
一般地，有
n 定义2.8 设α , α , , α , β R , 1 2 s
(1) 对任意常数 l1, l2 ,, ls R，称 l1 α α α 1 l2 2 ls s
为向量组 α 1 ,α 2 ,,α s的一个线性组合；
(2) 若存在常数 k1, k2 ,, ks R，使得
线性相关, 若 0, 则说 线性无关.
(见课本第92页例4的证明)
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面. 在例3中 α 1, α 2, α 3线性相关， e1 , e 2 , e3 线性无关 .
n α , α , , α R ，其中 对向量组 1 2 s
αj (a1 j , a2 j ,, anj )T , j 1,2,, s.
由定义2.9与“注意 1 ”及齐次线性方程组解 的判定定 理可知： 向量组α 1 ,α 2 ,,α s 线性相关 s元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2s s an1 x1 an 2 x2 ans xs 0
有非零解；
(16)
向量组α 1 ,α 2 , ,α s 线性无关 s元齐次线性方程组 (12)仅有零解 .
特别地, 当s n时, 由定理2.5知, 以上两结论成为：
向量组α (12)的系数行 1 ,α 2 , ,α n 线性相关 方程组 列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0； an1 an 2 ann
证明 设k1ε1 k2 ε2 kn εn 0
由条件知其对应的齐次 线性方程组的系数行列 式为
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0， 1
故该齐次线性方程组仅 有零解k1 k2 kn 0，从
而向量组ε1 , ε2 ,, εn线性无关 .
进一步, 如果方程组 (14)有唯一解，说明 β可由α ， 1
α2 ,,αs 线性表出，且表示法唯 一；如果方程组 (14) β可由α ， α 有无穷多个解，则说明 1 2 ,,α s 线性表出，
并且表示法不唯一 .
向量β能否表为向量组 α 1 ,α 2 , ,α n的线性组合，反 映了一个向量与一个向 量组之间的关系 .
例3 设α α2 (2,3,0), α 1 (1,2,1), 3 (4,7,2), 容 易看出
2 α α 1 α 2 3 0,
又如 设e 1 (1,0,0), e 2 (0,1,0), e 3 (0,0,1), 则只 有
0e1 0 e 2 0e3 0.
解 β是否可以表示为 α 1, α 2, α 3的线性组合，取 决于能否找到一组数 k1 , k2 , k3 R，使
k1 α α α 1 k2 2 k3 3 β
或
2 1 2 2 1 2 1 1 k1 k 2 k3 4 3 2 5 1 4 5 4
一、向量的线性组合 二、线性相关与线性无关 三、线性相关性的判定
四、小结 思考题
一、向量的线性组合
在平面解几中已知： R 2中的两个向量 α (a1 , a2 )T 与β (b1 , b2 )T 的关系只有两种： （ 1 ） 共线(或成比例)；
（2） 不共线(或不成比例 ).
组合的充分必要条件是 s元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1s xs b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2s s 2 an1 x1 an 2 x2 ans xs bn 有解.
(14)
由于齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2s s an1 x1 an 2 x2 ans xs 0
(15)
至少存在零解，故由定 义2.8可知：零向量 0 Rn , 可
( x1 , x2 ,, xn )T , β (b1 , b2 ,, bm )T )有解 x (c1 , c2 ,, cn )
T
α β,有 时, 对于A的各个列向量 1 ,α 2 ,,α n和常数列向量 c1 α α α 1 c2 2 cn n β 这时也称β可以表为α . 1 ,α 2 ,,α n的线性组合
例如α (2,1)T ,β (2,2)T , γ (1 ， 2)T ，则有
1 γ α β（见课本图 2 1 ） . 2 1 1 对上述 β α或γ α β，分别称 β可以表示为 2 2 α的线性组合或 γ可以表示为 α与β的线性组合 .
Ax β(其中A (aij )mn , x 又如：当n元线性方程组
1源自文库 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线性无关就是 线性相关 .
3.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 . (见课本第92页例3的证明) 4.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说
解 如果存在数 k1, k2 ,, ks1, ks R，使
k1 β β β β 1 k2 2 ks 1 s 1 ks s 0
即 k1 (α α2 α3 ) ks 1 (αs 1 αs ) ks (αs α 1 α 2 ) k2 ( 1) 0 整理得 (k1 ks )α α2 (ks 1 ks )αs 0 1 (k1 k2 )
成立，亦即线性方程组 2 x1 x2 2 x2 2 x 2 x 2 x 1 1 2 2 4 x1 3 x2 2 x2 5 x1 4 x2 5 x2 4 是否有解，由
1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 r2 (1) 2 A 4 3 2 5 r1 r2 4 3 2 5 1 4 5 4 1 4 5 4 1 2 1 1 1 2 1 1 r2 2r1 r3 4r1 0 5 0 0 r2 5 0 1 0 0 r4 r1 0 5 6 9 r3 5r2 0 0 6 9 r4 2r2 0 2 4 5 0 0 4 5 1 2 1 1 0 r ( A) 3 r ( A) 4, r3 3 0 1 0 r4 2r3 0 0 2 3 故该方程组无解 . 0 0 0 11
例1 设α 1 (1,2,1), α 2 (2,3,0), α 3 (4,7,2), 容 易看出
α α 3 2 1 α 2,
说明 α α . 3可以表为 1，α 2的线性组合
例2 设向量组α1 (2,1,4,1) T , α2 (1,2,3,4) T , α3 (2,1,2,5)T 和向量 β (2,1,5,4) T , 问：β是否 可以表示为α1 , α2 , α3的线性组合？
因此，β不能表为α . 1, α 2, α 3的线性组合
一般地，有
T α ( a , a , , a ) , 向量β (b1, b2 ,, bn ) 可表为向量组 1 11 21 n1
T
T T α ( a , a , , a ) , , α ( a , a , , a ) ,的线性 2 12 22 n2 s 1s 2s ns
β k1 α α α 1 k2 2 ks s
则称向量β可以表为向量组 α 1 ,α 2 , ,α s的线性组合, 或 或称β可由向量组α . 1 ,α 2 , ,α s 线性表出
由以上定义可得如下事 实： 1 ） 向量组中任一个向量都 可经该向量组线性表出 . α α α α α i 0 1 0 i 1 1α i 0 i 1 0 m. 2） 零向量是任意 m个向量的线性组合 .
向量组α (12)的系数行 1 ,α 2 , ,α n 线性无关 方程组 列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0. an1 an 2 ann
例4 R n中，设ε1 (1,0,,0)T , ε2 (0,1,0,,0)T ,, εn (0,,0,1)T .则向量组ε1 , ε2 ,, εn线性无关.且R n中的 任意向量α都可表为ε1 , ε2 ,, εn的线性组合 .
以上 两种情形反映出一个向量组中各 个向量之间 的两种完全不同的关系 .
由此引出如下概念 .
二、线性相关与线性无关
定义2.9 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
设α R ，且α (a1, a2 ,, an ) , 则显然有
n T
α a1ε1 a2 ε2 an εn .
例5 设向量组α αs ( s 2)线性无关, 又向量 1 ,α 2 , 组β β2 α2 α3 ,,βs 1 αs 1 αs ,βs αs 1 α 1 α 2, α β β2 ,,βs的线性相关性 . 1.试确定向量组 1,
在α与β共线的情况下 , 不妨设存在常数 k, 使 β kα . 1 T 1 T 例如 α (2,1) ,β (1, ) , 则β α . 2 2 在α与β不共线的情况下 , 对于任意一个 R 2中的向量
γ (c1, c2 )T ,由平行四边形法则可知 ，必可找到两个常
数k1 , k2使γ k1 α k2 β .
由于α α 1 ,α 2 , s 线性无关, 故有
k1 k s 0 k k 0 1 2 k s 1 k s 0 该齐次线性方程组的系 数行列式
1 0 0 1 1 1 0 0 1 (1)1 s 0 0 0 1 0 0 1 1
α 由R n中的任意向量组 1 ,α 2 ,,α s 线性表示，其中
αj (a1 j , a2 j ,, anj )T , j 1,2,, s.
因为齐次线性方程组 (15)总有解, 且其解只有两种 不同情况：一是只有零 解，二是有无穷多个非 零解.
也就是说零向量在表成 向量组的线性组合时 , 其组 合系数有两种不同情况 ：一是组合系数只能全 为零, 全为零的组合系数 . 二是至少可以找到一组不
一般地，有
n 定义2.8 设α , α , , α , β R , 1 2 s
(1) 对任意常数 l1, l2 ,, ls R，称 l1 α α α 1 l2 2 ls s
为向量组 α 1 ,α 2 ,,α s的一个线性组合；
(2) 若存在常数 k1, k2 ,, ks R，使得
线性相关, 若 0, 则说 线性无关.
(见课本第92页例4的证明)
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面. 在例3中 α 1, α 2, α 3线性相关， e1 , e 2 , e3 线性无关 .
n α , α , , α R ，其中 对向量组 1 2 s
αj (a1 j , a2 j ,, anj )T , j 1,2,, s.
由定义2.9与“注意 1 ”及齐次线性方程组解 的判定定 理可知： 向量组α 1 ,α 2 ,,α s 线性相关 s元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1s xs 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2s s an1 x1 an 2 x2 ans xs 0
有非零解；
(16)
向量组α 1 ,α 2 , ,α s 线性无关 s元齐次线性方程组 (12)仅有零解 .
特别地, 当s n时, 由定理2.5知, 以上两结论成为：
向量组α (12)的系数行 1 ,α 2 , ,α n 线性相关 方程组 列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0； an1 an 2 ann
证明 设k1ε1 k2 ε2 kn εn 0
由条件知其对应的齐次 线性方程组的系数行列 式为
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0， 1
故该齐次线性方程组仅 有零解k1 k2 kn 0，从
而向量组ε1 , ε2 ,, εn线性无关 .
进一步, 如果方程组 (14)有唯一解，说明 β可由α ， 1
α2 ,,αs 线性表出，且表示法唯 一；如果方程组 (14) β可由α ， α 有无穷多个解，则说明 1 2 ,,α s 线性表出，
并且表示法不唯一 .
向量β能否表为向量组 α 1 ,α 2 , ,α n的线性组合，反 映了一个向量与一个向 量组之间的关系 .
例3 设α α2 (2,3,0), α 1 (1,2,1), 3 (4,7,2), 容 易看出
2 α α 1 α 2 3 0,
又如 设e 1 (1,0,0), e 2 (0,1,0), e 3 (0,0,1), 则只 有
0e1 0 e 2 0e3 0.
解 β是否可以表示为 α 1, α 2, α 3的线性组合，取 决于能否找到一组数 k1 , k2 , k3 R，使
k1 α α α 1 k2 2 k3 3 β
或
2 1 2 2 1 2 1 1 k1 k 2 k3 4 3 2 5 1 4 5 4