第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类

脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
14
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
A
A向
B向
是注 半意
圆：
B
柱实 际
挤
压
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
面
挤压力计算 面 积 Abs
剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
应力计算式：
T
Ip
max
TR Ip
令
抗扭截面模量
max
T Wp
46
3.3.4 截面的几何性质、强度条件
1、圆截面的I p 与 W p 的计算
实心轴
47
空心轴
令
则
48
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
49
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
m
P
剪切受力特点：作用在构件两侧 面上的外力合力大小相等、方向 相反且作用线很近。
变形特点：位于两力之间的截面 发生相对错动。
假设剪应力在剪切面（m-m
截面）上是均匀分布的
P
m
m FS
得剪应力计算公式： F S
A
FS m m
剪应力强度条件： FS
A
P 常由实验方法确定
7
3.1.1剪切
m2 1 m3 2 m1
T1 m2 4.78kN m
T2 m2 m3 0 ,
A 1 B2 C
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
3 m4
n 3D
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
37
③绘制扭矩图
T 9.56kN m max
BC段为危险截面。
15
§3-1 剪切与挤压
bs 2
FS A
4F
d 2
bs
Fbs Abs
F dh
为充分利用材
料，剪应力和挤压
应力应满足
F dh
2
4F
d 2
d 8h
16
§3-1 剪切与挤压
例题3-1
d
Qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a
Q
图示接头，受轴向力F 作 用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm， [σ]=160MPa，[τ]=120MPa， [σbs=320MPa，铆钉和板的材料
bs
Fbs Abs
Fbs (hl) / 2
95.2MPa
bs
19
强度满足要求
§3-1 剪切与挤压
§3.1.4剪应变和胡克定律
G
其中，比例常数G 称为剪切弹性模量。常用单位GPa 20
§3-1 剪切与挤压
§3.1.4剪应变和胡克定律
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、
μ存在关系
G E
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
500 300
A
15.9(kN m)
B
C
m2
m3
9.55
P2 n
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55
200 300
6.37
(kN
m)
n D
36
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0
第三章 剪切与圆轴的扭转
1
3.1.剪切与挤压
§3-1-1 剪切的概念
2
3.1.剪切与挤压
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
3
3.1.剪切与挤压
平键连接
4
5
3.1.1剪切
1、剪切概念 1、受力特征: 2、变形特征：
上刀刃
F
n
下刀刃 n
剪切面 F
F FS
6
3.1.1剪切
2、剪力与剪应力的计算
P P
P
m
55
圆轴扭转时的强度和刚度计算
空心轴
已知：P＝7.5kW, n=100r/min，最大切 应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外
直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
T
– –
4.78
6.37
x
9.56
38
§3.2.3 扭转时内力的计算
39
§3-3 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
1、实验观察和假设推论
40
41
实验现象：
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T|max值及其截面位置
截面）。
T
强度计算（危险
x
34
§3.2.3 扭转时内力的计算
扭矩图
No
Image
35
例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
键的许用应力[]=60MPa，[]bs=100MPa。试校核键的强度。
F d
n FSn
b l
O Me
O
Me
h/2
Fbs
校核键的剪切强度：
n Fs n
FS 2Me /d57.1kN AS bl
FS FS 28.6MPa
AS bl FbsFS57.1kN Abs hl/2
校核键的挤压强度：
110 10 6 110 MPa [ ]
3.板和铆钉的挤压强度
bsF Abbss
F
2d
50103 20.0170.01
147106 14M 7 Pa[bs]
结论：强度足够。
18
例 图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径d=70mm，键的 尺寸为b×h×l=20×12×100mm，传递的力偶矩Me=2kN·m，
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。
平面假设：
圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小 与形状不变，半径仍保持为直线。
42
推论：
（1）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存 在，且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；
（2）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩 短，线应变等于零，所以正应力为零。
变形几何关系：
AA Rd
dx dx
EE d
dx dx
d
B
单位长度扭转角，用 表示。对于
dx 同一截面各点， 是常量。
E o
E’
43
3.3.2圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律：
二、利用物理关系求剪应力分布规律
GIP
l T dx 0 GI P
*若为等扭矩、等截面
Tl GI P
*若为阶梯扭矩、阶梯截面
GIp：抗扭刚度
Tili Gi IPi
单位长度扭转角： T
l GIP
52
§3.4圆轴扭转时的变形及刚度条件
3.4.2 圆轴扭转时的刚度条件
maxGTP I rad/m
max- 最大单位长度 ,单扭位转为角/弧 米度
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径 D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
T 95 P 4 9 95 7 4 .5 9 7.1 2 N 6 m
n
100
实心轴
ma1xW Tp1
16T40MPa
d13
16 716.2
d1 3 π 40106 0.045m=45mm
12
挤压面积的计算
d
挤压力
t Fbs
Abs=td
bs
Fbs Abs
计算挤压面
①挤压面为平面，计算挤压面就是该面
②挤压面为弧面，取受力面对半径的投 影面
13
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
G —剪切虎克定律
G
Gd
dx
圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律：
圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离
成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一
圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。
44
3.3.3 利用静力学关系求剪应力的大小
( 剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩)
TAdTAdA
T
TAdA AG 2d dx dA
TGd 2dA dx A
T
式 横中截的面积 的分 形状和A 大2是小d一A的个几只何决量定，于
称为横截面对形心的极惯性矩，
用Ip表示。
T
45
p
2dA
A
d T
dx GI P
GIP 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，
称为圆轴的抗扭刚度。
GddxGG TpIITp
3.1.2 挤压 §3-1 剪切与挤压
1、挤压概念
F
F
压溃(塑性变形)
11
§3-1 剪切与挤压
3.1.2 挤压 2、 挤压应力
P
假设应力在挤压面上是均
匀分布的
P
得实用挤压应力公式 bs
Fbs Abs
Fbs
*注意挤压面面积的计算
Fbs
Abs d
挤压强度条件： bs
Fbs Abs
bs
bs 常由实验方法确定
1、直接求外力偶矩
28 二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3.2.2 扭转时外力的计算
2、利用轴输入功率和转速求外力偶矩 已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me .
Me
9.55 106
P n
其中：P — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（rpm）
对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，而 从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。
（2）受挤压部分的半圆被“挤扁” （近似半椭圆） 照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)
9
3.1.2 挤压 §3-1 剪切与挤压
1、挤压概念
F F
挤压面
1、挤压概念：接触表面相互压紧，使表面局部受压的 现象称为挤压 2、两构件相互压紧的表面称为挤压面，作用于挤压面 上的压力为挤压力，
3、由于挤压作用在挤压面上引起的应力称为挤压应力，10
2(1 )
表明3个常数只有2个是独立的
21
小结
1. 剪切变形的特点 2. 剪切实用计算 3. 挤压实用计算 4. 剪切胡克定理
22
§3-2 扭转
汽车传动轴
23
一、概
述
§3-2 扭转
汽车方向盘 24
P P
T
T
25
§3-2 扭转
26
§3-2 扭转
§3.2.1 扭转的概念
受力特点：作用在杆两端的一对力偶大小相等、方向相反， 且力偶所在的平面与杆件的横截面平行
扭转刚度条件
T 180[] GIp
•已知T 、D 和[ ]，校核刚度 •已知T 和[ ]，设计截面 •已知D 和[ ]， 确定许可载荷
54
圆轴扭转时的强度和刚度计算
已知：P＝7.5kW， n=100r/min，最大 剪应力不得超过40MPa，空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横 截面绕轴线产生转动。
变形特点：在这些外力偶的作用下，杆件的横截面将 绕轴线产生相对转动，其纵向直线变成螺旋线
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是 圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
27
§3.2.2 扭转时外力的计算
若[ ]的单位用 º/m，则刚度条件式为：
T 180[] GIp
º/m
许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素 决定，具体数值可从机械设计手册查得。
应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决
校核、设计和确定许用载荷三大类问题
53
圆轴扭转时的强度和刚度计算
扭转强度条件
max
T WP
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
相同，试校核其强度。
解：1.板的拉伸强度
FN F A (b 2d )
50 10 3
(0.15 2 0.017 ) 0.01
43 .1 10 6 43 .1MPa [ ]
17
§3-1 剪切与挤压
d
b
FS
a
FS
2.铆钉的剪切强度
FS A
4F 2πd 2
2F πd 2
2 50 10 3 π 0.017 2
29
§3.2.3 扭转时内力的计算
截面法
30
§3.2.3 扭转时内力的计算
T = Me
31
§3.2.3 扭转时内力的计算
T = Me
32
§3.2.3 扭转时内力的计算
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
33
§3.2.3 扭转时内力的计算
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
2、剪力与剪应力的计算
剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的剪应力相等，于
是得剪切面上的名义剪应力为：
FS ——剪切强度条件
A
剪切面为圆形时，其剪切面积为：
d FS A
2
A
4
对于平键 ，其剪切面积为：
A bl
8
3.1剪切与挤压
基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式
（1）在截面 mn, pq 处被剪断
50
3.3.4 截面的几何性质、强度条件
2、圆轴扭转时的强度条件
1. 等截面圆轴：
max
T WP
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax WP
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
max(WTP)max 51
§3.4圆轴扭转时的变形及刚度条件
3.4.1 圆轴扭转时的变形分析
d T
dx GI P
d T dx