正项级数判别 法

1 1 时, p p , 故 n x
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
1 1 1 1 1 1 1 考虑级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 ) 2 n n (n 1) 22 ( n 13 n
第二节 正项级数的判别法
第十二章
一、正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法
如果级数 u n u 1 u 2 u n 满足条件：
n 1
u n 0 ( n 1 , 2 , ) , 称为正项级数。 s u 0 , s u u u s1 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
1
1 1 2 1 n
n 1
由比较审敛法的极限形式知
ln 1
1 n
2
收敛 .
例7：判别级数
n 1


ln n n
3 2
的收敛性。
ln n 1 ln n ln n 1 5 解： 取 u 3 n 5 1 2 4 n 4 4 4 n n n n
又取
且
vn
例1 证明级数 1 1 1 1 收敛. n 2 n 1 2 1 2 1 2 n 11 2
证明:这是一个正项级数，其部分和为:

1 1 1 sn 1 2 1 22 1 2n 1 1 1 2 n 2 2 2 1 1 n 1 2 故{sn}有界，所以原级数收敛.
解: 1) 若 p 1,

1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
(2)取 vn
,
1 n
un 若 lim lim nun l 0 （或为+ ） n v n n
1 则 vn 发散， n 1 n n 1



发散
推论(极限审敛法) 设 un为正项级数,
n 1

lim nun l 0(或 lim nun )，则级数 un发散; (1)若 n n

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
结论：p — 级数当 p > 1 时收敛；当 p 1 时发散。
n
法二（2）p 1 时，
un vn sn n (n 1, 2, )
（1）若 v n 收敛，则由定理1知, { } 有界 , n
n 1
因此 { s n } 也有界，所以级数 u n 收敛； （2）若 u n 发散，则由定理1知,
n 1 n 1


n 1
{s n } 无界 ,
由比较判别法可知，所给级数也发散.
例3. 判别级数 2 sin n 的收敛性。 3 n 1 解： 当 n 1时, sin 0, 所以原级数为正项级数。 n 3 又当 0 x 时 , sin x x , 所以 sin n n ,
n

2 n n 取 u 2 sin v ( ) 2 n n n n 3 3
s u u u3 2 1 2
1
2
1
0 s 1 s 2 s 3 s n1 s n
部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 数列极限存在准则：单调有界数列必有极限 定理 1. 正项级数 有界 . 收敛 部分和序列
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
注意: 条件是充分的,而非必要.
2 (1) n 3 例 un n vn , n 2 2
2 (1) 级数 u n 收敛, n 2 n 1 n 1
1
1 2
p 1

1 4
p 1

1 8
p 1

1
p 1
S
几何级数， 公比 q
2 由定理1知，此时P-级数收敛。
1， 收敛。 设收敛于S。
比较审敛法的不便: 须有参考级数. 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
如 证明级数
n 1

1 n(n 1)
是发散的.
2
1 1 证明： n(n 1) (n 1) n(n 1) n 1 1 1 1 1 而级数 是发散的； 2 3 n 1 n 1n 1
N,
un 当n N时, vn
由比较审敛法, 得证.
l un 对于 0, N , 当n N时, (2) 由lim l 2 n v n
l un l l l 2 vn 2
l 3l 即 v n u n v n (n N ) 2 2 由比较审敛法, 得证. un vn (3) 由lim 则有 lim 0 假设 un 收敛， n v n u n 1 n n
n 1

(2)如果p>1，而 lim n pun l (0 l ) ，则级数 un 收敛.
n

n 1
例如. 级数 n 1(1 cos n ) , un n 1(1 cos n )
2 1 n 1 2 当n 时， un ~ n 1 ( ) 2 2n 2 n 3 3 2 2 2 n n 1 故所给级数收敛 lim n 2 un lim , 2
收敛; 有相同的 敛散性。 发散;
un lim 0, 且 v n 发散， 则 un 不一定发散。 n v 注意：若 n 1 n 1 n
本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶
un 0 证明 (1) 由lim n v n
对于 0,
即 u n vn (n N )
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1


1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4

ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
n
2
3
3
而
2 n v n ( ) 是收敛的几何级数， 3 n 1 n 1

n


是收敛的。 所以， un 2 sin n 3 n 1 n 1
1 例4 判定级数 n 的敛散性。 n 1 n

解
1 1 1 1 1 n 1 2 3 4 n n 1 n 2 3 4 n
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
S
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p ) 2 3 4 5 6 7 8 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p ) 2 2 4 4 4 4 8 8
n 1



n
n
2n
2
说明： （1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），
需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较
对象。 （2）常用的比较对象有：等比级数、P - 级数和调和 级数。 （3）比较对象的选取有时比较困难。
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
由（2）知 vn 收敛，与 vn 发散矛盾。
n 1


故 un 发散。
n 1

n 1
例5. 判别级数 sin 的敛散性 . 解:
sin lim
n

1 根据比较审敛法的极限形式知 sin n 发散 . n 1
1 n
1 n 1 n
1 n
sin 1 n ～

1 n
1 lim n sin 1 n n
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
收敛; 有相同的 敛散性。 发散;
1 1 (1)特别取 vn p , p 1 , 则 vn p 收敛， n n 1 n n 1 若 0l un 收敛

1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n

而级数

1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
因此 { n } 也无界，所以级数 v n 发散； 推论： 如果正项级数
u 和 v
n 1 n

足关系式:u k v ( k 0, n N ) ,则定理2中的结论仍 n n 成立。
n 1
n
从某项N之后满
1 1 1 例2. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.

1 1 sin ,且 n n
1 发散， n1 n


n 1


sin
1 n
发散
正确吗？

例6. 判别级数 ln 1 解:
1 n 1 ln[1 2 ] n 2 lim ln lim n n 1 n 2 n
1 1) 的敛散性 . ln( 1 2 ～ n2 n2 n
即: 大的收敛, 小的一定收敛; 小的发散, 大的一定发散.
证明：设 u n的前n项和是sn ,即： sn u1 u 2 u n 设 vn的前n项和是 n ,即： n v1 v2 vn
n 1 n 1

un vn sn n (n 1, 2, )
un 1 un un 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
定理2 (比较审敛法) 设 u n 和 vn 都是正项级数， n 1 n 1 且 u n vn (n 1,2,)
(1) 级数 vn 收敛，则级数 u n 收敛；
n 1 n 1 n 1


(2) 级数 u n 发散，则级数 vn发散.
n 1