《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分

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线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t ) f (t0 ) v t t0
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
s
f (t0 ) O t0
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1 gt 2 2
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
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(1) (u v) u v
证: 设 f ( x ) u ( x ) v ( x ) , 则
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h
[u ( x h) v( x h)] [u ( x) v( x)] lim h 0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h 0 h 0 h h
f (t ) t
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s
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2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
y
y f ( x)
N
T
切线 MT 的斜率
C M O x0
x
x
lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
x 1
h
lim
1 x
h 0
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
( x ) x ; (sin x) cos x ; (cos x) sin x ; 不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
(C ) 0 ;

1
1 (ln x) x
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数
3. 已知
4. 若
k0
问
是否在
可导?
解:由题设 故 在
可导, 且
由夹逼准则
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5. 设 都存在 , 并求出
, 问 a 取何值时,
在
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
sin x 0 (0) lim f 1 x0 x 0 ax 0 (0) lim a f x 0 x 0 在 故 a 1 时 此时
差、 积、 商 (除分母 u ( x) 及 v( x) 的和、
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(1) [u ( x) v( x)] u( x) v( x) (2) [u ( x)v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) u ( x ) ( v( x) 0 ) (3) v( x) v 2 ( x)
不存在, 就说函数在点 x0不可导.
Δy , 也称 若 lim Δ x 0 Δ x
在
的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx d f ( x ) 0 注意: f ( x0 ) f ( x) x x0 dx

1
1 ( ) ( x x x
3 x 4

7 4
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例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
lim
h 2 cos( x ) 2
h 0
h lim cos( x ) h 0 2
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例1. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
即 例2. 求函数 解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
有什么区别与联系 ?
区别:
f ( x) 是函数 , f ( x0 ) 是数值;
f ( x) x x0 f ( x0 )
联系:
注意:
f ( x0 )？ [ f ( x0 ) ]
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2. 设
存在 , 则 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) lim ________ 0 . h 0 h 则 时, 恒有
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y
x
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五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
( x 0 )

在点
的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )

x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
( x0 ) ( f f ( x0 ))
即
( x0 ) f


y x
平行的切线方程分别为 即
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y 1
1
O
1
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1 x
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有 在点 x 处可导, 即
其中
故
x 0
y x 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续，但在该点 未必可导. O 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 反例:
在
处连续, 且
存在， 证明:
处可导.
则有 存在，
处连续, 故
f ( x) f (0) lim x 0 x
在 处可导.
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第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
第二章
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解决求导问题的思路:
即
cos x
(sin x) cos x (cos x) sin x
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类似可证得
例4. 求函数 解:
的导数.
1 lim h 0 h
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h
都存在 , 则称 在闭区间 显然: 在闭区间 [a , b] 上可导
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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ( x0 ) f ( x0 ) a 2. f ( x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
在 t 0 时刻的瞬时速度
f (t0 ) O t0
f (t ) t
s
f ( t0 )
曲线 C : y f ( x)在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
T
f ( x0 )
C M O x0
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x
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x
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若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
存在, 则称函数 在点
在点
处可导, 并称此极限为
的导数. 记作:
y x x0 ;
即
y x x0
dy f ( x0 ) ; ; dx x x0 y f ( x0 ) lim x 0 x
d f ( x) dx x x0
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运动质点的位置函数 s f (t )
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2 hh) 2(


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三、 导数的几何意义
曲线 若 在点 的切线斜率为 上升;
y
y f ( x)
T
tan f ( x0 )
曲线过
C M x0 O
若
若 若
曲线过
下降;
y

x
切线与 x 轴平行,
称为驻点;
( x0 , y0 ) x0 x
切线与 x 轴垂直 .
曲线在点 处的
y
例如, f ( x) x 在 x = 0 处有
O
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x
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定理2. 函数
是 简写为 定理3. 函数
在点 且
可导的充分必要条件
f ( x 0 ) 存在
在点
f ( x0 )
处右 (左) 导数存在 与 f (b)
在点
若函数
必 右 (左) 连续.
在开区间 内可导, 且 上可导.
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瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
f (t0 ) f (t ) t O t0 y y f ( x) N
s
C M O x0
T
x
x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其他基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 可导
x a
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
例如， ( x ) ( x ) x
1 2
1 2
（以后将证明）
1 2

2 x 1 1 1 11 (x ) x 2 x x
3 4 )
u ( x) v( x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(u v w) u v w
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都存在,
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作业
P86
2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20
第二节
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备用题
1. 设 存在, 且 求
解: 因为
1 f (1 ( x)) f (1) lim 2 x0 ( x)
所以
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2. 设 在 证：因为 又 所以 即 在
O
y
切线方程:
法线方程:
O
x0
x
( f ( x0 ) 0 )
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例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 3
y x 0 ,
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线