2.2力在坐标轴上的解析

2.2.1．力F在某轴上的投影：
一、力在轴上的投影 1.定义
B F A α B1 D F
Fn F cos
0 180
0
α
C
n
a (+)
b
d (-)
c
即：力在某轴上的投影等于力的大小乘以力
与该轴正向间夹角的余弦。
Fn F cos
2.正负号规定
F α
0 180
0
B A B1
2.平面汇交力系
令力系所在平面与oxy平面重合，则，
F 0
z
因此有：平面汇交力系的平衡方程为：
F F
x y
0 0
——平面汇交力系的平衡方程
小结： 空间汇交力系: 有三个独立平衡方程，可以 求解三个未知量; 平面汇交力系: 只有两个独立方程，只可以 求解两个未知量。
3． 求解汇交力系平衡问题的方法和步骤
, ,
F4
e d Fx4 e, e,,
,
FRx Fxi
a
c
,
Fx3
a,,
FRx
合力在某个轴上的投影等于各个分力在同一 个坐标轴轴上投影的代数和.
2.3 汇交力系合成与平衡的解析法
2．3．1合成的解析法
1． 空间汇交力系
设空间汇交力系（F1，F2，…，Fn），其合
力为FR 。
FR Fi
1
2
R
设合力 FR 在坐标轴x，y，z上的投影分别为：
FRx , FRy , FRz
则有:
FR FRx i FRy j FRz k
又设: 分力Fi在坐标轴x，y，z上的投影分 别为：F , F , F
xi yi zi
则有:
1
2
R
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
FR FRx i FRy j FRzk
α γ β
2．二次投影法：
已知力F与某平面（ 如Oxy平面 ）的夹角θ，
又已知力 F在该平面Oxy平面上的投影与x轴正向
间的夹角。
θ φ
采用二次投影法：
把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到Fxy，然后
将Fxy投影到x，y轴上，得：
Fx F cos cos Fy F cos sin Fz F sin
φ θ
3、力沿直角坐标轴的解析表示
（1）力F可沿直角坐标轴分解 为三个正交 分力Fx、Fy、Fz 即
F＝Fx＋Fy＋Fz
i、j、k分别表示沿x、y、z 轴的单位矢，
F＝Fx＋Fy＋Fz
则力
F
的三个正交分力在
对应轴上的投影有如下关系：
Fx＝Fxi
Fy＝Fyj
Fz＝Fzk
（2）力F沿直角坐标轴的解析式
（1）明确研究对象；
选择研究对象时，一般应遵循如下原则: ① 在所选物体上应作用有已知力和待求的未知力； ② 先选受力情况相对较为简单的物体，再选受力情况相对 较为复杂的物体 （2）取分离体，画受力图；选投影轴； （3 )建立平衡方程并求解 （也可用几何法求解 ）
例1： 压路机滚子重G=20 kN，半径 R=40cm，今用水平力拉
FR ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi )
合力的方向:
2
cos( F , i ) Fxi / FR
cos( F , j ) Fyi / FR
1 2
R
cos( F , k ) Fzi / FR
作用线：必通过力系的汇交点。
特例：平面汇交力系:
在Oxy坐标系中，恒有：
滚子而欲越过高h=8cm的石坎，问拉力F应至少多大？又若此
拉力可取任意方向，问要使拉力为最小时，它与水平线的夹 角a应为多大？并求此拉力的最小值。 解：
D
F
α
力在轴上的投影 是代数量
C
n
a (+)
b
d (-)
c
当由力F的始点垂足到终点垂足的指向与n 轴在向一致时，投影取正号，反之取负号。
特殊情况：
力与轴垂直时投影 等于零。
F
n
α a Fn b
2、实用方法：可找锐角。
例如
Fn＝－Fcosθ
2.2.2
力 F 向任一平面投影
F
B
力在平面上的 投影是矢量
FR ( Fx ) ( FY ) ( FZ ) 0
2 2 2
FR ( Fx ) ( FY ) ( FZ ) 0
2 2 2
欲使上式成立，必须同时满足：
F 0 F 0 F 0
x y z
-----空间汇交力系的平衡方程
方程表示汇交力系平衡的必要与充分的解析条 件，即：汇交力系平衡的必要与充分条件是力系中 各力在任一轴上投影的代数和均为零。
2.2.4 投影与分力的比较
联系：
对直角坐标而言，投影与对应的 分力等值，投影的正负与对应的 分力的指向相适应。
区别：
投影——代数量（有大小、无所谓方向、作用线） 分力——矢量（有大小、方向、作用线）
当坐标轴倾斜时，分力与投影值不相等。
2.2.5 合力投影定理
b
F2
c
F3 FR
d
F1
x1 b F x2 a F
F＝Fxi＋Fyj＋Fzk
（3）已知力F在各坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz ，则可
求得力F的大小和它相对于各轴的方向余弦， 即
F Fx i Fy j Fz k F Fx2 Fy2 Fz2 cos( F , i ) Fx / F cos( F , j ) Fy / F cos( F , k ) Fz / F
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
由合力投影定理有：
FR Fi
FRx Fxi FRz Fzi
FRy Fyi
1
2
R
FR FRx i FRy j FRz k
合力的大小：
2 2
FRx Fxi FRz Fzi
FRy Fyi
FRz 0
F
zi
0
则平面来自百度文库交力系合力的大小：
FR ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
合力的方向:
cos( F , i ) Fxi / FR
cos( F , j ) Fyi / FR
2.3.2 平衡的解析条件---平衡方程
1.空间汇交力系 汇交力系平衡的必要与充分条件是合力 FR等于零。 即：
O
y
A
θ B1 x
a
Fxy
b
其大小为： Fxy＝Fcosθ
2.2.3 力在直角坐标轴上的投影
1．直接投影法：
已知力F 和各坐标轴
正向间夹角为α，β，γ
γ α β
（称为F的三个方向角）
则：力F在空间直角坐标轴上的投影为：
Fx Fcos Fy Fcos Fz Fcos
这称为直接投影法。