3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

民族中学 王克伟

[教学目标]

知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，

体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导

出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的

能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、

勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的

好习惯。

[教学重难点]

教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

[教学过程]

一.新课引入

创设情境 引入课题：

想一想：cos15?=

由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到：

那

这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式：

二.、讲授新课

探索新知一

两角和的余弦公式

思考：由cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ-=+，如何求cos()?αβ-= 26cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=cos75=cos(3045)?

+=cos75?=

分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得

cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+ 1、

上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c

αβ+。

由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想：

探索新知二

思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？

在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？ cos()sin 2

παα-= 结合()c αβ+与()c

αβ-，我们可以得到 cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+-

sin cos sin cos αββα=+

2、

上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s

αβ+。

那sin()?αβ-= 将上式sin()αβ-sin cos sin cos αββα=+中以-β代β得

sin[()]sin cos()sin()cos sin cos sin cos αβαββααββα+-=-+-=-sin )sin cos cos sin αβαβαβ

++=(cos30cos45sin30sin 45

=-cos75=cos(3045)+

3、

上述公式就是两角差的正弦公式，记作()s

αβ-。

探索新知三 用任意角αβ、的正切表示tan()tan()αβαβ+-、

的公式的推导: 根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，我们可以推得：

4、 上述公式就是两角和的正切公式， 同理

5、

上述公式就是两角差的正切公式， 注意：两角和与差的正切公式在应用过程中，

1、必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式。

2、注意公式的结构，尤其是符号。

三、课堂练习

sin )sin cos cos sin αβαβαβ--=(αβαβαβαβ

=sin cos +cos sin cos cos -sin sin αβαβsin(+)cos(+)tan()αβ+=cos cos 0αβ≠当时，cos cos αβ

分子分母同时除以αβα

βαβ

tan +tan tan(+)=1-tan tan ()

αβ记：+T ()

αβ记-T αβαβαβ

tan -tan tan(-)=1+tan tan 33sin ,sin(),cos(),tan()5444a πππαααα=--+-例：已知是第四象限的角，求的值。

四、拓展练习与提升

4,cos ,5ααα===3解：由sin =-是第四象限的角，得5sin 3tan cos 4

ααα=

=-所以，43)sin cos cos sin ()444252510πππααα-=-=⨯-⨯-=于是有sin(43)cos cos sin sin ();444252510πππ

ααα+=-=⨯-⨯-=cos(3tan tan 1tan 144tan()7341tan 1tan tan 1()44

παπααπαα-----====-+++-。4cos 4cos sin 4;

(2)sin 70cos 70sin 20sin 70;

1tan15(3).tan15--+。。。。。。。。。例：利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1)sin7227221-1cos 4cos sin 4sin(4)sin 30;2

-=-==

。。。。。。。解：（1)由公式得：

sin722722722(2)sin 70cos 70sin 20sin 70cos 20cos 70sin 20sin 70-=-。。。。。。。。cos(2070)cos900;=+==。。。1tan15tan 45tan15(3)tan(4515)tan 60tan15tan 45tan15

++==+==。

。。。。。。。。1-1-1cos sin ,22x x -已知函数f(x)=（1）、求f(x)的最小正周期及最大值；

（2）、求f(x)的单调递增区间。

5 cos sin sin cos(),333

x x x πππ+=+解：（1）、由已知f(x)=cos