线性规划求最值问题

线性规划求最值问题

山东

王中华 王彦秋

一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩

，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的

取值范围是（ ）．

（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］

（C ）［－1，2］ （D ）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-，

把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行

直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且

经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；

直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．

二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩

，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点．

∴312P ⎛⎫

⎪⎝⎭，．故答案为32

． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -=

=-的 几何意义，当然本题也可设y t x

=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，

t 最大．代入y tx =，求出32

t =， 即得到的最大值是32

． 三、与距离有关的最值问题

例3 已知2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩

，，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．

解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故z 的最小值是292

MN =． 注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．

四、与实际应用有关的最值问题

例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数

之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问

题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上

得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．

解：设应买x 张桌子，y 把椅子，把所给的条件表示成

不等式组，即约束条件为502020001.5x y y x y x x y *+⎧⎪⎪⎨⎪

⎪∈⎩N ，

，，，，

≤≥≤ 由50202000x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2007200.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，． ∴ A 点的坐标为2002007

7⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 由502020001.5x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2575.2

x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ∴ B 点的坐标为75252⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，． 所以满足约束条件的可行域是以2002007525(00)772A B O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，，为顶点的三角形区域（如图4）．由图形可知，目标函数z x y =+在可行域内的最优解为25，，但注意到x y *∈N ，，故取37y =．

答：应买桌子25张，椅子37把．