中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.如图，把抛物线2

=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2

y x

=-+.

y x h k

()

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）写出h k

、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k

y x

=

相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

x

y

C

B

_ D

_ A

O

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点， 抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题A

O C B

D

x

y

26题备用图

A O C B

D

x y 26题图

y

x

O

C

B

A

7．如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2

1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

(3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；

（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．

1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

y

A B C O x

∴1

4h k =-=-，。 （2）由（1）得()2

=14y x +-.

当=0y 时，()2

140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。 ∴A(30)B 10- ，，(，).

又当0x =时，()()22

=140143y x +-=+-=-，

∴C 点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标D （－1，－4），

作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF ⊥ y 轴于点F 。易知 在Rt △AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt △AOC 中，AC 2=32+32=18，

在Rt △CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。∴△ACD 是直角三角形。 （3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝450，AC 1832==。 由△AOM ∽ △ABC ，得

AO AM

AB AC

=

。即39,AM 24432== 。 过M 点作MG ⊥AB 于点G ，则AG=MG=2

9281942164

⎛⎫

⎪⎝⎭==， OG=AO －AG=3－9

344=。又点M 在第三象限，所以M （－34，－94

）。

2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，

∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1

=2=0a b c ⎧⎪

⎨⎪⎩

。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，

则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。②

当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分。